2011泛函期末试题(A)

考试时间：120分钟考试方式：闭卷 （提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，
T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα，　y x Ty Tx B.1≥-≤-αα，　y x Ty Tx C.10<<-≥-αα，　y x Ty Tx D.1≥-≥-αα，　y x Ty Tx
2.设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.
A. 0等价于0且,0==≥x x x
B.()数复为任意实,αααx x =
C. y x y x +≤+
D. y x xy +≤
3．下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列D.收敛点列是有界点列 4.设X 是复内积空间则下列哪个式子不成立（）.
A ．X y x x y y x ∈∀=,,,, B.
ααα,,,,,X y x y x y x ∈∀=为复数 C.X x x x x ∈∀=,,2 D. βαβααβα,,,,,,,,X z y x z x y x z y x ∈∀+=+为复数
5. 设f 是度量空间X 到度量空间Y 上的连续影射，则下列说法哪个不成立（ ）.
A ． Y 中()f x 的邻域U 的原像()1f U -是X 中x 的邻域
续影的连续影Y
Y y X x y A x y Ax ∈∀∈∀=*,,,, B. *=A A C. D.()A A =**
二、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分）
1．度量空间中的收敛点列是有界点集（ ）
2．度量空间中的柯西点列是收敛点列.（ ）
3. 任何空间中压缩映射都有唯一的不动点.（ ）
4. 内积空间是一种特殊的赋范线性空间.（ ）
5. 强收敛一定弱收敛，但弱收敛不一定强收敛. （ ）
三、填空题（每小题4分，共20分）
1．称为Banach 空间.
2．设X 是内积空间，X y x ∈,，如果，则称x 与y 相互正交或垂直.
3.用极限来描述连续映射：设T 度量空间X 到Y 中的映射，那么T 在X x ∈0连续的充要条件为
课程考核试卷
长江师范学院课程考核试卷
.
4.设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，()f N
表示f 的零空间，那么f 是X 上的连续线性泛函的充要条件是()f N 是X 中的.
5.设X 是内积空间，X y x ∈,
，请写出Schwarz 不等式. 四、证明题（每小题10分，共50分） 1．证明：设X 是实内积空间，X y x ∈∀,，有下式成立：
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=
2241,y x y x y x . 2．设{}n x 是内积空间X
中点列，若()∞→→n x x n ，且对一切X y ∈有
()∞→→n y x y x n ,,，证明：()∞→→n x x n .
3．证明：设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界线性算子的充要条件为T 是X 上连续线性算子.
4.设n j i a ij ,2,1,,=为一组实数，适合条件
()12
1,<-∑=n j i ij ij a δ，其中ij δ当j i =时为1，否则为0.证明：代数方程组有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 对任何一组固定的,,,21n b b b 必有唯一解.,,21n x x x
5.设n X X X ,,21 是一列Banach 空间，{} n x x x x ,,21=
是一列元素，其中n n X x ∈, 并且∞<∑∞=1n p n x ，这种元素列全体记成X ，类似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算.若令
p n p n x x 1
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∞= 证明：当1≥p 时，X 是Banch 空间.。