测量平差第二章精度指标与误差传播

t,
则有： t, d dt


1
2

e 2 2 d
2

1
t2
e 2 dt
2

t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率
积分表可得： 0.6750 2
3
由此可见：或然误差与中误差 也存在固定的比例关系,所以作 为衡量精度的指标,理论上是等 价的。
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2 ……Ln可表示为：
L1
L
n,1


L2



Ln


~
L1
~

~
L
n ,1

L2 L~n


n ,1


~
L1
~
L2


~
Ln



L1

L2

误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16
…… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
i
为纵坐标值，使曲线
（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。
频率曲线变概率曲线
同条件下所得一组独立观测值，n足够大 时，误差出现在各个区间的频率总是稳 定在某一常数（理论频率）附近，n越 大；稳定程度越高。
n趋于 ，则频率等于概率（理论频率）。
令区间长度
，d则长0 方条顶形成的
折线变成光滑曲线，称概率曲线。
此外，根据方差的定义，可见方差实际上 是偶然误差平方的数学期望?
方差、中误差的计算
2 D() E[( E())2 ] ( E())2 f ()d
∵偶然误差，∴E(△)=0
2 D() E(2 ) 2 f ()d
…… 0.002
0 0.499
(K/n)/d△
0.475 0.405 0.370 0.295 0.240 0.190 ……. 0.010
0
个数K 46 41 33 21 16 13 …… 2 0 211
+△ 频率K/n 0.088 0.085 0.069 0.064 0.043 0.040
…… 0.005
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它 们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中 的每一个观测值，都称为是同精度观测值。
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然 误差各不相同。如前面测角例子
如何衡量精度？
可以用误差分布表、直方图、分布曲线 方法比较——麻烦
能否只用一个数字表示——简单
精度指标
本章内容是是测量平差的理论基础，也是本课 程的重点之一。
学习本章要求深刻理解精度指标的含义，掌握 权、协方差、协因数概念，确定权及根据已知 协方差、协因数的观测值求其函数的方差、协 因数的方法（协因数、协方差传播律）。
第一节 概述
概括本章内容。
其主线是偶然误差的统计规律→衡量单 个随机变量的精度指标－方差→衡量随 机向量的精度指标－协方差阵→求观测 值向量函数的精度指标－协方差传播律 →精度的相对指标-权。
0 0.505
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
第一节 概述 第二节 偶然误差的规律性
第三节 衡量精度的指标 第四节 协方差传播律 第五节 协方差传播律在测量上的应用 第六节 权与定权的方法 第七节 协因数与协因数传播律 第八节 由真误差计算中误差及其实际应用 第九节 系统误差的传播
内容及学习要求
本章详细讨论偶然误差分布的规律性，衡量精 度的绝对指标－中误差，相对指标－权及其确 定权的实用方法；方差、协因数定义及其传播 律等问题。
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
偶然误差的特性：
1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限；→有界
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多（概率大）；
3、绝对值相等的正负误差出现的次数（概率）大
致相等； →对称
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值（期
望）趋近于零

Lim
n
[] —n—
=0
偶然误差的意义：
1、是制定测量限差的依据； 极限误差（限差）
2、是判断系统误差或粗差的依据；
3、测量平差的主要研究对象
第三节 衡量精度的指标
（本小节阐述误差概念及几种精度指标）
（回顾上节）
精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程 度。

0
0

2
2 e 2 2


2

0
1
2
e 2 2 d
2


de

2 2 2
2
0
可见：两种精度指标完全等价，即分别用两种精度指 标衡量观测值及其函数的精度，结果相同。
在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。
三、或然误差（又称概率误差）
定义：在一定的观测条件下，偶然误差
落入对称区间（- ，）中的概率为二分
之一，即：
P( ) f ()d 1

