人教版高中数学奥赛辅导 初等几何变换(一)
初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换
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设G 是一个非空集合，在G存在一种运算·，有
⑴ 封闭性；——广群（代数系统） 半群 ⑵ 结合律； ⑶ 单位元；
单胚
⑷ 逆元（非单位元的元素都有逆元）。
则称 G关于·是一个群。
例如① 正ABC变为自身的变换集合记为G．
第一类：旋转对称．令
A
f0
A
B
f1
B
B C
C
A
⑤ 关于同一旋转中心的两次旋转的乘积是一个旋转；
⑥ 旋转变换的逆变换是旋转变换；
⑦ 同一个旋转中心的所有旋转变换构成一个群，称为
旋转群．旋转群是合同变换群的子群。
例2 设 P 为正ABC内一点，PC 3，PA 4，PB 5 ，
求 ABC的边长． 解 如图3-2-4所示，令 BCP R(C,60o) ACP， 则BCP ≌ ACP， ∴ PC PC ，3 PA PB ，5 B
链接
⑴
⑵ 图3-2-1
第一类合同变换 （真正合同） （定向相同）
（运动群）
第二类合同变换 （镜像合同） （定向相反） （不构成群）
二、合同变换的特例——平移、旋转、反射
1．平移
⑴ 定义
定义6 平面到其自身的变换，如果对于每一个点P 以
及对应点
P，都有
uuur PP
a（其中a
为给定的已知向量），
那么这个变换叫做平面上的平移变换，简称平移，记
⑵ 表述：令 P R(O, ) P或令图形 F R(O, )图形 F，则
图形 F 图形F．
特别地，当 时为点反射。
⑶ 性质
① 旋转变换下，两点间距离保持不变；
② 角度是旋转变化下的不变量；
③ 旋转把任意图形变换成与它真正合同的图形；
几何变换思想-PPT
第一,对一些概念得准确把握
平移、旋转、轴对称变换与生活中物体得平移、旋转和轴对 称现象不是一个概念。数学来源于生活,但不等于生活,是生活现 象得抽象和概括。生活中得平移和旋转现象往往都是物体得运动, 如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体得运动,都可以 称为平移现象或旋转现象。而中小学中得几何变换都是指平面图 形在同一平面得变换,也就是说原图形和变换后得图形都是平面 图形,而且都在同一平面内。几何中得平移、旋转和轴对称现象 来自于生活中物体得平移现象、旋转现象和轴对称现象,如果把 生活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说 成是几何中得平移、旋转和轴对称变换了。
3、几何变换思想得具体应用 图形变换作为空间与图形领域得重要
内容之一,在图形得性质得认识、面积公 式得推导、面积得计算、图形得设计和欣 赏、几何得推理证明等方面都有重要得应 用。
小学数学中几何变换思想得应用
4、几何变换思想得教学 (1)课程标准关于图形变换得数学要求
课程标准关于图形变换得内容和目标分为以下几个层次:
以保持,但通过改变其位置,组合成新得图形,便于计算和证 明。
(3)反射变换 在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面
上得任意一点P及其对应点P′,其连线PP′得中垂线 都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说得轴对 称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴。
轴对称有如下性质: ①把图形变为与之全等得图形,因而面积和
(1)射线PP’得方向一定;(2)线段PP＇得长度一 定,则称这种变换为平移变换。也就是说一个图 形与经过平移变换后得图形上得任意一对对应点 得连线相互平行且相等。
平移变换有以下一些性质: ①图形变为与之全等得图形,因而面积和周长
不变。 ②在平移变换之下两点之间得方向保持不变。
《几何变换》PPT课件
广义的概念中，直线、射线、线段和点却是对称图 形。一种观点认为，任何图形上的所有点都可以类聚 起来，最终类聚为一点（原始点），也即：“不管图 形怎样变化，都是原始点自身”，有对称点（原始 点），可以完全重合（均为原始点镜像），你能说直 线和点不是对称图形吗？其中，最著名的就是“宇宙 大爆炸理论”，该理论认为“宇宙起源于某一点，由 这一点爆炸形成宇宙，宇宙至今还在膨胀。”
例13 已知P为正方形ABCD中一点,PA=1,PB=2,PD= 6,
求正方形ABCD的面积.
分析 将APD绕顶点A按顺时针方向旋转
D
C
900至APB的位置,可造成RtAPP,
从而可求得PP 2,
6
在PBP中,PP= 2,PB=2,PD= 6,
P
由PB2 PP2 PB2得
1
2
A2
B
BPP 90, APB 90 45 135,
F,G分别是DE,AB的中点.求证:FG= 1 ( AB DE).
2
分析 为了作出二线段之差AB-DE,
C
将FE平移至BN的位置, 将DF平移至AM.因为DE AB,
DF
E
所以M,N都落在AB上. 故MN=AB-DE,G是MN的中点,
AM
G
B N
MFN=C=900.
由直角三角形的性质知FG 1 MN. 2
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例8 已知ABC中,A=900,B的平分线BD与BC边上的高 AE交于F,过F作FG BC于AC于G.求证:AD=GC.
初等几何变换012
课堂小结
位似变换及位似图形的概念:
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一 个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似 比又称为位似比.
位似图形的性质:
1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 2.在位似变换下， ①直线变换直线； ②共线点变换为共线点； ③共点线变换为共点线； ④射线变换为射线，角变换为角； ⑤三角形变换为三角形，且三角形的心变换为对应三角形的心. （如外心变换为外心，等等）
课堂小结
位似图形的性质:
3.位似变换具有反射性，对称性和传递性. 4.一对位似对应点与位似中心共直线.
位似图形的作法 位似变换的应用 几何变换的教学要领
联系实际，讲清概念 纵横比较，指出异同 讲练结合，分析思路 合理要求，因材施教
A' . A
并把△ABC的边长扩大
到原来的两倍.
O. B B’
C C’
OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2
作法
C’
思考：还有没其他作法？
B’ A
. O
B C
A'
如果位似中心跑到三角形内部呢？
应用
以△ABC的三边为底作三个转向相同 的相似等腰三角形C’AB，A’CB，B’AC. 求证A’CB’C是平行四边形. 证明一: ∠ABC’ =∠CBA’ △C’AB∽△A ’CB ∠ABC’ + ∠C’BC =∠CBA’ + ∠C’BC ∠ABC’ =∠C’BA’ AB:BC =C’B:BA’ △ABC∽△C’BA’ △ABC∽△AC’B’
初等几何变换
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？
初等几何第四章妙趣横生的几何变换.
