麻王武——最佳零件加工顺序安排模型

s.t.
x
j 1
10
ij
1,
i 1, 2,3,...,10
（7）
x
i 1
10
ij
1,
j 1, 2,3,...,10
（8） （9）
xij 0,1
5.1.2 模型求解 根据问题一建立的模型，我们可以得到目标函数为：
Min T
i 1
10
A
j 1
-2-
最佳零件加工顺序模型
麻王武&杨灿权&徐衍森
3．符号说明
T Ti
a
各个零件在车间完成加工的总时间； i 零件在车间完成加工的总时间； 初始排序各零件加工时间的向量； 排序调整后各零件加工时间的向量；
A Ai Bi Ci
Xi
V
j
( j)
i 零件的加工时间； i 零件的完工时间；
i 零件的零件价值；
对于问题一，机床一次只能同时加工一种零件，不考虑零件的完工时间和零
件的价值， 安排零件加工的次序， 使得完成这批零件加工任务所需的总时间最省。 该问题为简单的数学规划问题， 我们只需由题意建立以各个零件在车间的时间之 和为目标函数以及约束条件的数学模型，用 LINGO 求解即可求出最佳方案。 问题二的条件在问题一的基础上加以延伸，部分零件受到完工时间的限制， 即部分零件需要先加工。此时我们只需增加问题一中完工时间的限制条件，建立 相似的规划模型，编程运算求解，便可求出最佳方案。 对于问题三，每个零件均有完工时间的限制，每件零件的完工时间，加工时 间和零件价值都已知，要使整体价值达到最大。经初步计算，必须放弃加工部分 零件，则我们建立以零件价值为目标函数的规划模型，其约束条件也与问题二有 所区别，需要稍加修正，然后用 LINGO 求解，给出最佳的加工顺序。 对于问题四，每个零件要经过车削，钻孔两道工序，每种机器一次只能加工 一种零件，该问题转化为双机零件加工排序问题。加工的总时间包括该零件完成 车工序的时间，等待上一个零件加工完的时间，该零件在钻床上加工的时间三个 部分。而零件在车床上和钻床上加工的时间是确定的，我们需要分析等待时间， 然后建立以各个零件钻孔车间的总时间为目标函数的模型，给出约束条件，编程 运算求解。
i
j
（10）
其中：
A1 x11 A x 2 21 A3 x31 A4 x41 A' A x 5 51 A6 x61 x101 A10 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x14 ... x110 a1 x24 ... x210 a2 x34 ... x310 a3 x44 ... x410 a4 x54 ... x510 a5 x64 ... x610 a6 x104 ... x1010 a10
x102 x103
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最佳零件加工顺序模型
麻王武&杨灿权&徐衍森
即：
A1 x11a 1 x12 a 2 x13 a 3 ... x110 a 10 A x a x a x a ... x a 210 10 2 21 1 22 2 23 3 A ' A3 x31a 1 x32 a 2 x33 a 3 ... x310 a 10 A x a x a x a ... x a 1010 10 10 101 1 102 2 103 3 由于每个顺序位只能有一个零件，并且每个零件只能排在一个顺序位上，在 矩阵中体现为每一行的元素之和为 1，每一列的元素之和为 1，据此，我们可以 给出该问题的约束条件：
2．模型假设
对于上述实际问题，我们给了以下合理的假设： 1．一台机器一次只加工一个零件； 2．每个零件不能同时在多台机器上加工； 3．每个零件在每台机器上只加工一次； 4．零件在加工时不允许中断； 5．每个零件的加工顺序预先确定，零件按序加工； 6．每个零件在多台车床加工时，要按一定的先后顺序； 7．忽略零件在多台车床之间的转移时间； 8．一旦给出加工顺序，每个零件都要按时加工，不出现意外情况；
原始排序的各个零件所对应的加工时间组成的向量为 a ：
a a1 , a2 , a3 , a4 ,..., a9 , a10
（4）
排列后的各个零件所对应的加工时间组成的向量为 A ：
A A1 , A2 , A3 , A4 ,..., A9 , A10
（5）
引入由 0-1 变量组成的 X 矩阵，其元素为 100 个 0-1 变量
T Ti
i 1
10
（1）
i
其中：
Ti Ti 1 Ai Ti 2 Ai 1 Ai A1 A2 ... Ai A j
j 1
（2）
-4-
最佳零件加工顺序模型
麻王武&杨灿权&徐衍森
目标函数为：
Min T
i 1 10
A
j 1
i
j
（3）
xij
0 xij 1 且 xij N
，我们用决策变量
的 0-1 取值来控制程序，
1 表示第i个零件为原排序的第j个零件 xij 0 表示第i个零件非原排序的第j个零件
则有：
A ' Xa '
（6）
即：
A1 x11 A x 2 21 A3 x31 A4 x41 A x 5 51 A6 x61 A10 x101 x12 x22 x32 x42 x52 x62 x13 x23 x33 x43 x53 x63 x14 ... x110 a1 x24 ... x210 a2 x34 ... x310 a3 x44 ... x410 a4 x54 ... x510 a5 x64 ... x610 a6 x104 ... x1010 a10
关键字：
零件排序
整数规划
0-1 变量
递归思想
相对优势法
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最佳零件加工顺序模型
麻王武&杨灿权&徐衍森
1．问题重述
在实际生产加工零件时，往往要求获得的利润较高，消耗的时间较少。现研 究一个工厂零件生产顺序的计划和安排，需要合理安排各个零件加工的先后顺 序，即拟订加工工序，通过各个零件的加工次序的合理安排，力求完成这批零件 加工任务所需的总时间 （各个零件的加工时间和加工其他零件时它们等待时间之 和）最少或要求整个选择加工的零件价值最大。现有以下问题： 1．现有 10 种零件要求在一台机床上加工，一台机床一次只能同时加工一种 零件，这 10 种零件加工所需时间已知，需要我们设计这些零件加工的先后顺序， 使这 10 个零件在车间停留的平均时间最短。 2．10 种零件中部分零件有完工时间要求，完工时间已知，需要我们设计这 些零件加工的先后顺序，使这 10 个零件在车间停留的平均时间最短。 3．每个零件均有完工时间，加工时间和零件的价值都已知，建立模型求整 个选择加工的零件的价值最大。 4．这 10 种零件先在车床上车削，然后再在钻床上钻孔，加工所需时间都已 知，需要我们设计这些零件加工的先后顺序，使这 10 个零件在车间停留的平均 时间最短。 5．基于上述问题建立数学模型，考虑一般的 n 个零件在 m 台机器上加工排 序问题，希望得到较为合理的方案。
xij
，即：
x11 x 21 x31 x41 X x 51 x61 ... x101
其中
x12 x22 x32 x42 x52 x62 ...
