高一数学平面向量的概念及表示方法PPT教学课件
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6.1平面向量的概念(同步课件)高一数学课件
[答案] 的模为0，方向任意.
情境设置
新知生成
1.具有______的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三个要素：______、______、______.
2.向量 的大小称为向量 的______（或称模），记作_____.长度为0的向量叫作零向量，记作 .长度等于___个单位的向量叫作单位向量.向量也可以用字母 ， ， ， 表示.
5.（1）平行向量是否一定方向相同？
[答案] 不一定；
（2）不相等的向量是否一定不平行？
[答案] 不一定；
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量？
[答案] 零向量；
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
[答案] 平行（共线）向量.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
D
A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 如图， ， ， ， 既不全是相等向量，也不全是平行向量，起点也不全是相同，故A，B，C错误；
而 ，故D正确.故选D.
3.（多选题）下列说法错误的有( ).
A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若 ，则一定有直线 D.若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 可能不在同一直线上
问题3：若 ， ，则一定有 吗？
[答案] 不一定.因为当 时， ， 可以是任意向量.
新知生成
1.平行向量：方向____________的非零向量叫作平行向量（也叫作共线向量）.向量 ， 平行，记作 .
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.用有向线段表示的向量 与 相等，记作_______.
[解析] 作出向量如图所示.
情境设置
新知生成
1.具有______的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三个要素：______、______、______.
2.向量 的大小称为向量 的______（或称模），记作_____.长度为0的向量叫作零向量，记作 .长度等于___个单位的向量叫作单位向量.向量也可以用字母 ， ， ， 表示.
5.（1）平行向量是否一定方向相同？
[答案] 不一定；
（2）不相等的向量是否一定不平行？
[答案] 不一定；
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量？
[答案] 零向量；
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
[答案] 平行（共线）向量.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
D
A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 如图， ， ， ， 既不全是相等向量，也不全是平行向量，起点也不全是相同，故A，B，C错误；
而 ，故D正确.故选D.
3.（多选题）下列说法错误的有( ).
A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若 ，则一定有直线 D.若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 可能不在同一直线上
问题3：若 ， ，则一定有 吗？
[答案] 不一定.因为当 时， ， 可以是任意向量.
新知生成
1.平行向量：方向____________的非零向量叫作平行向量（也叫作共线向量）.向量 ， 平行，记作 .
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.用有向线段表示的向量 与 相等，记作_______.
[解析] 作出向量如图所示.
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
《高中数学必修一课件-平面向量》
应用场景
物理、力学、几何等领域。
平面直角坐标系与坐标变换
概念
平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成。
2
变换方法
平移变换、旋转变换、对称变换及它们的组合。
3
应用
求解几何问题、绘图、数学建模等。
向量的三维空间表示方法
1 向量定义
也叫立体向量，有大小和方向。
2 空间直角坐标系
由三个相互垂直的坐标轴构成。
1 基本定义
向量的数量积为数字，表示向量大小及方向之间的夹角。
2 共线判定方法
向量数量积为0。
向量叉乘与单位向量
1
单位向量
2
具有单位长度的向量，用于研究向量的 方向和位置。
定义及计算方法
向量的叉乘是一个向量，同时需要满足 符合右手定则。
向量的投影和正交分解
计算方法
求投影长度、投影向量、正交向量。
向量的应用场景拓展
力和力矩
对物体施加的推、拉、扭力。
行列式
对向量进行线性变换时，行列 式的符号和绝对值有特殊含义。
图像形变
向量的平移、旋转、对称变换 可以用于图像形变。
高中数学必修一课件—— 平面向量
本课件将详细介绍平面向量的基本概念、运算、坐标变换及其应用，带你探 索向量的美妙世界。
什么是平面向量？
定义
平面内既有大小又有方向的量。
简单示例
飞行器的行驶速度、汽车的前进方向等。
向量加减法
加法
线段相加法、三角形法、平行四边形法。
减法
负向量加法法则。
向量数量积和向量共线
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
平面向量的概念课件(共34张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
高中数学平面向量PPT课件
a
CA OA OC
空间向量的加减法
k a (k>0)
空间向量的数乘
2021/3/8
k a (k<0)
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关20结21/3论/8 仍适用于它们。
向量减法的三角形法则 2021/3/8
b a
向量加法的平行四边形法则
a k a (k>0) k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
2021/3/8
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
2021/3/8
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量 C
D.共起点的向量
A2021/3/8
F
若不相等，则之间有什么关系？
D C