• 由于位似变换是相似变换，所以位似变换 具有相似变换的所有性质.除此，位似变换 还具有下列性质：
• 性质1 具有相同位似中心的两个位似变换 的乘积，仍为位似变换．
• 性质2 位似变换的逆变换仍为位似变换．
• 性质2 关于同一旋转中心的两个旋转变换的乘积 仍是一个旋转．
• 性质3 旋转变换的逆变换仍是一个旋转变换．
• 性质4 非恒等的旋转变换只有一个不变点——旋 转中心，当旋转角φ≠180°时，旋转变换没有不 变直线．
• 特别地，旋转角为180°的旋转变换称为中心对 称变换或点反射，其旋转中心叫做对称中心．
• 两个全等图形可用运动而叠合．
• 将一图形变换为其自身使其每一点都不动的 运动称为幺变换．记作I.
• 设图形F经运动f变换为图形F’ ，则写作f(F)＝ F’ ．因为两个图形的运动是可逆的，所以称F’ 到F的变换为f的逆(变换)，记作F＝f -1(F’ )．
• 如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换， 所得到的像与经过一一变换f3所得到的像完 全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3＝ f2·f1．
• 这里，值得注意的是运动的先后顺序跟 书写的先后顺序相反.
• 经过一个变换，没有变动位置的点和直线， 称为这个变换的二重点(或不变点)和二重线 (或不变直线)．
4.2.2 平移变换 • 设a是已知向量，T是平面上的变换．如果对于
任一对对应点P、P’，通过变换 T总有PP a， • 那么T叫做平移变换，记为 T(a) , 其中a的方向
对应点，则∠APA’被l所平分.
4.3.2 轴反射变换的运用
初等几何变换
初等几何变换
轴反射
例 1 AD 为 ABC 的角平分线,P 为 AD 上任意一点,AB>AC. 求证： AB-AC>PB-PC。
轴反射
例 2 已知:H 为 ABC 的垂心,求证:⊙HBC=⊙HCA=⊙HAB=⊙ABC
轴反射
四、平移、旋转、和反射的关系
1、 反射轴平行的两个反射之积是一个平移； 2、 反射轴相交的两个反射之积是一个旋转；
1) 在相似变换下，直线、射线、线段、角、三角形、多边形和 圆的像仍然分别是直线、射线、线段、角、三角形、多边形和圆；
2) 在相似变换下，不改变角的大小；
3) 相似变换的逆变换是相似变换，且 M 1 (K ) M ( 1 ) . K
4) 两个相似变换之积是相似变换，且 M (K1) M (K2 ) M (K1K2 ) .
相似变换位似变换
(1) K>0 时, H (S, K ) 称为正位似(外为位似) ,此时 MN 与 M1N1 同向平行 (2) K<0 时, H (S, K ) 称为负位似(内为位似) ,此时 MN 与 M1N1 反向平行
相似变换位似变换
关于位似说明: 1）一个位似由位似中心与为位似比确定; 2）位似比K可以取正,也可以取负;
相似变换位似变换
思考题： 1、证明四边形的两对角线之积不大于两双对边乘积之和。
（托雷密定理的推广） 2、在 ABC 中，AB=AC，有一圆 O 内切于 ABC 的外接圆，且与 AB、 AC 分别且于 P、Q。求证：线段 PQ 的中点是 ABC 的内心。 （利用位似变换证明）
竞赛数学课程 几何变换
几何变换变换与变换群1． 基本概念：1） 设A 、B 是两个非空集合，给出映射f ：A →B ，如果B=A ，那么映射f 叫做集合A 上的变换。
2） 若变换f ：A →A 是一一映射，则f 叫一一变换。
3） 一一变换f ：A →A ，若,A a ∈∀有f （a ）=a ，则f 叫A 上的恒等变换或单位变换，通常记为I 。
4） A A f A A f →→:,:21是两个变换，变换1f 与2f 的合成12f f ⋅叫做1f 与2f 的乘积。
5） 一一变换f ：A →A ，若存在变换g ：A →A ，使得fg=gf=I ，则g=1-f 叫f 的逆变换。
6） 一一变换f ：A →A ，且I f ≠，若A a ∈∃，使f（a ）=a ，则a 叫f 下的二重点（不动点，不变点）；若存在直线l ，使得f （l ）=l ，则l 叫f 下的二重线（不变线）。
2． 一一变换的性质：1）f 、g ：A →A 是一一变换，则gf 也是一一变换。
2）f 、g 、h ：A →A 是一一变换，则有h （gf ）=（hg ）f 。
3）f ：A →A 是一一变换，则1-f 也是一一变换。
3． 变换群：1） 将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换。
2） A 是一个集合，如果G 是由集合A 上的某些一一变换所组成的集合，且满足：（1） 若G f G f ∈∈21,，则G f f ∈⋅12；（2） 若G f ∈，则G f∈-1； 那么集合G 就叫做集合A 上的变换群，简称为变换群。
3） 若H 是变换群的一个子群，且H 自身也构成一个变换群，那么H 叫做G 的子群。
4） 两变换群21,G G ，若它们的元素之间可以建立一一对应关系f ，且有)()()(,,1212121g f g f g g f G g g =∈∀，则称21,G G 同构。
平面几何变换一、合同变换1． 基本概念1） 一个平面到其自身的变换W ，若对于平面上的任意两点A 与B ，都有距离W （A ）W （B ）=AB ，则称W 为平面上的合同变换（全等变换）。
专题：初等几何变换综述
（三）轴对称变换 例：在河流 l 边建水泵站，分别向A、 B两村送水，怎样使所用水管最短? 试想：如果A、B两点处在 l 异侧，
A
B
l
P Q
A’ห้องสมุดไป่ตู้
比如A’，那就简单了。连结A‘B与 l 交于P点， 则P点就是所求位置。受此启发可得如下作法： 作A关于 l 的对称点A’，连接A’B与 l 交于P， 则P点就是建水泵站位置。为了证明结论，在 l 上任取一点Q，通过比较容易得证。 这是古老的饮马问题，在光学上有一定的应用。
本专题内容涉及初等几何方面的方法（变换）、技巧，新 概念、新定理，证明题、作图题、轨迹题，以便拓展几何知识、 开阔视野、与初等数学的教学联系、涉足研究等。
初等几何变换概述
把一个图形按照某种法则或规律变 成另一个图形的过程，可称作几何变换。 在几何变换中，图形的某些数量关系和几何 性质未发生变化，则称其为几何变换下的不变 量和不变性。 一、合同变换 定义 把图形F的点一一对应到图形F’，称为从F到F’的变 换。若该变换还具有保距性，则称为 从F到F’的合同变换。
例 在锐角三角形的所有内接三角形中， 垂足三角形的周长最短。(法格勒洛问题p165) 这里只介绍证法2（施瓦尔兹证法，1843-1921） 先给出一个引理：已知⊿ABC的垂足三角形是 ⊿PQR，求证∠A=∠1=∠2.（见p166，证法不同） A 证明：∵AQ⊥BC,CP⊥AB, P ∴A,P,Q,C四点共圆。 R 由圆内接四边形内角互补可知, 1 2 Q ∠1=∠A，同理∠2=∠A . B C
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
初等几何变换
