数字信号处理导论 专业英语 翻译
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根据等式：
其中α只能为实系数。我们可以得到频率响应:
其幅频响应可以借助于极点/零点图来画出：
在单位圆上旋转，靠近极点时H(ω)的幅值最大，凸峰（pole peaks）。靠近零点时幅值最小，凹陷(zero dips)。
当ω=0时， 最靠近极点z=0.8，该点为pole peak。当ω=π时， 最靠近零点z=-0.4，该点为zero dip。
也可以表示为下述样值处理算法：
为了证明它表示的是同一个传递函数，我们可以将I/O方程变换到z域：
Y(z)=W1(z)+5X(z)
zW1(z)=2X(z)+0.8Y(z)
求解得到：
Y(z)=z-12X(z)+ z-10.8Y(z)+5X(z)
(1-0.8)Y(z)=(5+2z-1)X(z)
一旦给定了框图之后，我们就可以很方便的抽样处理算法转换成相应的软件或硬件。例如(6.2.9)示所描述可以用以下程序来实现：
就象FIR滤波器一样，对框图中所有延时器赋一个中间变量，可以得到样值处理算法。也就是说，我们定义：
v1(n)为n时刻x的延时。类似地我们定义：
w1(n)为n时刻输出y的延时。依据以上定义，我们将式(6.2.4)用下列方程组替代：
也可以ห้องสมุดไป่ตู้述为以下迭代算法：
该滤波器的频率响应可以用ejω替换传递函数中的z得到：
一般说来，IIR滤波器的传递函数可以用两个次数分别为L、M的多项式之比来表示。既：
(6.2.11)
作为约定，分母多项式的0次项系数设定为a0=1。滤波器H(z)共有L个零点和M个极点，假设分子和分母多项式的系数为实数，那么，如果存在任何复数的零点或极点的话，它们一定是以共扼复数对的形式出现。
为了确定这样一个滤波器的冲激响应h(n)，我们必须采用第五章中所讲过的z反变换方法，如部分分是展开方法。Z平面上零点和极点的位置把整个z平面划分为互相不交叠的区域，每一个区域对应特定冲激响应h(n)的ROC(收敛域)。
为了得到稳定的冲激响应，我们取包含单位圆的那个收敛域。为了使稳定的h(n)为因果信号，H(z)的极点(D(z)的零点)必须严格位于单位圆以内。这样的话，H(z)的反变换收敛域将会在单位圆以外。
由此可以得到：
其传递函数：
通过引入中间变量保存延时器的内容，即可得到上述框图的样值处理算法：
(6.2.6)、(6.2.7)两式可以用下列算法来替换:
写成算法形式就是：
(并行实现形式) (6.2.8)
其他的框图实现方法可以将I/O方程排列成不同的形式而得到。第三种实现方法是所谓的规范化形式(canonical form realization)。由z平面上的滤波器方程开始：
实际应用当中，我们是从给定的频率响应H(ω)开始的。然后通过滤波器设计方法，我们可以得到满足规定条件的传递函数H(z)。由H(z)我们可以推演出框图实现和相应的样值处理(sample-by-sample)算法。样值处理算法让我们清楚了解滤波器是怎样实时处理的。对于FIR滤波器，我们也可以先求冲激响应，然后可以采用基于卷积的块处理算法来实现滤波器的运行。
为了证明这一点，我们将没有给定名称的所有信号依照约定加上名称。输出加法器有两个输入信号，一个直接来自输入乘法器，既-2.5x(n)。另一个记作中间变量w(n)。因此，输出加法器的方程为：
而w(n)可以看作是输入为x(n)的滤波器H2(z)的输出：
(6.2.6)、(6.2.7)两式共同表述了框图的时域运算。将这两个方程变换到z域，我们得到：
很容易证明属于因果信号，也就是说其初始条件是h(-1)=0。由(6.2.2)式的冲激响应h(n)，我们可以得到滤波器的I/O卷积方程，即：
用第三章所介绍的方法可以将上式写成y(n)的差分方程。该差分方程也可以用卷积z域特性，
Y(z)=H(z)X(z)
用z变换方法求得。同样，其做法就是约去分母多项式然后变换到时域。对本例，我们有：
同样我们可以设置中间状态变量w1(n)来保持延时器中的内容。这样的话，输入到延时器的内容为2x(n)+0.8y(n)，在延时器中被延时成为w1(n)。因此：
w1(n)=2x(n-1)+0.8y(n-1)
描述上述框图的完整I/O方程为：
y(n)=w1(n)+5x(n)
w1(n+1)=2x(n)+0.8y(n)
设有以下传递函数：
要得到冲激响应，我们可以用部分分使展开法将H(z)写成：
其中A0和A1为：
假定滤波器为因果性的，我们得到滤波器的冲激响应：
h(n)所满足的差分方程可以从H(z)求得。一般的做法是传递函数H(z)两边它同乘上分母多项式然后变换到时域。(6.2.1)式两变同时乘上分母得到：
