关于协方差与相关系数的两个证明

1 n 1 n x , y yi i n n i 1 i 1
1 n 1 n var x xi x , var y yi y n 1 i 1 n 1 i 1
可以得到以下两个结论： 1）标准化后的变量的均值为 0


2


2
x j nx 1 n 1 n xj x 1 j 1 xnew xnew j 0 n j 1 n j 1 var x n var x



x x y y
n i 1 i i
n 1 var x var y

cov x, y var x var y
corr x, y
通过结论 2）可以证明：标准化后的变量的协方差就是其相关系数
corr xnew, ynew
2
n 1 n xi x 1 xi x n 1 i 1 var x n 1 var x i 1


2


2
x x
n i 1 i
2

n 1 var x

var x 1 var x
the _ same : var ynew 1
通过结论 1）可以证明：标准化后的变量的协方差就是原变量的相关系数
cov xnew, ynew
n
xnew xnew ynew ynew
n i 1 i i
n 1Βιβλιοθήκη Baidu
x x yi y n i xi x yi y var x var y i 1 1 i 1 n 1 n 1 var x var y
cov xnew, ynew var xnew var ynew
cov xnew, ynew
本文需要证明两个问题： ①标准化后的变量的协方差就是原变量的相关系数 ②标准化后的变量的协方差就是其相关系数 原变量：
x : x1 , x2 , y : y1 , y2 ,
, xn , yn
分别对其进行标准化：
xnewi x
var x
xi x
, ynewi
var y
yi y
the _ same : ynew 0
2）标准化后的变量的方差为 1
n
var xnew
1 n xnewi xnew n 1 i 1


2
1 n 1 n xi x xnewi 2 n 1 i 1 n 1 i 1 var x