几何变换法则1：若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形，则可尝试找出或作出对称轴，从对称轴上多想主意．添辅助线的具体方法：（1）若问题中有一点及一直线，可尝试过点作直线的垂线； （2）若问题中有一点及一圆，可试将点与圆心用直线连接起来； （3）若问题中有相交的两直线，可试作它们交角的分角线；（4）若问题中有平行的两直线，可试作一条与它们垂直的直线，或者试作与它们等距的一条平行线；（5）若问题中有一圆及一直线，则可试过圆心作直线的垂线．特别，对于一圆及其一条切线，可试将圆心与切点相连；对于一圆及其中一条弦，可试将圆心与弦的中点连结；（6）若问题中有两个不同的圆，可试作它们的连心线．1．以O 为圆心的两个同心圆，与一直线顺次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：AOB COD ∠=∠．证明：作OM AD ⊥，垂足为M ，则AOM DOM ∠=∠，BOM COM ∠=∠两式相减，得AOB COD ∠=∠法则2：若问题中的图形或其一部分是一轴对称图形，也可尝试添加一些对称的线条，使图形结构更加完整，从而显示出解题途径．添辅助线的基本规律：（1）若问题中有一圆O 及其一条弦AB ，可试连半径OA 和OB （两条对称的线段），得到等腰三角形OAB ；（2）若问题中包含两个相交的圆，可试作公共弦（一条关于连心线对称的线段）； （3）若问题中包含两个相切的圆，可尝试过切点作它们的公切线（一条关于连心线对称的直线）．2．已知正方形ABCD 的边AB 延长线上有一点E ，AD 的延长线上有一点F ，满足AE AF AC ==，若直线EF 交BC 于G ，交CD 于H ，求证：EG GC CH HF ===．证明（1）：连AC ，则由对称性得GC HC =，EG FH =，再连AG ，并设EF 交AC 于K ，于是△AEK 和△ACB 都是等腰直角三角形，并且由AE AC =，知道△AEK ≌△ACB因而，EK CB =，AK AB =由此推出Rt AKG ≌Rt ABG ，∴GK GB = 由等量相减得GE GC =，因而最后有EG GC CH HF ===证明（2）：连AC ，由对称性得GC HC =，EG FH =，再连EC ，则由AE AC =，得ACE AEC ∠=∠，又因45ACB AEF ∠=∠= ，相减得ECG CGE ∠=∠，所以EG GC =，所以EG GC CH HF ===法则3：若问题中的图形的某一部分关于一直线l 对称，则可尝试对图形适当部分作关于l 的对称变换，将分散的已知条件聚拢起来．3．证明过△ABC 的垂心H 及其任两个顶点所作的三个圆彼此相等．证明：如图，作B 点关于直线AH 的对称点G ，连HG 、AG ，则由对称性得△AHG ≌△A H B ，因而AGH ABH ∠=∠，又90ABH BAE ACH ∠=-∠=∠ ，∴AGH ACH ∠=∠，因而四点A 、H 、G 、C 共圆，过A 、H 、B 所作的圆等于过A 、H 、G 所作的圆，因而等于过A 、H 、C 所作的圆，同理它们也等于过H 、B 、C 所作的圆．4．△ABC 中，AD 是角A 的角平分线，已知AB AC CD =+，求证：2C B ∠=∠证明：在AB 上取AE AC =，则E 点和C 点关于AD 对ABCDEFHKGA BCDEF HABCDE称，连DE ，由对称性得CD ED =，AED C ∠=∠，又AB AC CD =+，即AE EB AE ED +=+，∴EB ED =，由此得EDB B ∠=∠， ∴2C AED B EDB B ∠=∠=∠+∠=∠．5．已知直线MN 交线段AB 于点C ，在MN 上求一点，使它看线段AC 和BC 有相等的视角．分析：如图，设P 为所求的点，则APC BPC ∠=∠，因而APB ∠关于直线MN 对称，故可试作A 关于MN 对称点D ，D 必在PB 上，B 为已知点，D 可作出，故P 也可作出．作法：作A 关于MN 对称点D ，连BD ，则直线BD 和MN 的交点P 即为所求．6．已知过同一点O 的三条直线,,x y z 和不在这些直线上的一点P ，求用三角形，使它们以x 、y 和z 为三条分角线，并且有一边通过点P ．分析：如图，设△ABC 为所求的三角形，它的边CA 通过已知点P ，由于每个内角关于它的分角线对称，所以可顺次作P 点关于x 的对称点X ，X 关于y 的对称点Y ，Y 关于z 的对称点Z ，由对称性，顺次推出X 在AB 上，Y 在BC 上，Z 在CA 上，故由已知点P 和辅助点Z 可作出边AC ．作法：作P 点关于直线x 的对称点X ，再作X 关于y 的对称点Y ，Y 关于z 的对称点Z ，连直线PZ ，交x 于A ，交z 于C ，连直线AX ，交y 于B ，连BC ，则△ABC 就是所求．法则4：若问题中由于讨论折线而感到困难，可尝试对折线的一节或若干节逐次进行对称变换，化折线为直线．7．在定直线XY 的同侧有一点A 及一定圆O ，试在直线XY 上求一点P ，使从P 点到圆O 的切线PB 满足BPY APX ∠=∠．分析：设P 为符合条件的点，则如图，将AP 绕XY 翻A BCD P MN PXY Z A BCOxzy转180°至CP 位置，CPB 应成一直线，问题归结为过C 作圆O 的切线．作法：作A 点关于XY 的对称点C ，由C 作圆O 的切线，交XY 于P ，则P 点即为所求． 本题应有两解．8．在定底定高的三角形中，等腰三角形财长最短． 分析：有定底BC 和定高h 的三角形，其底点A 的轨迹是在BC 两侧且平行于BC 的两条直线a 和b ．由对称性，只须考虑其中一直线a ，如图，问题归结为在直线a 上求一点A ，使折线BAC 最短．熟知连结两点的折线拉直成线段时长度最短．但因B 和C 在a 同侧，折线BAC 不会变成线段，如果将C 点翻转到a 的另一侧就容易解决了．证明：设△ABC 是具有定底BC 和定高h 的任一三角形．过A 作直线a ∥BC ，又作C 点关于a 的对称点D ，则DA CA =，且D 与B 分居直线a 两侧，△ABC 的周长等于折线BAC 的长度加上定长BC ，折线BAC 仅当A 点落在线段BD 上时长度最短．又因a 平分线段CD ，a ∥BC ，所以若A 在BD 上，必为BD 中点，即AB AC =，就证明了等腰三角形的周长最小．9．证明直角三角形中任一内接三角形的半周大于斜边上的高．分析：要比较一条封闭折线（内接三角形的周界与一条线段的长度大小，有些困难，如能通过变换，将问题化成比较两条具有公共端点的折线长，或比较两条端点分别在平行直线上的折线长，就容易解决些，条件中有一个直角连续绕直角边翻两次可得到一组平行线．证明：如图，设CK 是Rt ABC 斜边上的高，内接△LMN 的顶点L 、M 、N 分别在AB 、BC 、CA 上，作关于直线BC 的对称变换，将△ABC 变为△DBC ，△LMN 变为△PMQ ，高CK 变为CG ；再作关于直线CD 的对称变换，将△BCD 变为△E C D ，△PMQ 变为△RSQ ，高CG 变为CH ，由于MQ MN =，QR QP NL ==，所以折线LMQR 的长度等于内接△LMN 的周长．进而从ACB ∠为直角，可知A 、C 、D 三点共线，B 、C 、EAEDCBa三点共线，由此推出K 、C 、H 三点共线，并且AB ∥ED ，两平行线AB 和ED 间的距离为2KH CK =，由于折线LMQR 的长度大于线段LR 的长，并且LR KH ≥，所以得到2LM MN NL CK ++>即△LMN 的半周长大于斜边上的高CK ．10．△ABC 的三条高线AD ，BE ，CF 恰好分别是垂足△DEF 的三条内角平分线． 