拉普拉斯变换及反变换

1. f (t) u(t)
2. f (t) eatu(t)
0
estdt
0
1 est s
0
1 s
ℒ [eat ]
eatestdt
0
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
ℒ [ejt ] 1
s j
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t)
ℒ [ (t)] (t)estdt 0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
补充内容：拉普拉斯变换及反变换
2.1 拉普拉斯变换 （ Laplace ） 2.2 常用函数的拉普拉斯变换 2.3 拉普拉斯变换的基本性质 2.4 拉普拉斯反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
2.1 拉普拉斯变换
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。
把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求 解再还原为时间函数。
LT
df (t) dt
SF (s)
f
(o )
f '(t)estdt
0
0
est df
(t)
f
(t)est
0
f (t)dest
0
f ()es f (0) S f (t)estdt f ()es f (0) SF(s) 0
终值
初值
机械工程控制基础 三、拉氏变换的物理意义
拉普拉斯变换及反变换
d2 d t2
r (t) a1
d dt
r
(t) a0
r
(t)
b1
d dt
e (t) b0
e (t)
原始值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。
解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]
• 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得
例1 ℒ [ A] A
例2
s
ℒ [ A(1 et )]
1 A(
1
)
s s
例3 ℒ [sint] ℒ [ 1 (ejt e jt )]
2j
1[ 2j s
1
j
s
1]
j
s2
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
二、微分（differentiation）定理
设ℒ [ f (t)] F(s)
(0 )＋r(0 )
反变换得 r(t)=L-1[R(s)]
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
三、积分（integration）定理
设ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
证明： d
t
f ( ) d f (t)
d t 0
∴
L
f
(t )
L
d dt
1
e
R t
L (t)
L
i(t)=u(t)* h(t)=u(t)*
1
e
R L
t
(t)
L
i (0 )
1 L
0 (t) d t 1
0
L
进行拉普拉斯变换 L[i(t)]=U(s)H(s)=U(s)×L[h(t)]
L
ea t (t)
L
1 L
e
R L
t
(t)
I(s)
1 sa
1 L
1 s R
0
(t)dt = 1 0
4. f (t ) t n
ℒ [tn ]
t nestdt
0
t n dest s 0
t n est e st dt n n t n1estdt
s
0
s 0
s 0
lim tn
t est 0
机械工程控制基础
ℒ
[tn ]
n s
ℒ
[t n1 ]
当n＝1， ℒ
F1(s)[1 esT e2sT e3sT ]
1 1 esT F1(s)
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
f1(t
)
u(t
)
u(t
T 2
)
f(t) 1
F1 ( s )
1 s
(1
sT
e2
)
0 T/2 T
F(s)
s(1
1 esT
)
(1
e
sT 2
)
1
sT
s(1 e 2 )
... t
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
四、拉氏变换存在条件
当 0 时
lim f (t )et 0
t
则 f (t )et 在
的
0
全
部
范
围
内
收
敛
，
即 0
f (t )et
dt 存 在，
f (t)可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
不同的 f (t)，0的值不同， 称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
• 拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相 反变换。
• 时域f(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又 称“复频率”。
• 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频 率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率 或衰减速率。
0 0
收敛坐标
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例 f (t ) e5t，选 5( 0 5)，则e5t et为 衰减函数，
就可以对f (t)进行拉氏变换。
由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
拉氏变换收敛域举例
(1)有界非周期信号收敛域: 全平面
L
i
(t)
L1[
I
(s) ]
L1
s
1
a
1 L
(即凡是有始有终,能量有限的信号);
(2)有稳定幅度的周期信号收敛域: 0;右半平面.
(3)随时间成正比增长的信号 0; (4)按指数eat增长的信号 a。 （5）不收敛信号 et2 , tet2 (0 t )
除非 (0 t T )
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
2.2 常用函数的拉普拉斯变换
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积 分上限也应为0-
t 0
源自文库
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础
四、时域平移（time shift）
设ℒ [ f (t)] F(s)
拉普拉斯变换及反变换
平移
f(t)
f(t-t0)
F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
f(t-t0)
t
t
0
0 t0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1 求图示函数的拉氏变换式
f(t) 1
0
Tt
f (t) u(t) u(t T) F (s) 1 1 esT
ss
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例3 周期函数（periodic function）的拉氏变换。
f(t) 1
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
拉普拉斯变换及反变换
当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
ℒ 1[ 1 ] e t
s
(t 0)
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
15.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（linearity）性质
若 ℒ [f1(t)] F1(s) , ℒ [f2(t)] F2(s)
则 ℒ [a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
五、 复频域平移（frequency shift）
设 ℒ [ f (t)] F(s)
则 ℒ [et f (t)] F(s )
例1
ℒ [tet ]
1
(s )2
例2
ℒ [et sint] (s )2 2
例3
ℒ
[e t
cos t ]
(s
s )2
机械工程控制基础 二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在 变换式里。
机械工程控制基础 拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
设 f1(t)为第一个周期的函数，
...
ℒ [ f1(t)] F1(s)
0 T/2 T
t
则ℒ
[
f (t)]
1 1 e sT
F1 ( s )
证：f (t) f1(t) f1(t T) f1(t 2T)
ℒ [ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
若f1(t) L F1(s), f2 (t) F2 (s) 则f1(t) f2 (t) L F1(s) • F2 (s)
例 右图所示电路中，电压源为 ui (t) eatu(t) ，
试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)
解：令激励电压为单位冲激电压δ(t)，则初值为
冲激响应电流为 h(t)= 零状态响应电流为卷积积分
[t]
1 s2
；
当n＝2，ℒ[t 2 ]
2 s3
；
拉普拉斯变换及反变换
依次类推， 得 ℒ
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例 求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个
函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s
机械工程控制基础
lims s0
s
1 a
0
例5：已知F(s)=
1 s2 a2
,求f(0)和f(∞)
解：由初值定理得
lim lim f (0)
sF (s)
s 1 0
s
s s 2 a 2
由于s=±ja是sF(s)的极点，位于虚轴上，不能应用终值定理，即f(∞) 不存在。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
七、8时域卷积性：
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
（Laplace transformation）
反变换
f (t) 1
j
F
( s )e st ds
2j j
（inverse Laplace transformation）
[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s) • 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
R
(
s
)
(
s b1
b0
)
E
(s) s2
( s a1) r a1 s a0
则 ℒ [df (t)] sF(s) f (0 )
dt
ℒ
dn f (t) [ dt n ]
snF(s)
n1
s n k 1
k0
f
(k)(0 )
例1
ℒ [cos t] ℒ [ 1 d (sin t)] dt
1
[s
s2
2
sint
0
]
s2
s
2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：
F (s) f (t )estdt 0
0 f (t )estdt f (t )estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从 0- 开始。
f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换对（Laplace pairs） 。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
s j称为复频 率 （complex frequency）。
f(t) ，t [0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。
例3 I(s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
11
i(t)
t
lim s(
s0
s
s
) 1
1
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例4：已知F(s)=
1 sa
，求f(0)和f(∞)
解：由初值定理和终值定理可得
f
(0)
limsF (s) s
lims s
s
1
a
1
f
()
limsF (s) s0