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
2021/3/8
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，
数学人教A版(2019)必修第二册6.1平面向量的概念(共41张ppt)
方向
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？________________________________________________________________________________________________________________
新知生成
1.平行向量 方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
1.下列各量中，向量的个数为( ) ①浓度；②年龄；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从 地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从 地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大小不等、方向相反.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？________________________________________________________________________________________________________________
新知生成
1.平行向量 方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
1.下列各量中，向量的个数为( ) ①浓度；②年龄；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从 地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从 地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大小不等、方向相反.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
数学人教A版(2019)必修二6.1平面向量的概念(共21张ppt)
人教A版高一数学必修第二册第六单元
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
必修第二册·人教数学A版
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
必修第二册·人教数学A版
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
必修第二册·人教数学A版
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
必修第二册·人教数学A版
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
必修第二册·人教数学A版
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
必修第二册·人教数学A版
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
高一数学必修课件第二章平面向量
共线向量与共面向量
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线 向量。任意两个共线向量都可以表示 为$lambdavec{a}$（$lambda in R$）的形式，其中$vec{a}$为非零 向量。
共面向量
平行于同一平面的两个或多个向量叫 做共面向量。在平面直角坐标系中， 任意两个向量都可以看作是共面向量 。
05 平面向量在解析 几何中的应用
直线的倾斜角和斜率关系
倾斜角定义
直线与x轴正方向之间的夹角，取 值范围为[0,π)。
斜率定义
直线上任意两点的纵坐标差与横坐 标差之商，即k=(y2-y1)/(x2-x1) 。
倾斜角与斜率关系
当倾斜角不为90°时，斜率k=tanα （α为倾斜角）；当倾斜角为90°时 ，斜率不存在。
向量的共线与垂直
两个向量共线的充要条件是它们的坐 标成比例。两个向量垂直的充要条件 是它们的数量积为零。
向量的线性运算
包括向量的加法、减法和数乘。向量 的加法满足交换律和结合律，向量的 减法可以转化为加法进行运算。数乘 向量满足分配律和结合律。
平面向量的基本定理
平面内任意两个不平行的向量都可以 作为基底，平面内的任意一个向量都 可以由这两个基底唯一线性表示。
向量定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向 线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。
向量表示方法
向量可以用小写字母$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$等表示 ，也可以用表示它的有向线段的起点和终点字母表示，如 $vec{AB}$。
零向量、单位向量与相等向量
两条直线平行或垂直条件
平行条件
两条直线的斜率相等，即k1=k2 。
6.1平面向量的概念-高一数学同步教学课件(人教A版必修第二册)
②要注意0和
的区分及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段
是向量.
咱俩差不多，
我还可以表示你
有向线段
向量
但是你不是我，
我是不一样的烟火
2
向量的几何表示
印刷体
两种特殊的向量
【1】零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作
【2】单位向量——长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量，则其终点和起点重合.
那么终点的位置就确定了.
向量
的模
向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量
AB的模，记作 |AB|
向量的模
2
向量的几何表示
概念辨析
——向量和有向线段是一回事吗？
【1】从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长
度三个要素，因此这是两个不同的量；
【2】在平面内，向量可以自由平移，而有向线段是固定的线段；
方向两个要素，这也
是判断一个量是否为
向量的重要方法.
1
向量的概念
例①
有人说：由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，
海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量.
你同意吗？温度、角度是向量吗？为什么？
【解】海拔不是向量，它只有大小没有方向.
海拔的正负不表示方向，只表示在海平面的上方还是下方.