证明：如图，由于AD BC ⊥，BE CA ⊥，所以D 和E 都在以AB 为直径的圆上，因而ADE ABE ∠=∠，同理从A 、C 、D 、F 共圆得ADF ACF ∠=∠但90ABE BAC ACF ∠=-∠=∠所以ADE ADF ∠=∠，同理可证BEF BED ∠=∠，CFE CFD ∠=∠法则1：若问题中有一等腰三角形，可尝试绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角等于等腰三角形的顶角，特别地，若问题中有正三角形，则可试绕正三角形的某一顶点旋转60°．11．设△ABC 为正三角形，P 为任意点，求证PA PB PC ≤+，等号当且仅当P 在△ABC 外接圆的 BC上时成立．证明：如图，将△BCP 绕B 点旋转60°，得△BAQ ，则QA PC =，并且△BPQ 中BP BQ =，60PBQ ∠=，所以△BPQ 是正三角形．因而P Q P B =，但P A P Q Q ≤+，所以PA PB PC ≤+．等号当且仅当Q 点落在线段PA 上时成立，这时60BPA BCA ∠==∠，且P 与C 在BA 同侧，即P 在△ABC 外接圆的 BC上． ABCDEFABPCQ12．在△ABC 的各边上向形外作正△BCX ，△C A Y ，△ABZ ，则在线段AX ，BY 和CZ彼此相等，并且三线两两交角为60°．证明：如图，由于△CAY 和△ABZ 是正三角形，所以将，△AYB 绕A 点旋转60°后落在△ACZ 位置，因而对应线段BY CZ =，且两线夹角为60°，同理将△CAX 绕C 点旋转60°到△CYB 位置，得AX YB =，且两线成60°角，∴AX BY CZ ==，且三线两两成60°角．图1所示为△ABC 为每个内角都小于120°的情形，若有一角大于120°或等于120°，不妨设最大角为B 角，则上列证明过程仍然全部适用，不过图形变为图2或图3．13．在△ABC 的边上向形外作正三角形BCX ，CAY ，ABZ ，则直线AX ，BY ，CZ 交于同一点（称为△ABC 的正等角中心）．证明：不妨设B ∠为最大角．①若120B ∠=，则由60120180CBX CBA ∠+∠=+=知道A ，B ，X 三点共线，同理C ，B ，Z 三点共线．所以这时AX ，BY ，CZ 三直线都通过B 点．②若120B ∠>，设AX 与CZ 的交点为，由第12题知60AOZ ∠=，因而AOZ ABZ ∠=∠18060180AOC AYC ∠=-=-∠所以O 点在正△ABZ 外接圆的 ZB上，又在正△CAY 外接圆的 CA 上，由第11题得 OB OZ OA +=，OY OA OC =+ZABC YXA BCZYXABCYZX后式减前式，整理后得OY OB OC OZ -=+，而OC OZ CZ BY +==所以OY OB BY -=，因而O ，Y ，B 三点必须在一直线上，否则它们将成为一个三角形的顶点，而与三角形两边之差小于第三边的定理矛盾．③若120B ∠<，类似地可证AX 与CZ 的交点O 也在直线BY 上，因为这时从OB OA OZ +=，OY OA OC =+可得OB OY OZ OC ZC BY +=+==总之，在各种可能情形下，AX ，BY ，CZ 三直线都交于同一点．当三角形每个角都小于120°时交点在形内，有一角大于120°时交点在形外，有一角等于120°时，交点即为钝角顶点．14．等腰△ABC 的顶角30A ∠=，A 为定点，B 点在定直线b 上移动，求C 点的轨迹．解：如图，将B 点绕A 点旋转30°就到达C 点位置，所以将动点B 的移动路线绕A 旋转30°就得到C 点的轨迹．B点沿直线b 移动，将b 绕A 点逆时针旋转30°得直线m ，顺时针旋转30°得直线l ，则C 的轨迹就是一对直线l 和m ．15．求作等腰直角三角形，使其直角顶点为定点B ，而斜边的两端分别在已知MON ∠的两边上．分析：如图，设△ABC 即为所求，绕B 点旋转90°，C 点将落在A 点位置，而ON 旋转后得直线l ，ON 过C 点，因而l 过A 点，故A 是l 与OM 的交点，因而A 可作出．作法：将ON 绕B 旋转90°得直线l ，设l 与OM 交于A ，连BA ，作BC BA ⊥交ON 于点C ，连AC ，则△ABC 即为所求．法则2：若问题中有正方形，则可尝试绕正方形的某一顶点旋转90°． 16．在△ABC 外作正方形ABEF 和ACGH ，求证：BH 与CF 相等且垂直．证明：如左图，将△AHB 绕A 旋转90°落到△ACF 的位置，故HB CF =，且两线交角为90°．ABCmb lBAM ONCD E l17．如右图，已知ABCD ，PQRS ，DQEF ，CSGH 都是正方形，PR AB ⊥，且PA PB PR ==，求证：E ，R ，G 共线，且ER RG =．证明：将△SRG 绕S 旋转90°，则G 点落在C点位置，而R 落在PS 延长线上的点M ，并且SM SR SP ==，SR PS ⊥所以RM PR PB ==，290MRP SRP RPB ∠=∠==∠，因此，四边形PRMB 是正方形，BM PB ⊥，这样一来，M 点就是直线PS 与直线CB 的交点，因而45SMC ∠= ，由此推出45SRG SMC ∠=∠= ，同理45QRC ∠= ，所以459045180ERQ QRS SRG ∠+∠+∠=++=因而E ，R ，G 三点在一直线上，又由整个图形关于直线PR 对称，立刻推出ER RG =． 法则3：若问题中有一圆及一定长线，可试将该线段绕圆心O 旋转到便于研究的位置．18．已知定圆O 及定线段AB ，求作平行四边形ABCD ，使其顶点C 和D 在圆O 上．分析：如图，圆O 的弦CD 应等于AB 且平行于AB ，如果将弦CD 旋转到任意位置，只剩下长度等于AB 的要求，就容易作了．作法：在⊙O 的上任取一点E ，以E 为圆心，AB 为半径画弧，交⊙O 于F ，连EF ，取其中点G ，以O 为圆心，OG 为半径作圆，再由O 点作AB 的垂线，交所作之圆于H ，过H 作弦CD ∥AB ，连BC ，DA ，则四边形ABCD 即为所求．19．已知定⊙O 及圆外二定点P 及Q ，求作弦AB ，使它等于定长a ，并且满足PA QB =． 分析：弦AB 的长度既然是定长a ，那么它所对的圆心角就是一个定角θ，将△OAP 绕圆心O 旋转θ角，得到△OBR （如图），问题简化为在⊙O 上求一点B ，使BQ BR =，这就很容易解决了．作法：连OP ，交圆O 于C ，以C 为圆心，定长为a 为半径画弧，交圆O 于D ，连OD 并延长至R ，使O R O P =，作QR 的垂直平分线，交⊙O 于B ，在圆周上沿着从D 到C 的劣弧方向取 BADC =，则A 和B 就是所求的两点． 法则4：若问题中涉及某个线段的中点O ，或涉及一个以O 点为对称中心的中心对称图形，可试作关于O 点的中心对称变换（旋转180°）．20．过△ABC 底边BC 的中点M 任作一直线，交AB 边于点D ，交AC 边的延长线于F 点，则△ADF 的面积大于△ABC 的面积．证明：如图，由于C 点在A 与F 之间，所以过C 作AD 的平行线，必交线段DF 于一点E ．△MCE 与△MBD 关于点M 点中心对称，因而面积相等．但△MCE 是△MCF 的一部分，所以△MCF 比△MBD 的面积大，由此，得△ADF 的面积比△ABC 的面积大．21．在△ABC 的边上向形外作正方形ABMN 和ACPQ ，又设AD 是BC 边上的中线，则2NQ AD =，并且NQ AD ⊥．