两边求z反变换并利用线性系和延时性，我们得到h(n)的差分方程：
§6.2传递函数
下面用一个具体的例子来解释传递函数所起的中心作用以及它与其它几种表述方法的关联。
给定传递函数H(z)，我们可以很快得到：(a)冲激响应h(n)；(b)满足冲激响应的差分方程；（c）把输入和输出联系起来的I/O方程；(d)滤波器的框图实现；(e)样值处理算法；(f)零点/极点图；(g)频率响应H(ω)。反过来，(a)-(g)任意给定一种，也可以很快得到传递函数H(z)和其余的表达方式。
定义中间变量：
输出方程为：
把这些方程写成时域形式：
或：
因此我们得到系统的I/O方程为：
其框图如6.2.4所示：
引入内部状态变量：
系统方程可以重写如下：
上述差分方程可以用算法实现：
图6.2.4 H(z)的规范实现形式
框图实现的第四种方法可以根据转置规律来实现，就是用节点替换加法器、加法器替换节点、流动方向倒置、输入输出位置互换。转置实现方式如图所示：
传递函数
§6.1数字滤波器的等效描述
借助于z变换，本章中我们将讨论几种描述FIR和IIR滤波器的等效数学方法，它们是：
传递函数
频率响应
框图实现和抽样处理算法
I/O差分方程
零点/极点图
冲激响应
I/O卷积方程
其中最重要的一种是传递函数H(z)。由传递函数我们可以很容易得出其它的描述方法。图6.1.1表明了几种等效描述之间的关系。之所以需要这样多种描述方法是因为它们提供了滤波器内在的含义，并且适用于不同的目的。
滤波器为一个低通滤波器。高频分量衰减为低频分量的1/21。
或者用分贝表示为：
传递函数的框图实现方法不是唯一的。表示方法上各不相同、数学描述等效的传递函数可能得出不同的差分方程，这些差分方程可以用不同的框图或抽样处理算法来实现。例如：(6.2.1)式可以用部分分式展开为：
上式可以用并行算法来实现，也就是说可以视为两个传递函数之和：
上式也可以写成为：
两边取z反变换，得到I/O差分方程为：
式(6.2.3)是(6.2.4)的特殊情况，x(n)=δ(n)，y(n)=h(n)。如果从(6.2.4)式入手，我们可以通过相反的步骤得到传递函数H(z)。也就是说(6.2.4)式两变取z变换得到：
亦即：
一旦I/O方程确定后，我们可以用框图来实现。例如，(6.2.4)式可以用图6.2.1表示。
其中α只能为实系数。我们可以得到频率响应:
其幅频响应可以借助于极点/零点图来画出：
在单位圆上旋转，靠近极点时H(ω)的幅值最大，凸峰（pole peaks）。靠近零点时幅值最小，凹陷(zero dips)。
当ω=0时， 最靠近极点z=0.8，该点为pole peak。当ω=π时， 最靠近零点z=-0.4，该点为zero dip。
也可以表示为下述样值处理算法：
为了证明它表示的是同一个传递函数，我们可以将I/O方程变换到z域：
Y(z)=W1(z)+5X(z)
zW1(z)=2X(z)+0.8Y(z)
求解得到：
Y(z)=z-12X(z)+ z-10.8Y(z)+5X(z)
(1-0.8)Y(z)=(5+2z-1)X(z)
一旦给定了框图之后，我们就可以很方便的抽样处理算法转换成相应的软件或硬件。例如(6.2.9)示所描述可以用以下程序来实现：
就象FIR滤波器一样，对框图中所有延时器赋一个中间变量，可以得到样值处理算法。也就是说，我们定义：
v1(n)为n时刻x的延时。类似地我们定义：
w1(n)为n时刻输出y的延时。依据以上定义，我们将式(6.2.4)用下列方程组替代：
也可以ห้องสมุดไป่ตู้述为以下迭代算法：
该滤波器的频率响应可以用ejω替换传递函数中的z得到：
一般说来，IIR滤波器的传递函数可以用两个次数分别为L、M的多项式之比来表示。既：
(6.2.11)
作为约定，分母多项式的0次项系数设定为a0=1。滤波器H(z)共有L个零点和M个极点，假设分子和分母多项式的系数为实数，那么，如果存在任何复数的零点或极点的话，它们一定是以共扼复数对的形式出现。
为了确定这样一个滤波器的冲激响应h(n)，我们必须采用第五章中所讲过的z反变换方法，如部分分是展开方法。Z平面上零点和极点的位置把整个z平面划分为互相不交叠的区域，每一个区域对应特定冲激响应h(n)的ROC(收敛域)。
为了得到稳定的冲激响应，我们取包含单位圆的那个收敛域。为了使稳定的h(n)为因果信号，H(z)的极点(D(z)的零点)必须严格位于单位圆以内。这样的话，H(z)的反变换收敛域将会在单位圆以外。
由此可以得到：
其传递函数：
通过引入中间变量保存延时器的内容，即可得到上述框图的样值处理算法：
