排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

授课时间学员年级课时总数

教学目标教学重点教学难点

教学过程

尊重 ·乐学 ·博识

学员数学科目第次个性化教案

教师姓名备课时间

高二课题名称排列组合问题的解题策略

共课时教育顾问学管邱老师

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

1、两个计数原理的掌握与应用；

2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；

运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）

教师活动

一、作业检查与评价（第一次课程）

二、复习导入

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真

审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用

合理恰当的方法来处理。

三、内容讲解

1.分类计数原理 ( 加法原理 )

完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，⋯，在第n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：

N m1 m2m n

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：

N m1m2m n

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元

素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

排列组合问题的解题策略

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一、相临问题——捆绑法

例 1． 7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，

并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: n 站成一排 , 其中某 m 个人相邻 , 可用“捆绑”法解决，共有A N N M M A M M种排法。

练习： 5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?

二、不相临问题——选空插入法

例 2． 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：A62 A55

种 .

插入法 : 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题, 可以用插入法. 即先排好没有限制条件的

元素 , 然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可. 若 N 个人站成一排，其中M 个

人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12 张。 8 个学生， 4 个老师，要求老师在学

生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析此题涉及到的是不相邻问题 , 并且是对老师有特殊的要求 , 因此老师是特殊元素 , 在解决时就要特殊

对待 . 所涉及问题是排列问题 .

解先排学生共有种排法 , 然后把老师插入学生之间的空档，共有 7 个空档可插 , 选其中的 4 个空档 ,共有种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为种 .

三、复杂问题 -- 总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用

“排除法”，先求出它的反面 , 再从整体中排除 . 解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素

的限制。

例 3.(1996 年全国高考题 ) 正六边形的中心和顶点共7 个点，以其中 3个点为顶点的三角形共有个 .

解：从7 个点中取3 个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线

不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有－ 3＝32 个.

练习：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人 , 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多

少种 ?

分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况, 这样解题的话 , 容易造成各种情况遗漏或者重复的情况. 而如果从此问题相反的方面去考虑的话, 不但容易理解 , 而且在计算中也是非常的简便 . 这样就可以简化计算过程 .

解 43人中任抽 5人的方法有种 , 正副班长 , 团支部书记都不在内的抽法有种 , 所以正副班长 , 团支部书记至少有 1人在内的抽法有种 .

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四、特殊元素-- 优先考虑法

对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995 年上海高考题 ) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有

不同的排法

种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，

有 3 种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72 种不同的排法 .

例 5．（ 2000 年全国高考题）乒乓球队的10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛， 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场

安排共有种 .

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7 名队员选出 2 名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252 种 .

五、多元问题 -- 分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例 6．（ 2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新

节目 . 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）

A ．42

B ．30

C ．20

D ．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况： 1. 不相临：共有种； 2. 相临：共有种。故不同插法的种数为：A62+ A22A61 =42，故选 A。

例 7．（ 2003 年全国高考试题）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区

不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

解：由题意，选用 3 种颜色时，C43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色

方法有 C43 A 33 =24 种 4 色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有 2 种情况，涂色方法有

C21A 44 =48 种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72

六、混合问题-- 先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．