证明：如图，将△CDA 绕D 旋转180°至△BDE ，则2A E A D =，且B E A C =，BE ∥AC ，因而BE AQ ⊥，再将△ABE绕正方形ABEFC MDABMN 的中心O 旋转90°，使AB 落在NA 的位置，这时BE 将落在AQ 的位置，所以线段NQ就是由AE 旋转90°得到的，因而NQ AE =，NQ AE ⊥，即2NQ AD =，并且NQ AD ⊥．22．证明一个五边形由它各边中点的位置完全确定．分析：每边的中点都是这一边的对称中心，而已知条件只有五条边的中点位置，为了将这些条件全部用上，可试将一顶点顺次关于各边中点作中心对称变换，共变换五次．证明：设P ，Q ，R ，S ，T 为五个定点，五边形ABCDE 顺次以这五点为边AB ，BC ，CD ，DE 和EA 的中点．那么如图，将顶点A 关于P 作中心对称变换，落到B 点位置，再关于Q 作中心对称变换，B 又落到C 点位置；关于R 作中心对称变换，C 变到D ；关于S 作中心对称变换，D 变到E ；关于T 作中心对称变换，E 又变到A ．设11111A B C D E 也是以五个已知点为各边中点的五边表，那么按照上面的方法，将顶点1A 顺次关于各边中点作中心对称变换，结果也将返回1A 点．现在证明1A 点与A 点必定互相重合．由于在中心对称之下，一双对应线段平行且方向相反，所以若1A 不与A 重合，则如图，线段1AA 与1BB 平行且反向，1BB 与1CC 平行又反向，1CC 与1DD 平行又反向，1DD 与1EE 平行又反向，1EE 与2AA 平行且反向．这里2A 是1E 关于T 的对称点，由此推知2AA 与1BB 平行且同向．但1AA 与1BB 平行且反向，所以1A ，A ，2A 三点共线，且2A 与1A 在A 点异侧，因而1A 与2A 是不同的两点，这就表明T 不是线段1EA 的中点，导致矛盾．所以1A 必与A 重合．由此推出两个五边形11111ABCDE 和ABCD 完全重合，即适合条件的五边形只有一个．如图注意111112AA BB CC DD EE AA =====我们还顺便得到已知各边中点位置作出五边形的方法：任取一点1A ，作1A 关于点P的对称C 1第 11 页 (共 11 页) 点1B ，1B 关于点Q 的对称点1C ，1C 关于点R 的对称点1D ，1D 关于点S 的对称点1E ，1E 关于点T 的对称点2A ，连12A A 并取其中点A ，则A 就是所求多边形的一个顶点，顺次作中点对称变换，就得到其余各个顶点．利用上面的方法可以证明：任意奇数边形由各边中点的位置完全决定．23．已知一个顶点A 及一双对边中点M 和N 的位置，求作平行四边形．分析：中点M 和N 分别是它们所在边的对称中心，问题的条件中除去明确提供这两个对称 中心外，还要求所作多边形是平行四边形，因而隐含着另一个重要的对称中心，即平行四边形的对角线交点，它也是MN 的中点．作法：如图，连MN ，取其中点O ，作A 关于M 的对称点B ，A 关于O 的对称点C ，B 关于O 的对称点D ，则A 、B 、C 、D 即为所求平行四边形的四个顶点．24．凸四边形A B C D 中，已知A B D C D B ∠>∠，ADB CBD ∠>∠，求证：AB AD CB CD +>+．证明：将△CBD 绕BD 的中点O 旋转180°至△E D B ，由于ADB CBD ∠>∠，ABD CDB ∠>∠，所以DE 在ADB ∠内，BE 在ABD ∠内，因而E 点在△ABD 内部（如图）．延长BE 交AD 于F ，则AD AF FD =+，AB AF BF +>即AB AF BE EF +>+，又因EF FD ED +>，所以AB AD BE EF FD BE ED +>++>+而BE DC =，ED CB =，所以AB AD CB CD +>+．A BD O N A B DO E F。
5.几何变换1(教师版)
5.几何变换1几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例l 如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.解：210例2如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是5:6:7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）解题思路：解本例的关键是如何构造以PA ，PB ，PC 为边的三角形，若把△PAB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把PA ，PB ，PC 有效地集中在一起.解：A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形.例3如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.解：提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.例4提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045（1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN=+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM .连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.解：(1)如图a，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠,∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式:222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b例6如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，000362460+=，这使我们想到构作正三角形.解：如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠=== ，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠= .123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅ 故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=课后练习1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是______.（泰安市中考试题）(第1题)（第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，PA =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C .若2AO BC=，则k =______________.