(6.2.6)、(6.2.7)两式可以用下列算法来替换:
写成算法形式就是：
(并行实现形式) (6.2.8)
其他的框图实现方法可以将I/O方程排列成不同的形式而得到。第三种实现方法是所谓的规范化形式(canonical form realization)。由z平面上的滤波器方程开始：
实际应用当中，我们是从给定的频率响应H(ω)开始的。然后通过滤波器设计方法，我们可以得到满足规定条件的传递函数H(z)。由H(z)我们可以推演出框图实现和相应的样值处理(sample-by-sample)算法。样值处理算法让我们清楚了解滤波器是怎样实时处理的。对于FIR滤波器，我们也可以先求冲激响应，然后可以采用基于卷积的块处理算法来实现滤波器的运行。
为了证明这一点，我们将没有给定名称的所有信号依照约定加上名称。输出加法器有两个输入信号，一个直接来自输入乘法器，既-2.5x(n)。另一个记作中间变量w(n)。因此，输出加法器的方程为：
而w(n)可以看作是输入为x(n)的滤波器H2(z)的输出：
(6.2.6)、(6.2.7)两式共同表述了框图的时域运算。将这两个方程变换到z域，我们得到：
很容易证明属于因果信号，也就是说其初始条件是h(-1)=0。由(6.2.2)式的冲激响应h(n)，我们可以得到滤波器的I/O卷积方程，即：
用第三章所介绍的方法可以将上式写成y(n)的差分方程。该差分方程也可以用卷积z域特性，
Y(z)=H(z)X(z)
用z变换方法求得。同样，其做法就是约去分母多项式然后变换到时域。对本例，我们有：
同样我们可以设置中间状态变量w1(n)来保持延时器中的内容。这样的话，输入到延时器的内容为2x(n)+0.8y(n)，在延时器中被延时成为w1(n)。因此：
w1(n)=2x(n-1)+0.8y(n-1)
描述上述框图的完整I/O方程为：
y(n)=w1(n)+5x(n)
w1(n+1)=2x(n)+0.8y(n)
设有以下传递函数：
要得到冲激响应，我们可以用部分分使展开法将H(z)写成：
其中A0和A1为：
假定滤波器为因果性的，我们得到滤波器的冲激响应：
h(n)所满足的差分方程可以从H(z)求得。一般的做法是传递函数H(z)两边它同乘上分母多项式然后变换到时域。(6.2.1)式两变同时乘上分母得到：
两边求z反变换并利用线性系和延时性，我们得到h(n)的差分方程：
§6.2传递函数
下面用一个具体的例子来解释传递函数所起的中心作用以及它与其它几种表述方法的关联。
给定传递函数H(z)，我们可以很快得到：(a)冲激响应h(n)；(b)满足冲激响应的差分方程；（c）把输入和输出联系起来的I/O方程；(d)滤波器的框图实现；(e)样值处理算法；(f)零点/极点图；(g)频率响应H(ω)。反过来，(a)-(g)任意给定一种，也可以很快得到传递函数H(z)和其余的表达方式。
定义中间变量：
输出方程为：
把这些方程写成时域形式：
或：
因此我们得到系统的I/O方程为：
其框图如6.2.4所示：
引入内部状态变量：
系统方程可以重写如下：
上述差分方程可以用算法实现：
图6.2.4 H(z)的规范实现形式
框图实现的第四种方法可以根据转置规律来实现，就是用节点替换加法器、加法器替换节点、流动方向倒置、输入输出位置互换。转置实现方式如图所示：
传递函数
§6.1数字滤波器的等效描述
借助于z变换，本章中我们将讨论几种描述FIR和IIR滤波器的等效数学方法，它们是：
传递函数
频率响应
框图实现和抽样处理算法
I/O差分方程
零点/极点图
冲激响应
I/O卷积方程
其中最重要的一种是传递函数H(z)。由传递函数我们可以很容易得出其它的描述方法。图6.1.1表明了几种等效描述之间的关系。之所以需要这样多种描述方法是因为它们提供了滤波器内在的含义，并且适用于不同的目的。
滤波器为一个低通滤波器。高频分量衰减为低频分量的1/21。
或者用分贝表示为：
传递函数的框图实现方法不是唯一的。表示方法上各不相同、数学描述等效的传递函数可能得出不同的差分方程，这些差分方程可以用不同的框图或抽样处理算法来实现。例如：(6.2.1)式可以用部分分式展开为：
上式可以用并行算法来实现，也就是说可以视为两个传递函数之和：
上式也可以写成为：
两边取z反变换，得到I/O差分方程为：
式(6.2.3)是(6.2.4)的特殊情况，x(n)=δ(n)，y(n)=h(n)。如果从(6.2.4)式入手，我们可以通过相反的步骤得到传递函数H(z)。也就是说(6.2.4)式两变取z变换得到：
亦即：
一旦I/O方程确定后，我们可以用框图来实现。例如，(6.2.4)式可以用图6.2.1表示。