上海 上海师范大学附属高桥实验中学八年级数学上册第五单元《分式》检测(答案解析)

一、选择题
1．使分式21x x -有意义的x
的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0
C ．x ≠±1
D ．x 为任意实数
2．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程
13122my y y y
--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9
B ．10
C ．13
D ．14 3．关于分式2634m n m n
--，下列说法正确的是（ ） A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍
C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变
D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变
4．如图，在数轴上表示2224411424x x x x x x
-++÷-+的值的点是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
5．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102
x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ）
A ．9-
B ．8-
C ．7-
D ．6- 6．关于x 的分式方程
5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m = B ．2m =- C ．5m = D ．5m =- 7．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）
A ．6000600052x x -=
B ．6000600052x x
-=
C ．6000600052
x x -=+ D ．6000600052x x -=+ 8．化简分式2
xy x x +的结果是（ ） A ．y x B ．1y x + C ．1y + D ．y x x
+ 9．2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（ ）
A ．1200，600
B ．600，1200
C ．1600，800
D ．800，1600 10．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ）
A ．
7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x -=-
C ．7500980020x x 10-=+
D ．9800750020x 10x
-=+ 11．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ）
A ．
18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032
x x -=+ 12．已知227x ,y ==-，则
221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3
二、填空题
13．已知5,3a b ab -==，则
b a a b +的值是__________． 14．已知234
a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b c a b c -+-_____． 15．若32a b =，则
22a b a +=____． 16．符号“a b c d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：
a b
c d ＝ad ﹣bc ，请你根据上
述规定求出下列等式中x 的值．若2
111111x
x =--，那么x ＝__．
17．关于x 的分式方程3122m x x
-=--无解，则m 的值为_____． 18．已知215a a
+=，那么2421a a a =++________． 19．计算35232
()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦＝__． 20．计算：22a 1a 1a 2a a
--÷+=____． 三、解答题
21．先化简，再求值：213(1)211
x x x x x +--
÷-+-，其中4x =-． 22．计算：
（1）()()22x y x x y -++； （2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝
⎭． 23．解方程
（1）
22211x x x =-+． （2）2127111
x x x +=+--． 24．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元．
（1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？
（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了%a ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价325
a 元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a 的值．（利润=售价-进价） 25．（提示：我们知道，如果0a
b ->，那么a b >．）
已知0m n >>．如果将分式
n m 的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比n m
是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究． （1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明；
（2）当所加的这个数为2时，直接说出结果；
（3）当所加的这个数为0a >时，直接说出结果．
26．（1
）计算：0
)4π+-（2）解不等式：452(1)x x +≤+
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．
【详解】
由题意，得x 2−1≠0，
解得：x≠±1，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．
【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②
，
解①得
x≤2m+2，
解②得
x≤4，
∵不等式组31224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，
∴2m+2≥4，
∴m≥1．
13122my y y y
--+=--， 两边都乘以y-2，得
my-1+y-2=3y ， ∴32
y m =-， ∵m≥1，分式方程
13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，
∵y-2≠0，
∴y≠2， ∴322
m ≠-， ∴m≠
72， ∴m=1，3，5，符合题意，
1+3+5=9．
故选A ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B 、
22623=23432m n m n m n m n
⨯--⨯--，故分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意； C 、
226212=32438m n m n m n m n
-⨯--⨯-，故分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意； D 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 4．C
解析：C
【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．
【详解】 解：2224411424x x x x x x
-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)
x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=
+++， 242
x x -+=+， 22
x x +=
