新高考数学二轮专题训练课件-分类与整合

3
2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值. 【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1. 当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所 以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小 值为f(1)=1;
又点A为圆C1上的动点,所以x2+4y2=4,即x2 +y2=1.
4
22xy－－yx00＝＝0x，0，即
x0＝x， y0＝2y，
(2)当PQ的斜率不存在时,设直线OP为y=1 x,
2
不妨取点P（
2， 2），则Q（
2
2，－ 2 2
），T(
2 ，0)，
所以|OT|= 2.
当PQ的斜率存在时,设直线PQ为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立xy＝2 k4xy2＝m4，，
(2)设F1,F2为椭圆x2 y2 =1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角
94
三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求
PF1 PF2
的值.
【解析】①若∠PF2F1=90°,
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5 ,
第3讲 分类与整合
题型特点
常用方法
分类与整合的思想就是将一个复杂 的数学问题分解成若干个简单的基 础问题,通过 “化整为零,各个击 破,再积零为整”的解题策略.使用 分类与整合思想应注意以下几点:
1.分类时要不重不漏; 2.标准要统 一,层次要分明;
3.能不分类的要尽量避免,决不无 原则的讨论.
1.由数学概念而引起的分类讨论.
【典例1】在直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+2 2 相切, 点A为圆C1上一动点,AN⊥x轴于点N,且动点M满足 OM AM＝ON ,设动点M的轨 迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段PQ的中点为T,OP,OQ的斜率分别为k1,k2,且k1k2 =- 1 ,求|OT|的取值范围.
A( 4，4 )，az=＝34,符 4合a＝题1意6，;
2a
33
33 3
②若 1＜－,即1 0<a<2,最优解为B (3，1 )，
a2
2
z＝3 1 a＝16,，不a符＝合14题意,舍去.
23
3
当a<0时,- 1>0,只需目标函数截距最小.
a
③若 0 －1,即 1a<-2,最优解为C(-2,-2),
a
a
且-1>- a 1.
a
所以函数f(x)的单调增区间为 (－，－和a(-11),+∞),单调减区间为
a (－a 1，－1).
a
综上可知,当a>0时,函数f(x)的单调增区间为 (－，－和a(-11),+∞),
a
单调减区间为(－a 1，－1)；
a
当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),
x
x
①当a=0时,g(x)=x2,在x∈(0,+∞)上,g(x)=0无解.所以x>0时无零点,即a≠0.
②当a>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,取x0= e,则1a =g(-e11a +) (e<1a )02 ,
因为g(1)=1,所以g(x0)·g(1)<0,此时函数g(x)恰有一个零点,即a>0.
【变式训练】 1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,
且函数g(x)=(1-4m) x 在[0,+∞)上是增函数,则a=________.
【解析】若a>1,有a2=4, a-1=m.
解得a=2,m=1 .
2
此时g(x)=- x为减函数,不合题意.
若0<a<1,有a-1=4,a2=m,
4，如果目标函数z=x+ay的最大值为
2，
16 3
,
A.3
B. 14
3
C.3或 14 3
D.3或－11 3
【解析】选D.先画出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示,目标
函数化为y=-1x+ 1z,当a>0时,- <1 0,只需目标函数截距最大.
aa
a
①若 －1＜－,即1 a0>2,最优解为
4
【解析】(1)设动点M(x,y),A(x0,y0),由于AN⊥x轴于点N,所以N(x0,0),又圆
C1:x2+y2=r2(r>0)与直线l0:y=x+22 相切,
22
所以r= 2=2,则圆C1:x2+y2=4. 由题意, OM AM得＝(OxN,，y)+(x-x0,y-y0)=(x0,0),所以
三 由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例3】(1)已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平
行截面间的距离是( )
A.1
B.2
C.1或7
D.2或6
【解析】选C.画出球的截面图.如图所示. 是一个球的大圆,两平行直线是球的两个平行截面的直径,m= 52－=324,n=
52 4=23, 当两个平行截面在球心的两侧时, 两平行截面间的距离是m+n=7; 当两个平行截面在球心的同侧时, 两平行截面间的距离是m-n=1.
【技法点拨】 若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类
讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何 意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确、不重不漏.
【变式训练】
已知函数f(x)=x2-(2m+1)x+ln x(m∈R).
故a=1 ,m= 1 ,检验知符合题意.
4
16
答案: 1
4
2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是 ________.
【解析】由{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0,当q=1时,Sn=na1>0.当q≠1
时,Sn=
a（1 1－>qn0）,即
1－q
1>－0q(nn=1,2,3,…),
1－q
则有
1－q 1－q
0， ①或
n 0，
1－q 1－q
0， ②
n 0.
由①得-1<q<1,由②得q>1.