的区分及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
且| |=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
③单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
④在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
3
相等向量与共线向量
【3】向量可以用有向线段来表示，但是向量不是有向线段，也不能说有向线段
是向量.
咱俩差不多，
我还可以表示你
有向线段
向量
但是你不是我，
我是不一样的烟火
2
向量的几何表示
印刷体
两种特殊的向量
【1】零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作
【2】单位向量——长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量，则其终点和起点重合.
那么终点的位置就确定了.
向量
的模
向量AB的大小称为向量AB的长度，也叫做向量
AB的模，记作 |AB|
向量的模
2
向量的几何表示
概念辨析
——向量和有向线段是一回事吗？
【1】从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长
度三个要素，因此这是两个不同的量；
【2】在平面内，向量可以自由平移，而有向线段是固定的线段；
方向两个要素，这也
是判断一个量是否为
向量的重要方法.
1
向量的概念
例①
有人说：由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，
海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量.
你同意吗？温度、角度是向量吗？为什么？
【解】海拔不是向量，它只有大小没有方向.
海拔的正负不表示方向，只表示在海平面的上方还是下方.
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
高一下学期数学人教A版必修第二册6.1平面向量的概念 课件
相对地，把只有大小没有方向的量称 为数量。如年龄、身高、长度、面积、 体积、质量等都是数量。
6.1.2 向量的几何表示
温故知新
对于长度，我们可以用线段表示，比如 一个直角三角形的边长可以表示为
BC=3, AB=4, AC=5
问题3：我们应该用什么 4
5
图形去表示向量呢？
有向线段
3
新课讲授
通常，在线段AB中，规定一个顺序，
a
a
b
b
定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，记作a//b.
规定：零向量与任何一个向量都平行
问题6：你能根据向量的定义给相等向量 下一个定义吗？
长度相等且方向相同的向量，叫做相等
向量。
a
记作a=b
b
例2、辨析正误 （1）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条
有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。( √ )
因此，平行向量也称为共线向量
l
C
OB A
例3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心。 （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与 OA，OB，OC 相等的向量。
解：
B
A
（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；
O
C
F
OB，DC，EO，AF是共线向量；
OC，AB，ED，FO是共线向量。
D
E
（2）OA=CB=DO；
假设A为起点，B为终点，我们就说线
段AB具有方向，具有方向的线段叫做
有向线段。ຫໍສະໝຸດ B（终点）有向线段 三要素：
起点、方
A（起点）
向和长度
线段AB的长度就是对应有向线段 AB 的长 度，可以记作AB或者 AB .
6.1.2 向量的几何表示
温故知新
对于长度，我们可以用线段表示，比如 一个直角三角形的边长可以表示为
BC=3, AB=4, AC=5
问题3：我们应该用什么 4
5
图形去表示向量呢？
有向线段
3
新课讲授
通常，在线段AB中，规定一个顺序，
a
a
b
b
定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，记作a//b.
规定：零向量与任何一个向量都平行
问题6：你能根据向量的定义给相等向量 下一个定义吗？
长度相等且方向相同的向量，叫做相等
向量。
a
记作a=b
b
例2、辨析正误 （1）任意两个相等的非零向量，都可以用同一条
有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。( √ )
因此，平行向量也称为共线向量
l
C
OB A
例3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心。 （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与 OA，OB，OC 相等的向量。
解：
B
A
（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；
O
C
F
OB，DC，EO，AF是共线向量；
OC，AB，ED，FO是共线向量。
D
E
（2）OA=CB=DO；
假设A为起点，B为终点，我们就说线
段AB具有方向，具有方向的线段叫做
有向线段。ຫໍສະໝຸດ B（终点）有向线段 三要素：
起点、方
A（起点）
向和长度
线段AB的长度就是对应有向线段 AB 的长 度，可以记作AB或者 AB .
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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（1）平行向量的方向一定相同．× （2）不相等的向量一定不平行．×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量
一定是什么向量？
平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上．×
老鼠在B处以3m/s向正东逃窜， 狗由A处5m/s向西北追去.