+， =1， 在数轴是对应的点是M ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】 先根据方程3211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解求得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可．
【详解】 解：3211
m x x =--- 解得：52
m x +=， ∵方程有非负实数解， ∴0x ≥即
502m +≥， 得5m ≥-；
∵不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩
有解， ∴12x m -≤≤-，
∴21m -≥-，
得3m ≤，
∴53m -≤≤，
∵10x -≠，即
502
m +≠， ∴3m ≠-，
∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，
其和为：-6，
故选：D ．
【点睛】
此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m 的取值范围是解题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解．
【详解】
5222m x x
+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，
∵关于x 的分式方程
5222m x x
+=--有增根，且增根x=2， ∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．
【详解】
设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，
根据题意得：
6000600052x x
-=， 故选：A ．
【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键． 8．B
解析：B
【分析】
先把分子因式分解，再约分即可．
【详解】 解：
22(1)1xy x x y y x x x
+++==． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分．
9．A
解析：A
【分析】
先设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率且两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，可得出关于x 的分式方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 依题意得：
6000600052x x
-=， 解得：x =600， 经检验，x =600是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x =1200．
故答案选：A ．
【点睛】
该题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．C
解析：C
【分析】
由设甲单位的捐款人数为x ，甲单位捐款人数比乙单位少10人，得到乙单位人数为（x+10），根据甲单位人均捐款额比乙单位多20元列得方程．
【详解】 解：由题意得：7500980020x x 10
-=+，
故选：C ．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程解决实际问题是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程．
【详解】
设原来参加游览的学生共x 人，由题意得
18018032
x x -=+， 故选：D ．
【点睛】
此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=()()
16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-
=()()333x y x y x y -+- =13x y
+， 当227x ,y ==-，原式=
112221
=-， 故选B ．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 二、填空题
13．【分析】先利用乘法公式算出的值再根据分式的加法运算算出结果【详解】解：∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查分式的求值解题的关键是掌握分式的加法运算法则 解析：313
【分析】
先利用乘法公式算出22a b +的值，再根据分式的加法运算算出结果．
【详解】
解：∵5a b -=，3ab =，
∴()2
22225631a b a b ab +=-+=+=， ∴22313
b a b a a b ab ++==． 故答案为：
313
． 【点睛】
本题考查分式的求值，解题的关键是掌握分式的加法运算法则． 14．3【分析】设=k 用k 表示出abc 的值代入代数式计算化简即可【详解】设=k 则a=2kb=3kc=4k ∴故答案为：3【点睛】此题考查分式的化简求值设设=k 用k 表示出abc 的值是解题的关键
解析：3
【分析】 设
234
a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值，代入代数式计算化简即可． 【详解】 设
234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∴2343=3+234a b c k k k k a b c k k k k
-+-+==-+-， 故答案为：3．
【点睛】 此题考查分式的化简求值，设设234
a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值是解题的关键． 15．2【分析】将代入式子化简即可得到答案【详解】∴原式故答案为：2【点睛】此题考查分式的化简求值解题的关键是正确代入及掌握分式化简方法 解析：2
【分析】
将32a b =代入式子化简即可得到答案．
【详解】
23b a =，
∴原式34222a a a a a
+=
==． 故答案为：2．
【点睛】 此题考查分式的化简求值，解题的关键是正确代入及掌握分式化简方法．
16．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的
解析：4
【分析】
首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．
【详解】
解：∵2
11111x
x --=1， ∴21111x x
-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：
2+1＝x ﹣1，
解得：x ＝4，
检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，
即x ＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．
17．-3【分析】先求解分式方程得到用m 表示的根然后再确定该分式方程的增根最后让分式方程的根等于增根并求出m 的值即可【详解】解：m+3=x-2x=m+5由的增根为x=2令m+5=2解得m=-3故填：-3【
解析：-3
【分析】
先求解分式方程得到用m 表示的根，然后再确定该分式方程的增根，最后让分式方程的根等于增根并求出m 的值即可．
【详解】
解：3122m x x
-=-- 3122
m x x +=-- 312
m x +=- m+3=x-2
x=m+5 由3122m x x
-=--的增根为x=2 令m+5=2，解得m=-3．
故填：-3．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根，理解增根的定义是解答本题的关键． 18．【分析】将变形为=5a 根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a 即可得到答案【详解】∵∴=5a ∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a 将所求代数式的分母变形为 解析：
124
【分析】 将215a a
+=变形为21a +=5a ，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a +=5a ，即可得到答案．
【详解】 ∵215a a
+=， ∴21a +=5a ， ∴2421a a a =++()()22
22222221242451a a a a a a a a ===-+- 故答案为：