（武汉市中考试题）4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________.5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）.A.0120B.0135C.0145D.01506.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长为31-.其中正确的结论有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个7.如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A.11米 B.10米 C.9米 D.8米8.如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A.x y < B.x y = C.x y > D.x 与y 的大小关系不确定9.如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->.求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -.(1)若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）课后练习参考答案案1.45 2.150 3.12提示:如图,设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴,交于点D ,过B 作BE x ⊥轴,交于点E ，由,2AO AD ODAOD BCE BC BE CE∴=== ,则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上,4291()3322a a a a ∴=+ ,解得123,0a a ==(舍去)3412k ∴=⨯=4.15提示:分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F ,连接,FC EB 相交于G ,证明四边形AFGE 为正方形5.B6.C7.B8.D9.提示:延长FD 至G ,使DG FD =,连接EG10.提示:作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11.提示:作//CD BQ ,连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形,DQ QB =,由,AP QB CD AQ PC ===,A PCD ∠=∠得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴ 为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠ 2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠= 80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠=30PCQ ∠=12.提示:(1)作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短,(3.5,0)P ∴(2)将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴=(3)作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M ,交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13.提示:过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠===则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证:''PP QQ =又'//,'//EP AN FQ ND ,又''AN ND EP FP =∴=从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+，则PE FQ=14.提示:(1)11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠2,DME DCM ∠=∠2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠=BM DM∴⊥(2)延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC .可证:EMD CMF≅ ,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠//ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF∠=∠ ,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠ ,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠= ,BDF ∴ 为等腰三角形,,BM DM BM DM∴=⊥16.如图,以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形,不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABC h S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。
初等几何变换(一)教材
AM AT AP AD
∵AP⊥PO,AB⊥BT,∴ห้องสมุดไป่ตู้O∥BT.
AP AB
M
AO AT
AM AM AP AT AB AB k AO AP AO AD AT AD
即在以A为中心,△ABC与△ADE的位似 D
T
E
变换下,k为位似比,而O是△ADE的内心, 故M是△ABC的内心.
作业： P3.T12.T2
1
2
K
1 2
例3.已知ABC中, AB AC, P是ABC内一点, 且有APB APC,求证: PBA PCA.
Q
例5.图形F1、F2、F3两两彼此位似，O1、O2、O3依次 是它们的位似中心，求证 : O1、O2、O3三点共线.
对于A1 A2 A3
A1O1 A2O2 A3O3 O1 A2 O2 A3 O3 A1 A1C1 A2C2 A3C3 1
M (A′)
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
G
1 2
H
1 2
例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点， 且AE : EB DF : FC AD : BC，EF与AD、BC延长线分别 交于M、N点，求证：AME BNE.
(7 4)2 9
原结论成立.
C′
P′ N
合同变换:平面到自身的变换,若保持距离 不变,则称它为合同变换. 也可以说,合同变换不外是由平移、旋转 和反射复合而成.
定理:任一合同变换可分解为不多于 三个的反射之积. P565
所有的合同变换组成“群”.
