杆系结构有限元

3x 2 x N3 1 2 3 l l
2
3
表示当 vi=1 时的曲线方程 当x=0时，v=1, θ=0
vi=1
当x=l时，v=0, θ=0
当x=l/2时，v=0.5，θ=-1.5/l
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形状函数
2 2 1 3 N4 x x 2 x l l
表示当 θi=1 时的曲线方程 当x=0时，v = 0, θ=1 当x=l时，v =0, θ= 0
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形函数与形函数矩阵
将单元位移用矩阵表示为:
u N u N1 N e 0 v v d 0 N
0 N3 N 3'
0 N4
' N4
N2 0 0
0 N5
' N5
0 N 6 d e ' N6
1 1 0 0 0 0 l S E l 6 12 4 6 6 12 2 6 0 y 2 3 x y 2 x 0 y 2 3 x y 2 x l l l l l l l l
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5、用虚功原理建立单元刚度方程
功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work) 功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
1 W P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
W { } { }dV
*T V
将{ε}和{σ}的表达式代入上式得
W {d} ( [ B] [ D][ B]dV ){d}
*T T V
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由虚功原理（T = W），并考虑到{d}*T为任意已知 虚位移，整理可得：
{F} [ N ] { f ( x)}dx ( [ B] [ D][ B]dV ){d}
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位移函数的一般形式
位移函数一般采用坐标的多项式形式 优点：数学处理的方便。 如：
u ( x) 1 2 x 3 x 2
u( x, y) 1 2 x 3 y v( x, y) m1 m 2 x m3 y
3 2 4 5
1
2
3
4
1
5
6
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1. 杆端力和杆端位移列阵 符号的规定为：当线位移及相应的力与坐标轴方向 一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手 法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。 对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向 的分量。
dv dx
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代回位移函数:
v ( x ) 1 2 x 3 x 4 x
2
3
经整理后:
v( x) N3vi N4i N5v j N6 j
3 2 2 3 N3 1 2 x 3 x l l 2 2 1 3 N4 x x 2 x l l 3 2 2 3 N5 2 x 3 x l l 1 2 1 3 N6 x 2 x l l
式中，1、 2 …、m+1…为待定系数。 待定系数的确定： 位移函数在单元节点上的值应等于节点位移 如：
u ( xi ) ui
v( xi ) vi
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①轴向位移描述 已知杆系在弹性小变形阶段轴向变形与剪、弯 变形互不偶联，故假定按线性变化，任意点轴向位 移变化规律：
N d
e
N1 ，N2 ， N3， N4， N5， N6 称为形函数
[N] 称为形函数矩阵。
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形状函数(shape functions of the displacement field)，数学上称为插值函数。 物理意义：当单元中与其对应的位移分量为1，其它 全为零时的变形曲线方程，如:
1 *T W { } { }* dV V 2
将{ε} *和{σ} *的表达式代入上式得
1 *T T * W {d } ( [ B] [ D][ B]dV ){d } V 2
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总势能为
1 *T W T {d } ( [ B]T [ D][ B]dV ){d }* V 2
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设单元在杆端力{F} 以及荷载{f(x)}的作用下处于 平衡状态，在某种可能的位移影响下，杆端位移为 {d}*，相应的应变为{ε}* 。 外力势能的总和为: T={d}*T{F} + {d}*T[N]T{f(x)} 应变为{ε}*与应力{σ} *对应的变形能为：
一、对象、任务
对象：研究有限大小的个体(element) 任务：1. 建立应变与结点位移分量之间的关系; 2. 建立应力与结点位移分量之间的关系; 3. 建立结点力与结点位移分量之间的关系; 4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载。
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本节的研究对象：杆件 所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面 尺寸的一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力 或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件 称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为 杆单元和梁单元。但由于在实际工程结构中，同一构 件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本课程都称之为梁单元。并且，本课程所讨论 的梁单元均是指等截面直杆，对于变截面杆和弯曲杆 件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面 杆。因此本书的分析方法仍然对其适应。