故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
答案:(-1,0)∪(0,+∞)
二 由参数的取值范围引起的分类讨论 【典例2】已知函数f(x)=ex(ax2+x+a)(其中常数a≥0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立,求实数a的取值范围.
2.由数学运算要求而引起的分类讨 论.
3.由性质、定理、公式的限制而引 起的分类讨论.
4.由图形的不确定性而引起的分类 讨论.
5.由参数的变化而引起的分类讨论 .
分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题, 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略.
一 由概念、法则、公式引起的分类讨论
2
2
(上1 m是，增)函数,
2
且h(x)∈ (h(1 m)，所以)，不符合题意.
2
②若m≥1 ,则x∈(1,+∞)时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,
2
且h(x)∈(h(1),+∞),所以不符合题意.
③若m≤0,则x∈(1,+∞)时,恒有h′(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上是减函数,于是 “h(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0,即m-(2m+1)≤0,解 得m≥-1,故-1≤m≤0. 综上,m的取值范围是[-1,0].
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
所以x1+x2=1－84kkm2 ，x1x2=
4m2－4 1 4k2
.
因为k1k2=-14 ,所以4y1y2+x1x2=0.
所以4(kx1+m)(kx2+m)+x1x2
=(1+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2
=4m2-43-2k2m2+4m2=0.
所以|OT|∈[ 2 ，2).
2
综上,|OT|的取值范围是 [
2 ，2].
2
【技法点拨】 解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤 第一步:确定需分类的目标与对象,即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、 定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理.
(1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函数图象形状的变 化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离 心率引起的形状变化;(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.
【变式训练】
x－y 0，
1.已知实数x,y满足约束条件 则实数a的值为( )
x 2y x－2y
解得|PF1|=134,|PF2|= ,43所以
=PF1. 7
PF2 2
②若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2.
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以 来自百度文库F=1 2.综上知, =PF1 或27.
PF2
PF2 2
【技法点拨】 六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合
a2
z=-2-2a=16 ,a=- 11,符合题意;
3
3
④若 1 －,1即-12<a<-1,最优解为B ,(此3，时1 )a=
2a
2
⑤若- 1a>1,即-1<a<0,最优解为B(3，12, )
z＝3 1 a＝16,，不a符＝合14题意,舍去;
23
3
综上可知实数a的值为3或- 11.
3
,不符1合4 题意,舍去.
当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小
值为f(t)=t2-2t+2.
t2 1，t＜0，
综上可知,f(x)min= 1，0 t 1，
t2－2t 2，t＞1.
四 由运算、性质引起的分类讨论 【典例4】设{an}是无穷等差数列,公差为d,前n项和为Sn. (1)设a1=40,a6=38,求Sn的最大值; (2)设S9=0,且a2+a3+a4+a5=-18,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)ex,
①当a=0时,f′(x)=ex(x+1),当x>-1时,f′(x)>0,当x<-1时,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),单调减区间为(-∞,-1).
②当a>0时,f′(x)=a(x+1) (x aex1,)则方程f′(x)=0有两根-1,- , a 1
(1)当m=- 1 时,若函数g(x)=f(x)+(a-1)ln x恰有一个零点,求a的取值范围;
2
(2)当x>1时,f(x)<(1-m)x2恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)函数g(x)的定义域为(0,+∞).
当m=-1 时,g(x)=aln x+x2,
2
所以g′(x)= a 2x 2x2 a .
③当a<0时,令g′(x)=0,解得x= a.
2
当0<x< a 时, g′(x)<0,
2
所以g(x)在 (0，上a )单调递减;
2
当x> a 时,g′(x)>0,
2
所以g(x)在 ( a，上 单) 调递增.
2
要使函数g(x)有一个零点,
则 g( a ) aln=0a,即 aa=-2e.
2
单调减区间为(-∞,-1).
(2)函数f(x)≤ex(ax2+2x)+1恒成立转化为a≤x+1 在R上恒成立.
ex
令h(x)=x+1 ,则h′(x)=
ex
exe,－易x 1知h(x)在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为
减函数.
所以h(x)min=h(0)=1,则a≤1. 又依题设知a≥0,故实数a的取值范围为[0,1].
22
综上所述,若函数g(x)恰有一个零点,则a=-2e或a>0.
(2)令h(x)=f(x)-(1-m)x2=mx2-(2m+1)x+ln x,根据题意,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0
恒成立.
又h′(x)=2mx-(2m+1)+1 （x 1）（2mx 1）.
x
x
①若0<m1< ,则x∈(1 m， 时) ,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在
1 4k2
化简得:2m2=1+4k2,所以m12≥ .
2
Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2+1-m2)=16m2>0.设T(x3,xy13),x则2 ＝x3－=2k，
2
m
y3=kx3+m21m=
.所以|OT|2x=32
y32＝
4k 2 m2
1 4m2
＝2－
3 4m2
［ 1 ，2）， 2