大学物理电磁感应

ac方向为 a c ， c 点电势高。
例2. 在长直电流I旁放一与之共面的直角三角形ABC。平行 于直电流的AC边长为b，垂直于直电流的BC边长为a，斜边 AB长为c，如上图所示。若线圈以速度v垂直于直电流向右 平移，求B端点与直电流相距为d时，三角线圈内感应电动 势的大小和方向。
解：建立坐标如图，原点在长直电流导线上，则斜边方程为 y=(bx a)(br a)，其中取t瞬时线圈左端距直电流为r(图中瞬 时r=d)。则磁通量为
Faraday电磁感应定律。
连接Oa和Oc，得回路Oabc，取逆 时针为回路正方向。
R
BO
B (S1 S2 )
a b
c
S1
3 4
R2
,
S2
R2 6 2
1 R2 12
RRຫໍສະໝຸດ 3 41 12BR 2
Oa cO 0
ac 回路
d dt
3 4
1 12
dB dt
R2
0.516R2c
B
N
F
v
S
用 楞
B
次
定 律
I
v
判 断
S
感
应
电
N
流
方
向
B
I
N
S v
楞次定律是能量守恒定律的一种表现
例如 机械能
焦耳热
维持滑杆运
B × × × × × ×
动必须外加一力， × × × × × ×
v I 此过程为外力克 F × ×m × × × ×
服安培力作功转 × × × i× × ×
化为焦耳热.
××××××
例 在匀强磁场
中，置有面积为 S 的可绕 轴转动的N 匝线圈. 若线圈以角
速度作匀速转动.
求线圈中的感应电 动势.
ω
N
en
o' B
iR
o
解 设 t 0 时,
en 与 B 同向 ,
则 t
N
en
o' B
N NBS cost
d NBS sin t
dt
令 NBS m
0, d 0 dt
0, d 0 0, d 0 0, d 0
dt
dt
dt
§15.1 Faraday电磁感应定律
感应电动势的方向
dΦ
B
i
dt
B与回路成右螺旋
Φ0
N
dΦ 0 0
dt
i
与回路取向相反 i
S 磁铁由下而上运动
三 楞次定律
闭合的导线回 路中所出现的感应 电流，总是使它自 己所激发的磁场反 抗任何引发电磁感 应的原因（反抗相 对运动、磁场变化 或线圈变形等）.
B dS
oI ydx 2x
oI 2
1 x
b a
x
r dx
obI 2a
ar
r
1
r x
dx
obI a r ln a r
2a
r
i
d dt
obI 2a
ln
a
r r
a ar
dr dt
r d, dr v dt
i
obIv 2a
ln
a
d
d
a
a
d
感应电动势的方向为：顺时针绕向 （感应电流产生的磁场阻止线圈磁通减少）
r
dr dt
ob a r ln a r dI obI ln a r a dr
2a
r dt 2a r a r dt
obIo 2a
a
d
ln
a
d
d
sin t
obv 2a
ln
a
d
d
a
a
d
I
0cos
t
在最后一步中代入了关系 I=Iocost，r=d，dr d t=v。
dr
i
B
vBdr rB dr
d
(v
B)
dr
vBdr
rBdr
i
2R2
r Bdr i
R2 R1
.R1
o
r
dr
N B
1 2
B(
R12
R22 )
. . M
B
o'
i
圆盘边缘的电势高于 中心转轴的电势.
§15.3 感生电动势和 感生电场
一 感生电动势
产生感生电动势的 非静电场
感生电场
麦克斯韦假设 变化的磁场 在其周围空间 激发一种电场——感生电场 Ek .
第 15 章 电磁感应
本章主要内容
§15.1 Faraday电磁感应定律 §15.2 动生电动势 §15.3 感生电动势和感生电场 §15.4 互感 §15.5 自感 §15.6 磁场的能量
第15章 电磁感应
Oersted: 电流磁效应（1820）
电流 产生 磁场
作用
产生？ Faraday: 磁的电效应（1824-1831）电与磁之间的对称性
第15章 电磁感应
§15.1 Faraday电磁感应定律
法拉第（Michael Faraday, 1791－1867）
英国物理学家和化学家， 电磁理论的创始人之一. 他创造性地提出场的思想， 最早引入磁场这一名称. 1831年发现电磁感应现象， 后又相继发现电解定律， 物质的抗磁性和顺磁性， 及光的偏振面在磁场中的 旋转.
