第2章 误差分析及处理

3 、粗大误差：

定义：明显歪曲结果，使测量值无效的误差。
坏值：含有粗大误差的测量值。 坏值的原因：测量者主观过失，操作错误，测量 系统突发故障。 处理方法：剔除坏值。

2.2
直接测量值的误差分析与处理
2.2.1 随机误差的误差分析与处理 2.2.2 系统误差的误差分析与处理
2.2.3 粗大误差的误差分析与处理
f ( )
1 ＝0.5
3 =2.0
图1－2 随机误差的正态分布曲线
2 =1.0

越小
，精密度越高
1、真值
1 n ＝lim xi n n i 1

为什么？p13
2、 标准误差或均方根差
lim
n
1 n 2 i lim n n i 1
2、 随机误差 定义：同一被测量多次测量时，误差的绝对值 和符号的变化不可预知. 特点：单次测量值误差的大小和正负不确定； 但对一系列重复测量，误差的分布有规律：服 从统计规律。 随机误差与系统误差之间即有区别又有联系； 二者无绝对界限，一定条件可相互转化。
随机误差产生原因： 检测仪器或测量过程中某些未知或无法控制的随 机因素综合作用。(如仪器的某些元器件性能不稳定， 外界温度、湿度变化，空中电磁波扰动，电网的畸变 与波动等) 注意： 随机误差的变化通常难以预测，无法通过实验方 法确定、修正和消除。可以实现误差估计。通过足够 多的测量比较可以发现随机误差服从某种统计规律(如 正态分布、均匀分布、泊松分布等)。
b
2 ( 2 ) 2
d
区间选择对称的 [-a,a]
P a a P a 20
a
1 2 exp( )d 2 2 2
1)置信区间：定义随机变量的取值范围，常用标准误差 的倍数来表示，即 a z ，其中z为置信系数。 2)置信概率：随机误差δ出现在区间[－a,a]或[-zσ, zσ]的概率。
1 1 n lim i lim n n i 1
n n
( xi ) 0
n
二、随机误差的正态分布性质 正态分布的数学描述： 1 2 f ( ) exp( 2 ) 2 2