x13 x23 x33 x43 x53 x63 ...
x102 x103
x14 ... x110 x24 ... x210 x34 ... x310 x44 ... x410 x54 ... x510 x64 ... x610 ... ... ... x104 ... x1010
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最佳零件加工顺序模型
摘要
本文运用整数规划的数学模型来解决最佳零件加工顺序安排问题。引入 0-1 变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助 LINGO 软件进行求解 运算，得出其中的最优排序方案，使得各个零件完成任务所需要的时间之和最省 或获得的整体价值最大。 对于问题一，由于不考虑零件的完工时间和零件的价值，我们可以建立简单 的数学规划模型，以各个零件在车间的时间之和为目标函数，列出约束条件，用 LINGO 进行求解，得到最佳排序方案为 3→5→1→10→7→6→4→2→8→9，此 时总计时间为 108.2 小时。 对于问题二，在问题一的基础上增加了完工时间的限制条件，部分零件的加 工顺序必须提前。此时我们只需在问题一的程序上增加完工时间的约束条件，便 可用 LINGO 编程求得最佳排序方案为 3→5→2→9→10→1→7→6→4→8，其总 计时间为 132.2 小时。 对于问题三， 由于要使零件的整体价值达到最大， 我们以整体价值目标函数。 由于 10 种零件不能全部按时完成，即目标排序中可能出现零件空缺。在完工时 间约束下，用 LINGO 编程求得最佳排序方案，此时，我们只选择加工 7 种零件， 零件编号及顺序为：3→7→8→6→1→10→4，零件加工的整体总价值为 45。 对于问题四，问题转化成双机零件排序问题。零件完工总时间包括三部分： 车削时间，等待时间，钻孔时间。通过比较零件完成车床加工时间与上一个零件 完成钻床加工时间的大小，以此来确定等待时间，建立以各零件完成钻床时间之 和为目标函数的模型，求得最佳排序方案为 3→6→5→1→10→7→2→9→4→8， 其总计时间为 130.0 小时。 对于问题五，我们首先研究三个车间的问题，由于零件在各车间加工有一定 的顺序，零件开始在该车间加工的时间必须依赖前一个车间，于是可将问题转化 为双机排序问题。模型在问题四的基础上层层深入，通过递归思想，将多机问题 进行降维处理，其程序也有很好的移植性，但是其运算量过大。基于此问题，我 们采用相对优势法大大减少了计算机的运行量，使模型得到一定的优化。 最后，本文对模型进行了模型验证和评价。
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最佳零件加工顺序模型
麻王武&杨灿权&徐衍森
问题五是问题四的推广，考虑一般的情况，即 n 个零件在 m 台机器上加工排 序问题。我们不妨先尝试在 3 台机器上加工的排序问题，由于零件加工有一定的 顺序，必须按步骤，第 3 台机器的加工必须依赖前 2 台机器，我们把前两步看成 一步完成，则可以把问题转化成双机零件加工排序问题。运用递归思想，可以把 m 台机器的问题进行降维。即 m 台机器的问题必须依赖前 m-1 台机器。我们以 零件在最后一台机器上加工的总时间为目标函数建立模型， 但是用枚举法其运算 量太大，于是我们采用相对优势法对模型进行了一定的优化。 基于以上分析，为了能更好的开展工作，我们制定了合理的流程图：
图 1. 模型建立流程图
5．模型建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 模型建立 对于问题一，我们引入 0-1 变量，利用数学规划的方法建立数学模型，建立 目标函数，找出约束条件，利用 LINGO 对目标函数进行优化求解。 设新排序后 i 零件车床加工时间为 Ai ， 规定完工时间为 Bi ，i 件零件实际完工 时间为 Ti ，则：各个零件的实际完工时间总和为：
i 零件在车床 M ( j ) 的加工时间； i 零件完成车床 M ( j ) 加工的总时间；
零件的整体总价值；
Mi
4．问题分析
对于零件加工顺序安排问题，因为零件有两种状态，我们引入 0-1 变量作为 决策变量。对于各个问题，分别利用决策变量，建立目标函数，列出约束条件， 建立零件加工顺序安排的数学规划模型，借助 LINGO 软件进行求解运算，得出 其中的最优排序方案，使得完成这批零件加工任务所需要的总时间最ຫໍສະໝຸດ Baidu。