E dl
L
S
B
dS
t
其中S是以L为边界的任意面积
感生电场也称涡旋电场。
§15.3 感生电动势和感生电场
感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场 dΦ
L Ek dl dt 0
由变化的磁场产生
静电场
保守场
L E静 dl 0
由电荷产生
特殊情况下感生电场的计算
空间均匀的磁场限制在半径 为R的圆柱内， B的方向平
闭合回路中的感生电动势
i
E L
k
dl
dΦ dt
B i
dB / dt 0
Φ B ds S
L
Ek
dl
d dt
B ds
S
i
E L
k
dl
SdB ds
dt
i i
L E感生
B
S
t
dl
dS
B
E感生 dl
L
S
t
dS
又 E静 dl 0
总电场
L
E E静 E感生 满足：
2
方向从 a b
B
例3 一导线矩形框的平面与磁感强度为 的均匀磁场相垂直.在此矩形框上，有一
质量为m 长为 l 的可移动的细导体棒 MN ；
矩形框还接有一个电阻 R，其值较之导线的
电阻值要大得很多. 开始
时，细导体棒以速度
v0
沿如图所示的矩形框
Rl
运动，试求棒的速率随
N
B v
时间变化的函数关系.
M
解 如图建立坐标
棒中 Blv 且由 M N i
F IBl B2l 2v 方向沿ox轴反向
R
m dv B2l 2v
dt
R
则 v dv t B2l 2 dt
v v0
0 mR
N
R l B FI
v
v
v e(B2l2 0
mR)t
o
Mx
例 4 圆盘发电机 ，一半径为R1的铜
薄圆盘，以角速率 ，绕通过盘心垂直的
设回路L方向如图 建坐标系Ox如图
I
dS l
在任意坐标处取一面元
ds
N N B dS N
d a
BdS N
I
ldx
S
S
d 2 x
da
NI 0l sin t ln d a
O
x
2
d
i
d
dt
0 r NI 0l 2
ln
d
d
a
cost
i (t)
t
交变的 电动势
§15.2 动生电动势
讨论：
1. 因电流强度I不随时间变化，则周围的磁场也不变 化，线圈中的感应电动势是由于其相对于磁场的 运动而产生，特称之为动生电动势
2. 若为本 上题 式中 ，的 式电 中流I=I强(t)度，Ir==Iro(cto)。st，则t瞬时磁通量仍
obI a r ln a r
2a
r
i
I
dI dt
ω
o
iR
则 sint
m
sint m
N
en
o' B
i m sint I sint
R
m
交流电
ω
iR
o
[例2] 直导线通交流电，置于磁导率为 的介质中，求：与其共面的N
匝矩形回路中的感应电动势。
已知 I I0 sin t ，其中I0 和 是大于零的常数。
L
解：设当I 0时，电流方向如图
rR
c 2
r
cR 2 E感生 rR 2r
§15.3 感生电动势和感生电场
[例1] 空间均匀的磁场限制在半径为R的圆柱内，B 的 方向平行柱轴，且有 dB dt c， 今有一 长度为R的金属
棒与磁场垂直放置，一端在磁场区的边缘，另一端伸出磁场
区域之外。在磁场区内、外的长度均为 R。求金属棒中的感
行柱轴，且有 dB dt c ，求 E感生的分布。 由对称性分析得 E感生线如图（c > 0）
B
L
设场点距轴心为r，根据对称
性，取以对称轴为中心，过场点的
圆周环路L，则
r r
R
R
L E感生
S
B t
S
B t
dl E感生 2 r
dS
dB
r
2
dt
dS
dB
R2
dt
cr 2 cR
2
r
E感生
i
I
dI dt
r
dr dt
上式中的第一项是将位置变量r视为常量，电流强度I 作为变量(磁场变化)，对时间求导所得；相当于在静止回 路中,因磁场的变化而产生的电动势,称之为感生电动势。 第二项是将电流强度I视为常量(磁场不变)，位置r作为变 量，对时间求导所得；相当于在不变的磁场内，运动的 导体中产生的电动势，称之为动生电动势。
一 电磁感应现象
二 电磁感应定律
当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生
变化时，回路中会产生感应电动势，且感应
电动势正比于磁通量对时间变化率的负值.