，
为特征参数
式中： μ：数学期望值（真值），位置特征参数，其变化影响 分布曲线的位置。 σ：方差，离散特征参数。其大小影响分布曲线的形状。
五、小子样误差分析
当子样容量小，如2－3个，如按上述方法推断 ˆx 很不准确。子样容量愈小，问题越严重。 原因在于小子样的平均值偏离正态分布，服从t分 布，当用小子样正态分布为条件求得的σ代替母 体的σ ，就产生较大的偏差。
，
（1）解决方案：以t分布的置信系数t(α,v)代替正态 分布的置信系数z， t(α,v) 可通过查表得到。 t(α,v)> z实质增大了同样置信概率下的置信区间。
它不能通过校正的方法加以消除。但可从理论上估计其 对检测结果的影响。
2. 随机误差的概率密度分布服从正态分布 特点： (1) 有界性：大误差出现的 概率接近于零. (2) 单峰性：小的误差出现 的概率大于大误差出现的概 率。 (3) 对称性：绝对值相等而 符号相反的随机误差出现的 概率相同。 (4) 抵偿性：随测量次数n 的增加到无穷多时， 全部随机误差的平均值趋于零
测量误差的概念
2.1.1 测量误差的来源
2.1.2 测量误差的分类
2.1.3 测量误差的表示
2.1.1测量误差的来源
测量装置的误差：由于测量仪器本身不完善或测量精度 不高所带来的误差。仪表构造，附件以及连接部分的精 密程度及紧密程度造成的误差。 环境误差：任何测量都有一定的环境要求。 环境变化引起的与标准条件偏离以及由于被测量本 身变化造成的误差 例如：标准工作温度：0～35℃， 实际温度：38℃ 方法误差：由于测量方法不合理或不完善所引起的误差。 例如：金属铂热电阻： Rt = R0(1 + At + Bt2) (舍去高阶项) 人员误差：由于测量人员本身测量素质不高引起的误差。 操作人员得粗心大意造成的测量误差（读数误差）
1 n 2 ( xi ) n i 1
但在实际测量中，被测变量的真值 是无法知 道的，用算术平均值 x 代替真值 ，则 vi xi x ，为残余误差或剩余误差。 用残余误差 v i 代替 i ，均方根差 估计值 ˆ
1 n 2 1 n 2 ˆ v ( x x ) i i n 1 i 1 n 1 i 1
引言
绝对误差 实际相对误差 按误差的表示法分类
示值相对误差 相对误差 引用相对误差
基本误差 分贝误差
误差分类
附加误差 允许误差
随机误差
按误差性质分类 系统误差 粗大误差
学习重点： 掌握测量误差的三种分类； 掌握随机误差的正态分布性质及概率计算； 学会测量中如何进行误差的综合；
2.1
4754.7
4751.2
4750.0
4752.3
4751.0
求该转动机械的转速（要求测量结果的置信概率为 95.45％）
解:（1）计算测量值子样平均值：
（2）计算标准误差估计值
1 n 1 20 x xi xi 4752 .0( r / m in) n i 1 20 i 1
ˆ:
（r/min)
ˆ
测量结果：X=4752.0
0.9（r/min,P=95.45%)
2、单次测量结果表示 如实际做的是单次测量，但已知同样测量条件下的 ˆ ,则测量结果表示为 标准误差估计值 ˆ (P=99.73%) X＝单次测量值 3 ˆ(P=95.45%) X＝单次测量值 2
四、测量结果的表示
1.算术平均值 多次重复测量的测量结果一般可表示为：
在一定置信概率下，以测量值算术平均值为中 心，以置信区间半长为误差限的量
测量结果X＝算术平均值 （置信概率） 例如：
x
置信区间半长
ˆ x （P=99.73%) X x 3 （P=95.45%) ˆ X x 2 x
vi xi x
ˆ
(x x)
i 1 i
n
2
n 1
=2.0(r/min)
(3)求平均值的标准误差
2.0 ˆx (r / min) n 20 (4) 对于给定的置信概率，求置信区间半长a： ˆx 根据题意 a z 当置信概率为 95.45% ˆ x 0.9 a 2 查表得 z=2 所以
2.2.1 随机误差的误差分析与处理
一、随机误差的定义和分布特点
1.定义
随机误差(偶然误差) :在消除了系统误差之后，由于 某种人们尚未认识的原因或目前尚无法控制的某些因素 (例如电子热噪声干扰)所引起，或者是由于某些偶然因 素所引起的误差，其数值大小和性质都不固定，难以估 计，但其总体服从一定的统计规律.
【例2－3】在与上例同样的测量条件下，单次测量 转动机械的转速为4753.1r/min,求该转动机械的 转速（测量结果的置信概率仍要求为95.45％）
（1）上例计算该测量条件下的标准误差估计值 ˆ =2.0r/min （2）给定的置信概率P=95.45%，求置信区间半长a
ˆ a z
由置信概率P=95.45% 查表1－1得 z=2 所以 测量结果可表达为X=4753.1 4（r/min,P=95.45%)
2.1.2 测量误差的分类 根据测量误差的性质(或出现的规律)，产生的原因， 测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 1、系统误差： 定义：同一被测量多次测量，误差的绝对值和 符号保持不变，或按某种确定规律变化。前者称 为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。 特点: 增加测量次数不能减小该误差。 原因：仪表本身原因，使用不当，测量环境发生 大的改变。 处理方法：校正——求得与误差数值相等、符号 相反的校正值，加上测量值。
相应的显著性水平 =0.0455 a=1-P=1-0.95450
(3) P{|δ|<=3σ}=0.9973 =369/370 相应的显著性水平 =0.0027 a=1-P=1-0.9973
Leabharlann Baidu
随机误差在〒σ范围内出现的概率为 68．3％； 随机误差在〒2σ范围内出现的概率为 95．4％； 随机误差在〒3σ范围内出现的概率为 99．7％。 即误差出现在3σ之外几乎不可能，也就是说在任 何测量中，正态分布的随机误差的极限值为〒3σ， 这可作为确定仪表随机误差的理论依据。
1 5 0 x xi 989.69( C ) 5 i 1
(2)求
ˆx x 的标准误差估计值
1 5 2 0 ( xi x ) 4.85( C ) 5 4 i 1
ˆx
(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1P=0.05和自由度v=5-1=4，查表2－2，得 t(0.05,4)=2.78。所以测量结果为
系统误差种类 定值系统误差: 误差值恒定不变。 变值系统误差：误差值变化。 变值系统误差可表现为累进性的、周期性的以及按复 杂规律变化几种形式。
系统误差产生的原因： 测量工具本身性能不完善； 安装、布置、调整不当；环境条件发生变化； 测量方法不完善、或者测量所依据的理论本身不完善等； 操作人员视读方式不当。 注意： 系统误差可被设法确定并消除（引入校正值（函数）、 零点调整等）
（2）小子样的测量结果表示:
ˆ x x t ( a, v ) X x t (a, v)
ˆx n
（在P置信概率下） （3）小子样单次测量结果表示： 已知同样测量条件下的标准误差估计值 ˆ
ˆ （在P置信概率下） X x t (a, v)
（4）举例 [例2－4]用光学高温度计测某种金属固液共存点的 温度(0C)，得到下列五个测量值；975，1005， 988，993，987。试求该点的真实温度（要求测 量结果的置信概率为95％） 解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置 信区间。 (1) 求出五次测量的平均值 x
例2－2、对恒速下旋转的转动机械的转速进行了20次 重复测量，得到如下一列测量值（单位为(r/min); 4753.1 4749.2 4757.5 4750.6 4752.7 4751.0 4752.8 4753.9 4752.1 4751.2
4750.3
4748.4
4753.3
4752.5
4752.1
令 a z z:置信系数
2 2
P a P z P z 2


z
0
z exp( )dz 2 ( z ) 2
3)置信水平:表示随机误差落在置信区间以外的概率。
1 2( z )
例2-1 在同样条件下，一组重复测量值的误差服从正态分布， 求误差|δ|不超过σ ,2σ, 3σ的置信概率P。 解: 根据题意, z=1,2,3。从表上查得2Φ(1)=0.68269, 2Φ(2)=0.95450, 2Φ(3)=0.997300,因此： (1) P{|δ|<=σ}=0.68269=2/3 相应的显著性水平 a=1-P=1-0.68269 =0.31731 (2) P{|δ|<=2σ}=0.95450 =21/22
第2章 测量误差的分析与处理
主要内容 2.1 测量误差的概念
2.2 直接测量值的误差分析与处理
2.3 间接测量误差的分析与处理
2.4 系统误差
2.5 误差的综合
研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生原因，以便 减小和消除误差； 正确认识误差和实验数据，合理计算所得结果， 以 便在一定条件下得到最接近于真值的数据; 正确组成测量系统，合理选择仪器和 测量方法， 以便在最经济的条件下得到最理想的结果。
上式称为贝塞尔（Bessel)公式 3、 算术平均值的均方根差
x

n
ˆx
ˆ n
三、正态分布的概率运算
求 出现在区间[a,b]的概率。 1. 全概率公式
1 2 e

2 ( ) 2 2
d 1
2. 区间概率公式
1 Pa b e a 2