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第1章 杆系结构有限元
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第1章 杆系结构有限元
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 有限单元法及其发展概况 有限元方法及解题步骤 单元分析 整体分析 按单元定位向量形成总刚度方程 约束处理及求解
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杆端位移列向量
{d } [ui vi i u j v j j ]
e
T
杆端力列向量
{F } [U i Vi M i U j V j M j ]
e
T
杆端力与杆端位移之间的关系
{F } K d
e e
e
K
e
即为本章要推导的单元刚度矩阵
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W Pt
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变形体的虚功原理可表述为： 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变 形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变 形，则外力在位移上所作外虚功T恒等于各个微段的 应力合力在变形上所作的内虚功W。
T W
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设单元在杆端力{F} 以及荷载{f(x)}的作用下处于 平衡状态，在某种可能的虚位移影响下，杆端虚位 移为{d}*，相应的虚应变为{ε}* 。 由虚功原理: 外力虚功的总和为: T={d}*T{F} + {d}*T[N]T{f(x)} 实际应力{σ}在虚应变上所做的内力虚功总和为：
[B]称为几何矩阵，反映了单元应变与节点位移之间 的关系
1 0 0 l B 6 12 4 6 0 y 2 2 3 x y l l l l 6 12 2 6 x 0 y 2 3 x y 2 x l l l l 1 l 0 0
e e
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e
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单元刚度矩阵的一般表达式。
[ K ] [ B] [ D][ B]dV
e T V
等效节点力：
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2 设定单元位移函数
结构离散化后，要对单元进行力学特性分析， 即确定单元节点力和节点位移之间的关系。 位移函数 — 将单元内任意一点的位移分量表 示为坐标的函数。 假定的位移函数必须满足两个条件： ① 单元内任意一点的位移分量可由节点位移表示； ② 由位移函数出发得到的有限元解收敛于真实解。
{d} {F} {d} [ N ] { f ( x)}
*T *T T
总势能对{d}*T求变分
( [ B]T [ D][ B]dV ){d}* {F} [ N ]T { f ( x)} 0
V
真实位移的势能最小，把{d}*改写为{d}e，可得
{F} [ K ] {d }
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于是有： du x 0 dx { x } 2 xb y d v dx 2
轴向变形与 弯曲变形相 互独立
' N 1' 0 0 N2 0 0 e {d} " " " " 0 yN3 yN 4 0 yN5 yN 6 e [ B]{d}
当x=l/2时，v=0.125l, θ =-0.25
θi=1
x
du dx
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3、几何矩阵[B]
杆件的轴向应变为：
du x0 dx 由弯曲变形引起的曲率为： d 2v 2 dx
忽略剪切影响，弯曲引起 的轴向线应变为：
d 2v xb y 2 dx
u 1 2 x
由边界条件确定常数α1、α2 ： 当x = 0 时，ui =α1 当x = l 时，uj=α1+α2l 由此解得:
1 ui
2
u j ui l
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代回位移函数:
u( x) 1 2 x
经整理后得:
u( x) N1ui N2u j
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4、应力矩阵[S]
根据单向应力-应变关系可得:
x 0 x 0 { x } E [ D][ B]{d }e [ S ]{d }e xb xb
E D 0 0 E
[S]称为应力矩阵，反映了单元应力与节点位移 之间的关系
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将上述边界条件代入位移函数v 和θ可得：
1 vi
2 i
3 2 3 1 3 2 vi i 2 v j j l l l l 2 1 2 1 4 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l
T l V
T
简写成：
{F} [ K ] {d }
e e
e
式中
[ K ] [ B] [ D][ B]dV
e T V
为单元刚度矩阵的一般表达式。
{F}eq [ N ] { f ( x)}dx
T l
为等效节点力。
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6、用最小势能原理建立单元刚度方程
最小势能原理：在所有满足给定边界条件的位移时， 满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里 的特殊情况。对于一般性问题，真实位移状态使结 构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题 中取最小值。 势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。
x N1 1 l x N2 l
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②切向位移和转角的描述 设位移函数为三次多项式：
v 1 2 x 3 x 2 4 x 3
由微分关系, 转角
dv 2 2 3 x 3 4 x 2 dx
由边界条件确定常数αi ： 切向位移 当x = 0 时,v = vi 当 x = l 时,v = vj 转角 当x = 0 时, i 当 x = l 时, j