A
B
结果：狗的速度再快也没用， 因为错了。
风向
授课人:王琦
向量：
2.1 向量的概念及表示
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示方法： ①几何表示法：有向线段．
②代数表示法：用 a, b, c 等小写字母表示;
或用表示有向线段的起点和终
零向量：长度为零的向量,记作 0
单位向量：长度为１个单位长度的向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量
规定：0 与任一向量平行
相等向量:长度相等且方向相同的向量
相反向量:长度相等且方向相反的向量 共线向量：任一组平行向量都可移到同一
条直线上,故平行向量又称共线 向量。
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
(3).OA与BC相等吗?
E
D
F
o
C
A
B
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标出
的向量中写出与向量 OA,OB,OC相等的向量
变式
B
A
1.与向量 OA 长度相等的
向量共有多少个?
2.与 OA 共线的向量 C
o
F
有哪些?
3.是否存在与 O念及表示
向量的概念
向量的表示法
向 零 单平 相相 几
字
量 向 位行 反等 何
母
()
的 模
量
向共 量线
向向 量量
表 示
表 示
向
法
法
量
点字母表示,如 AB
2.1 向量的概念及表示
探索研究 ：
（1）什么叫平行向量？符号如何表示？
(2) 什么叫相等向量?如何表示？相等向量的起点 与终点之间有什么关系?
(3) 共线向量是指向量在同一条直线上吗？与平行 向量有何关系？
下图为4*5的方格纸,小正方形的边长为1.
B
a D b
A
c
C
2.1 向量的概念及表示
例1.如图所示 ,在45方格纸中有一个向量 AB,分别以图中的格点点 为和 起终点作向 量,其中与AB相等的向量有几?与 个AB长 度相等的共线向量少 有个 多?(AB除外)
B
D
A
C
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标 出的向量中(1)试找出与 FE共线的向;量
(2)确定与FE相等的向;量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量 （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量
一定是什么向量？
平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上．×
老鼠在B处以3m/s向正东逃窜， 狗由A处5m/s向西北追去.
A
B
结果：狗的速度再快也没用， 因为错了。
风向
授课人:王琦
向量：
2.1 向量的概念及表示
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示方法： ①几何表示法：有向线段．
②代数表示法：用 a, b, c 等小写字母表示;
或用表示有向线段的起点和终
零向量：长度为零的向量,记作 0
单位向量：长度为１个单位长度的向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量
规定：0 与任一向量平行
相等向量:长度相等且方向相同的向量
相反向量:长度相等且方向相反的向量 共线向量：任一组平行向量都可移到同一
条直线上,故平行向量又称共线 向量。
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
(3).OA与BC相等吗?
E
D
F
o
C
A
B
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标出
的向量中写出与向量 OA,OB,OC相等的向量
变式
B
A
1.与向量 OA 长度相等的
向量共有多少个?
2.与 OA 共线的向量 C
o
F
有哪些?
3.是否存在与 O念及表示
向量的概念
向量的表示法
向 零 单平 相相 几
字
量 向 位行 反等 何
母
()
的 模
量
向共 量线
向向 量量
表 示
表 示
向
法
法
量
点字母表示,如 AB
2.1 向量的概念及表示
探索研究 ：
（1）什么叫平行向量？符号如何表示？
(2) 什么叫相等向量?如何表示？相等向量的起点 与终点之间有什么关系?
(3) 共线向量是指向量在同一条直线上吗？与平行 向量有何关系？
下图为4*5的方格纸,小正方形的边长为1.
B
a D b
A
c
C
2.1 向量的概念及表示
例1.如图所示 ,在45方格纸中有一个向量 AB,分别以图中的格点点 为和 起终点作向 量,其中与AB相等的向量有几?与 个AB长 度相等的共线向量少 有个 多?(AB除外)
B
D
A
C
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标 出的向量中(1)试找出与 FE共线的向;量
(2)确定与FE相等的向;量