高中数学奥赛辅导系列 初等几何变换(一)教案
初等几何变换（一）基础知识：平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一．1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题．几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果．我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换．初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换．一、 平移变换1． 定义 设PQ 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X '，使得'XX =PQ ，则T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换．记为X ()T PQ −−−→X '，图形F ()T PQ −−−→F '．2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．二、 轴对称变换1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X '，使得X 与X '关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换．记为X −→−)l (SX '，图形F −→−)l (S F '． 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．例题：【例1】P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB =∠PCB ．求证：∠PBA =∠PDA ．【例2】如图左：线段AA ′，BB ′，CC ′交于点O ，AA '=BB '=CC '=2，∠AOB '=∠BOC '=60°．求证：S △AOB '+S △BOC '+S △COA '【例3】【例4】 P 是⊙O 的弦AB 的中点，过P 点引⊙O 的两弦CD 、EF ，连结DE 交AB 于M ，连结CF 交AB 于N ．求证：MP =NP ．（蝴蝶定理）【例5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆，试在⊙O 及射线CA 、CB 上各求一点P 、Q 、R ，使得△PQR 的周长为最小【例6】△ABC 中，∠A ≥90°，AD ⊥BC 于D ，△PQR 是它的任一内接三角形．求证：PQ +QR +RP >2AD ．PP。
奥数-几何变换-师
第04讲几何变换一、基础知识1.平移变换(1)．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。
记为X X’，图形F F’ 。
(2)．主要性质: 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
2. 轴对称变换(1). 定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X’关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。
记为X X’，图形F F’。
(2)．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
3.旋转变换(1)．定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX’=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。
记为X X’，图形F F’ 。
其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
(2)．主要性质: 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
4. 位似变换(1)．定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得=k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。
记为X X’，图形F F’ 。
其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, X’在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。
(2)主要性质: 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。
初等几何变换=中学几何变换
初等几何变换初等几何变换，是一个将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。
它对于几何学的研究有重要作用。
初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。
目录概念解释全等变换相似变换反演变换概念解释全等变换相似变换反演变换展开编辑本段概念解释如果某种几何变换的全体组成一个“群”,就有相应的几何学,而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容（见埃尔朗根纲领）。
例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容。
几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景。
几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用。
编辑本段全等变换总括如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A┡，B┡总有A┡B┡=AB。
则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。
显然，在全等变换下两点之间的距离是不变量。
由全等变换得到的图形与原图形相等。
在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换（真正全等变换），它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向（顺时针或逆时针方向），并且每两个对应的有向角有同一方向(图l之a)。
第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向.类似地,空间也有正常全等变换和反常全等变换。
全等变换存在逆变换、恒等变换。
接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成"群"，叫做全等变换群,也叫做刚体变换群或运动群。
平移、旋转、反射都是特殊的全等变换。
平移变换如果在平面内任意一点P变到P┡时，使得有给定的方向，并且线段PP┡有给定的长度,这种平面到其自身的映射叫做平移变换。
显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，各对应线段互相平行且相等。
【小初高学习】高中数学奥赛辅导系列——三角函数的性质及其变换(1)
三角函数的性质及其变换多年来，三角函数试题在全国高考中的题量及其分数都没有较大的变动，每年的分数一般在二十分左右．试题难度都为中低档题．主要考察的内容有：三角函数的定义和基本关系式．关于今后几年全国高考对三角函数的命题趋向，我们认为： 1.试题数量及其分数在试卷中所占比例将基本保持稳定．2.所有试题都是中低档难度试题，而解答题的难度还将略有下降，原因有三个：一是需用时将列出有关公式，这实际上是对解题的关键步骤给出了提示；二是“简单的三角方程”已经改为不作高考要求的选学内容，因而需用解简单的三角不等式的试题将会更加简单；三是新的教学大纲中规定删去了“三角函数中较复杂得恒等变形”，因此，即使在新大纲实施之前，高考命题也会受到它的影响．3.涉及积化和差与和差化积公式的试题在三角试题中的比例将会明显下降，而同时涉及这两组公式的试题已几乎不可能再出现，因此这两组公式已不再是高考的热点．4.倍角公式的变形——半角公式、升幂公式与降幂公式考查的可能性较大，掌握这几个公式对解决一些相对复杂的三角变换有好处．即：sin 2α＝21cos 21cos 2cos 22ααα-+=，，…… 5.由于解斜三角形需要较多的应用平面几何知识，因而今后几年涉及这一类中的高考题，仍将会像1998年的三角解答题那样，仅限于简单的应用正弦定理和余弦定理．另外，这两个定理也很可能在解答几何或结合实际的应用题中使用．由于2000年的三角解答题的难度已经“略有下降”，因此，今后几年此类试题的难度也将“基本保持稳定”．在本讲的复习中，我们将注意以下几点：1.以小题为主，中低档题为主，并注重三角函数与其他知识的交汇点处的习题．2.适当增大复习题中的求值与求范围的题目的比例．3.对正、余弦定理的应用力求熟练，并避免繁杂的近似计算．本讲分三个部分：第一部分是三角函数的变换，第二部分是三角函数的图像和性质，第三部分是三角形中的三角函数问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用．第一部分例1.已知sin θcos θ＝18，且ππ42θ<<，那么cos θ－sin θ的值为（ ） A ．34 B ．32C ．－34D ．－32分析:由于ππ42θ<<，所以cos θ＜sin θ，于是cos θ－sin θ＝－312s i n c o s2θθ-=-，选D ． 例2.若tan θ＝－2，则2cos 2sin 21cos θθθ-+＝______________ 提示：将分子中的2θ化为单角，分母中的1用sin 2θ＋cos 2θ替换，然后分子分母同除以cos 2θ即可．结论为16． 例3.