高考数学专题十：数列的极限与函数的导数

专题十：数列的极限与函数的导数

【考点审视】

极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：

（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞

→是常数）,2)01

lim

=∞→n

n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .

(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。

（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。

（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。

（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对

00、∞

∞

、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）π

ππ

--→x x x x cos )(lim

=

【分析】这是

00

型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π

ππ--→x x x x cos )(lim

=x x x cos )(lim ππ

+→=π2-。

2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和

或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：

（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(

lim n n n n …+1

2112+-

++n n

n n )的值为…（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2

1

（D ）1

【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限 12112+-++n n n n =1

1

+-n ，∴原式=)1

(lim +-

∞→n n

n =-1，故选)(A 。 3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和q

a s -=

11

及重要应用。例如（2004

年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =3

8

，

则=1a

【分析】 数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是4

1

2

=

q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞

→++++n n a a a a =

211q a -=3

8

，解得1a =2。 4，当且仅当()()a x f x f o

x x x x ==+-→→lim lim 0

时，()a x f o

x x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可

无定义。例如下列命题正确的是……………………………………………( ) (A )若()1-=

x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()2

22++=x x

x x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若

()x

x f 1=

,则()0lim =∞

→x f x ， (D)若⎩⎨

⎧<+≥=)

0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0

=→x f x 。

【分析】 (A )中-

→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D) 0)(lim 0

=+→x f x ，

1)(lim 0=-

→x f x ，故()B 是正确的。

5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00

lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。

6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？

【分析】1||lim |0||0|lim 00

=∆∆=∆-∆+++

→∆→∆x x x x x x ，x

x x ∆-∆+-

→∆|

0||0|lim 0 1|

|lim 0

-=∆∆=-

→∆x

x x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。 7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。

8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。

【经典题例】

【例１】求下列数列的极限： （１）)310(lim +-∞

→n l n l g

g n ；（２）θθθθn n n n n sin cos sin cos lim +-∞→（2

0π

θ≤≤）；