2
显然：对于陡峭的误差曲线，给定概率值为1/2的条件
下， 较小，反之则较大。
所以： 也能较好地反映精度的高低。
或然误差与中误差的关系
令

n
E( X ) xi pi 或

E( X ) xf (x)dx
i 1

（离散）
（连续）
期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权, 取加权平均值的概念理解.表示出现在小区间的概率。
二、偶然误差的特性
例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
例：三角测量时以三角形闭合差超过一定限值视为不合格等
五、相对误差
中误差与观测值之比，一般用1/M表示。
提出：一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数 值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用 相对误差。
1
相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用 N 表示。对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对 误差。
0 0.501
(K/n)/d△ 0.440 0.425 0.345 0.320 0.215 0.200 …… 0.0025 0
用直方图表示:
（闭合差是理论值与 观测值之差，故是真 误差）。注意：统计 规律只有当有较多的 观测量时，才能得出 正确结论。
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n 概率密度函数曲线
p( ) 50%
2
3
1
f()
50%
0
1
闭合差
同样地,由于观测值数量有限,不可能求得或然误差. 实用上：将偶然误差按绝对值大小排序,n为奇数时 取中间值，n为偶数时取中间两个的平均值作为的
估值。
由于当n不大时，中误差 比平均误差能更灵敏的反映大 的真误差的影响，同时，在计 算或然误差时，往往先计算中 误差，因此，世界各国通常都 采用中误差作为精度指标，我 国统一采用中误差作为衡量精 度的指标

Ln

则有： L~ L n1 n1 n1
注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的
向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表 示，如： LT、L~T、T 等。
数学期望
从概率统计的观点看，当观测量仅含偶 然误差时，真值就是其数学期望。
某一随机变量的数学期望为：
-0.8 -0.6 -0.4
0 0.4 0.6 0.8
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
闭合差
为了形象地刻画误差分布情况：
横坐标表示误差的大小
Vi 纵坐标采用单位区间频率（出现在某区间内
nd i
的频率，等于该区间内出现的误差个数除误
差总个数n， 采用单位频率
Vi nd
~
MSE(X)=E(X-X)2
补充：伴随矩阵
对于A (aij )nn ,设Aij为det( A)中元素aij的代数余 子式(i, j 1, 2,, n).则称
A11
def
adj( A)

A12

A1n
A12 An1
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60
>1.60
和
个数K 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
—△ 频率K/n 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
第二节 偶然误差的规律性
本小节阐述偶然误差的统计规律性 提出偶然误差服从正态分布的结论
一、几个概念
真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大
~
小的数值观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。
~
真误差：观测值与真值之差， 一般用i= L -Li
表示。
LT 、AT 、B T
频数/d
频数/d
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
频数/d
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
几种常见的精度指标 一、方差/中误差
精度、准确度与精确度
精度：描述观测值与真值（仅含偶然误差时即为期望） 接近程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。精度的概 念也可以用于多维分布（随机向量）→ 方差-协方差阵
准确度：又叫准度，是衡量系统误差大小程度的指标
精确度：是精度和准确度的合成，反映了偶然误差和系 统误差联合影响的大小程度，用均方误差表示
f()
f ()
1
2
e 2 2
2
面积为1
提示： 越小，误差曲
线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。 相反，精度越低。
2
-0.8 -0.6 -0.4
1
0 0.4 0.6 0.8
1
2
闭合差
中误差为什么可以作为一种精度指标？
σ决定误差分布曲线的形状，反映误差 的离散程度，所以可作为精度指标。
四、极限误差
p( ) 68.3%
限 2或3

p(2



2
)

95.5%
p(3 3 ) 99.7%
由此可见：出现绝对值大于2~3倍中误差的偶然误差属于小 概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生 的．
意义：在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而 以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为 不合格。
等精度观测


2

[]


2
,


[]
n
n
二、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数 学期望。
E(
)


f ()d lim


n n
与中误差的关系： 4
5
[]
n
证明平均误差和中误差的关系式



f ()d 2 f ()d 2
频数/d
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
频数/d
f ()