化简(1sin cos )(cossin)2222cos ααααα++-+(0＜α＜π)提示：将分子分母全部化为2α的表达式，然后注意0＜π22α<，即可得结论：cos α．例4.求tan9°＋cot117°－tan243°－cot351°的值解：原式＝tan9°－tan27°－cot27°＋cot9° ＝(tan9°＋cot9°)－(tan27°＋cot27°)2222sin 9cos 9sin 27cos 27sin 9cos9sin 27cos 27222(sin 54sin18)sin18sin 54sin18sin 544cos36sin184sin 54sin18++=--=-=== 例5.已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 解：∵α＝(α－β)＋β∴ tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tg()tg 11tg()tg 3αββαββ-+=--∴ tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tg tg()1tg tg()ααβααβ+---＝1又∵β∈(0，π)，且tan β＝－17＜0，∴β∈(π2，π)，同理可得α∈(0， π4) ∴ －π＜2α－β＜0 于是 2α－β＝－3π4． 例6.已知θ∈(0，π2)，sin θ－cos θ＝55，求cos 2sin 211tan θθθ---的值．解：由已知得：sin2θ＝45，且2θ∈(π2，π)， ∴ cos2θ＝－35， tan θ＝1cos 2sin 2θθ-＝2，带入所求式∴cos 2sin 21121tg 5θθθ--=-．练习： 一、选择题 1.若cos2α＝－45，且α∈[π2，π]，则sin α＝（ ） A ．31010 B ．1010C ．35D ．1010提示：注意α是钝角，所以sin α＞0，由半角公式可得：sin α＝31010，选A ． 2.已知tan159°＝m ，则sin2001°＝（ ） A ．211m+ B ．21m m+ C ．－211m+ D ．－21m m+解：由已知得tan21°＝－tan159°＝－m 2001°＝－sin21°＝－tan21°cos21°＝－2tg21sec211mm=+．选B ． 3.已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α＝（ ） A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：由已知cos α＝－45，而180°＜α＜270°，∴ sin α＝－35∴ tan 1cos 2sin ααα-=＝－3．选D ．4.已知tan(α＋β)＝25，tan(α－π1)64=，那么tan(β＋π6)＝（ ）A ．16B ．322C ．1318D ．1322提示：注意到β＋π6＝(α＋β)—(α－π6)，则直接使用正切差角公式即可得结论322．选B 5.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)，α、β∈(0，π)，则α－β的值为（ ） A ．－23π B ．－π3C ．π3D ．23π 解：已知等式两边和差化积得：2sin23cossin sin 22322αβαβαβαβ+-+-=∵ 0＜α＋β＜2π，∴ sin2αβ+≠0，于是tan32αβ-=又注意到cos β－cos α＞0，∴ β＜α，且β－α∈(－π，π)∴π23αβ+=，α－β＝2π3． 选D 6.已知α∈(0，π2)，lg(1－sin α)＝m ，lg 11sin α+＝n ，则lgcos α＝（ ）A ．m －nB ．m ＋1n C ．12(m －n ) D ．12(m ＋1n ) 解：lgcos α＝lg 211sin 2α-=[lg(1－sin α)＋lg(1＋sin α)]＝12(m －n)．选C二、填空题7.若(sin θ＋cos θ)2＝2x ＋2-x，θ∈(0，π2)，则tan θ＝_______________ 解：由三角函数定义(sin θ＋cos θ)2≤2，而由基本不等式2x＋2－x≥2 于是只有(sin θ＋cos θ)2＝2．由此推得锐角α＝π48.已知sin θ＋cos θ＝12，则sin 3θ＋cos 3θ＝_______________ 解：已知等式平方可得sin θcos θ＝－38于是：sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝11169.2sin 80cos 70cos 20-＝____________________解：原式＝2sin(2060)sin 203cos 20sin 20sin 203cos 20cos 20+-+-==10.f (x )＝2tan x －212cos 2sin cos 22xx x -，则f (π12)＝________________ 解：化简f (x )＝2(tan x ＋x tan 1)，利用半角公式计算可得tan π12＝2－3 ∴1πtan 12＝2＋3∴f (π12)＝8三、解答题 11.已知tan122α=-，求cos(α－π6)的值 解：cos(α－π6)＝32cos α＋12sin α∵ tan122α=- 由万能公式可得sin α＝－4/5 cos α＝3/5 ∴ cos(α－π6)＝43310-+ 12.求1cos20+[2cos40°＋sin10°(1＋3tan10°)]的值解：原式＝2cos10°(2cos40°＋sin10°cos103sin10cos10+)＝22[cos10°cos40°＋sin10°(21cos10°＋23sin10°)] ＝22(cos10°cos40°＋sin10°sin40°)＝22cos30°＝6 13.已知cos(α－2β)＝－13，sin(2α－β)＝14，且3π2＜α＜2π，π2＜β＜π，求cos(α＋β)的值 解：∵ (α－2β)－(2α－β)＝2αβ+3π2＜α＜2π，2π＜β＜π，∴ α＜α－7πππ24422βαβ<-<-<， 又cos(α－2β)＝－13，sin(2α－β)＝14，∴ sin(α－2β)＝－223，cos(2α－β)＝154cos2αβ+＝cos[(α－2β)－(2α－β)]＝……＝4943072-+ 14.若tan α＝2log 3x ，tan β＝3log 31x ，且α－β＝π4，求x 解：∵α－β＝π4，∴ tan(α－β)＝1 又tan(α－β)＝3133231332log 3log 5log tan tan 1tan tan 12log 3log 16log x xx x x xαβαβ--==++⋅-＝1 ∴ 6log 23x ＋5log 3x －1＝0⇒x＝13或x＝6315.已知sinα＋sinβ＝sin165°，cosα＋cosβ＝cos165°，求cos(α－β)及cos(α＋β)的值解：已知两式平方相加得2＋2cos(α－β)＝1，即cos(α－β)＝－1 2已知两式平方相减得cos2α＋cos2β＋2cos(α＋β)＝cos330°∴ 2cos(α＋β)cos(α－β)＋3cos(α＋β)＝cos30°∴ 2cos(α＋β)(－12)＋2cos(α＋β)＝32∴ cos(α＋β)＝3 2。
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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导：初等几何变换（一）
基础知识：
平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。
1989年中国数学会普委会明确规定：
初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。
几
何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。
我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。
初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。
一、 平移变换
1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得'=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。
记为X −−→−)
PQ (T X'，图形F −−→−)
PQ (T F' 。
2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换
1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。
记为
X −→−)l (S
X'，图形F −→−)
l (S F' 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于
对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
例题：
【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。
求证：∠PBA=∠PDA 。
【例2】如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。
求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<3
【例3】 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边
形。
【例4】 P 是⊙O 的弦AB 的中点，过P 点引⊙O 的两弦CD 、EF ，连结DE 交AB 于M
MP=NP
【例5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆，试在⊙O 及射线CA 、CB 上各求一点P 、Q 、R ，使得△PQR 的周长为最小
【例6】△ABC 中，∠A ≥90°，AD ⊥
P。