k dΦ
i
dt
国际单位制
i
Φ
伏特
k 1
韦伯
（1）闭合回路由 N 匝密绕线圈组成
d
i
dt
磁通匝数（磁链） NΦ
（2）若闭合回路的电阻为 R ，感应电流为
× × × O× × v ×
×××××
方向 O
P
i
d
(v
B)
dl
i
vBdl
i
L 0
vBdl
L
0 lBdl
1 BL2
2 i
×× ××
× × ×B ×
× × ×dl ×
× P ×
× × × O× × v ×
×××××
方向 O
P
i
[例2] 在空间均匀的磁场中 B Bk，导线ab绕Z轴以 匀速旋转，
Ii
1 R
dΦ dt
q
t2 Idt
t1
1 R
Φ2 dΦ
Φ1
1 R
(Φ1
Φ2 )
说明： 应用定律中的约定处理 i的方向
1）先选定一回路的绕行方向：电动势 方向与绕行方向一致时为正；
2）当磁力线方向与绕行方向成右手螺 旋关系时，磁通量为正。
i
d
dt
n
S
i
B或 S增大 Bn Bn
B 或S减小 Bn Bn
平衡时 Fm Fe eEk
Ek
Fm e
v
B
× ×P+ + ×
×
B
× Fe× × ×
v × × - × ×
× Fm× - - × ×
× ×O× ×
i
E OP
k
dl
(v
B)
dl
OP
i
E OP
k
dl
(v
B)
dl
OP
设杆长为l
i
l 0
vBdl
vBl
× ×P+ + ×
a
v O a+vt
v
B
C
0Il ln b vt
b
B
C
b+vt
2 a vt
线圈内的感应电动势为
i
N
dΦ dt
0IlN 2
a vt (a vt)v (b vt)v
b
vt
(a vt)2
0IvlN 1 1 2 a vt b vt
×
B
× Fe× × ×
v × × - × ×
× Fm× - - × ×
× ×O× ×
例1
一长为
L
的铜棒在磁感强度为
B
的均匀磁场中，以角速度 在与磁场方向
垂直的平面上绕棒的一端转动，求铜棒两
端的感应电动势.
解 根据楞次定律，判 断感应电动势的方向
×× ××
× × ×B ×
× × ×dl ×
× P ×
金磁属感轴强度O转为动B 的，均轴匀的磁半场径中为，R2B，圆的盘方放向在亦
与盘面垂直. 有两个集电刷a，b分别与圆盘
的边缘和转轴相连. 试计算它们之间的电势
差，并指出何处的电势较高.
解
2R2
.R1
o
r
dr
. . M
B
o'
i
因为 d R1 ，所以不
计圆盘厚度.
如图取线元
dr
N
d
(v
B)
例3. 一长直导线中通有直流电流I，旁边有一与它共面的矩形线 圈，长为l，宽为(b-a)，线圈共有N匝，以速度v离开直导线。求 线圈中的感应电动势的大小和方向。
解法一：用法拉第定律计算。 直导线产生的磁感强度为 线圈中的总磁通量
B 0I 2x
Φ dΦ
A
DI
A
D
bvt 0 I ldx I
l
avt 2x
d
i
dt
引起磁通量变化的原因
（1）稳恒磁场中的导体运动 ，或者回 路面积变化、取向变化等
动生电动势
（2）导体不动，磁场变化 感生电动势
电动势
E
k
dl
I
Ek
+-
Ek : 非静电力的电场强度.
闭合电路的总电动势
E l
k
dl
动生电动势
动生电动势的非静电力场来源
洛伦兹力
Fm (e)v B
导线ab与Z轴夹角为，设 ab L。求：导线ab中的电动势。
解：建坐标如图。在距a点 l 处取 dl ，
r 其旋转半径为 。
v
B
vB
rB
di (v B)dl v
lB sin Bdlcos
Bsin 2 ldl
B
z
r
b dl