124
． 【点睛】 此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22
(1)a a +-形式，再代入计算是解题的关键． 19．【分析】首先计算积的乘方再计算中括号内的同底数幂的乘法最后计算单项式除以单项式即可得出答案【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式熟练掌握运算法则是解答此
解析：7a ．
【分析】
首先计算积的乘方，再计算中括号内的同底数幂的乘法，最后计算单项式除以单项式即可得出答案．
【详解】
解：35232
()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦
=1526()a a a -÷-
=158()a a -÷-
=7a ．
故答案为：7a ．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 20．【分析】根据分式除法法则先将除法转化为乘法再运用分式的乘法法则进行计算即可得出结果【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了分式的除法运算掌握分式的乘除法的关系及运算法则是解题的关键 解析：12
a a ++ 【分析】
根据分式除法法则先将除法转化为乘法，再运用分式的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【详解】 解：22a 1a 1a 2a a
--÷+ ()()()a 1a 1a a a 2a 1
+-=⋅+- 12
a a +=+ 故答案为：
12a a ++ 【点睛】
本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘、除法的关系及运算法则是解题的关键．
三、解答题
21．
1x x -；45
【分析】
分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．
【详解】 解：213(1)211
x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3
x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3
x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3
x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=
⨯-- 1
x x =- 当4x =-时，原式441415
x x -=
==---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
22．（1）222x y +；（2）
36
m m -+ 【分析】
（1）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为除法，然后约分化简即可．
【详解】
（1）原式22222x xy y x xy =-+++ 222x y =+；
（2）原式=2226693336m m m m m m m --+⎛⎫-⨯ ⎪---⎝⎭ ()()()
2
36366m m m m m --=⋅--+ 36
m m -=
+． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23．（1）无解；（2）2x =
【分析】
（1）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可得到答案； （2）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可得到答案；
【详解】
（1）解：原方程可变形为()()()
21111x x x x =+-+， 方程两边同乘最简公分母()()11x x x +-，得
21x x =-．
解得：1x =-．
检验：把1x =-代入最简公分母()()11x x x +-，得
()()()()11111110x x x +-=--+--=，
因此，1x =-是增根，从而原方程无解．
（2）原方程可变形为：()()
1271111x x x x +=+-+- 方程两边同乘最简公分母()()11x x +-，得
()1217x x -++=
解得，2x =
检验：把2x =代入最简公分母()()11x x +-，得
()()113130x x +-=⨯=≠
因此，2x =是原方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程需要检验．
24．（1）第一批紫水豆干每千克进价是25元；（2）a 的值是50．
【分析】
（1）设第一批紫水豆干每千克进价是x 元，则第二批每件进价是（x-3）元，再根据等量关系：第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可；
（2）根据第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价x 元， 根据题意，得：
2500440023
x x ⨯=-， 解得：x=25，
经检验，x=25是原方程的解且符合题意；
答：第一批紫水豆干每千克进价是25元．
（2）第二次进价：25-3=22（元），
第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克，
第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a %元， 第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克325a -
元， 由题意得：322%20080%200(180%)152025a a ⨯⨯⨯-
⨯-=， 解得：a =50，
即a 的值是50．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（1）所得分式的值比原来增大了，计算说明见解析；（2）增大；（3）增大．
【分析】
（1）先求出
11n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （2）先求出
22n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （3）先求出
n a n m a m
+-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >，0a >判断即可． 【详解】
解：（1）由题意得： 11n n m m
+-+， (1)(1)(1)(1)
m n n m m m m m ++=-++， (1)
mn m mn n m m +--=+， (1)
m n m m -=+， ∵0m n >>，
∴0m n ->，0m >，10m +>， ∴
0(1)m n m m ->+， ∴101n n m m
+->+， 11n n m m
+∴>+，即所得分式的值比原来增大了；
（2）22n n m m
+-+ (2)(2)(2)(2)m n n m m m m m ++=
-++ 22(2)
mn m mn n m m +--=+ ()
2(2)m n m m -=+
同理可得
()20(2)m n m m ->+， ∴22n n m m
+>+，即所得分式的值比原来增大了； （3）
n a n m a m +-+ ()()()()m n a n m a m m a m m a ++=
-++ ()
mn ma mn na m m a +--=+ ()
(2)a m n m m -=+
∵0m n ->，0m >，0a >，
∴
()0(2)a m n m m ->+ ∴n a n m a m
+>+，即所得分式的值比原来增大了． 【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则．
26．（1）3-；（2）x≤32-
． 【分析】
（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的意义，以及算术平方根性质计算即可得到结果； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．
【详解】
解：（1）原式=14+-3-；
（2）去括号，得4x+5≤2x+2，
移项合并同类项得，2x ≤-3，
解得x≤32
-．
【点睛】
此题考查了实数的运算和解一元一次不等式，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。