考点23数列的综合应用高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．

考向一 等差、等比数列的综合应用

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系，

（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；

（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．

典例1 已知数列{}n a 的各项均为整数，82a =-，134a =，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则15a = A ．8

B ．16

C ．64

D ．128

【答案】B

【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，

由()2

2

12

131124423d a a a d

-+===-+，解得1d =或34d =，又数列{}n

a 的各项均为整数，故1d =，所以1312

2a q a ==，所以111012213

n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，，，故4

15216a ==.

故选B ．

【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值. 典例2 已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. （1）设2n a

n b =，求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）求{}n n a b +的前n 项和.

【答案】（1）见解析；（2）

()323114

22

77

n n n +++⋅-.

（2）因为{}n a 的前n 项和为

()()1312

2

n n a a n n ++=

，

{}n b 的前n 项和为31332142214

211877n n n b b q q -+--⋅==⋅---，

故{}n n a b +的前n 项和为

()32311422

77

n n n +++⋅-. 【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设{}n a 的公差为d ，由题意求得3d =，即可求得数列的通项公式，进而得到数列{}n b 的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得{}n a 的前n 项和和{}n b 的前n 项和，即可得到数列{}n n a b +的前n 项和.

1．已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11243,a b b a ===，且1413,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n

n n

a c

b =

，求数列{}n c 的前n 项和n S . 考向二 数列与函数、不等式等的综合应用

1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．

解决数列与函数综合问题的注意点：

（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．

（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．

（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； （3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．

在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式． 典例3 已知数列满足

=

．

（1）求证：数列是等比数列;

（2）若恒成立,求实数的取值范围． （2）由（1）知，所以， 令，则=

， 所以当时,

,故

为减函数.

而

，因为

恒成立, 所以

. 所以实数的取值范围为．

典例4 已知函数

满足

且

.

（1）当*n ∈N 时，求的表达式； （2）设

，

，求证：

…

；

（3）设()()

()

19n f n b n f n +=-，

，为

的前项和，当最大时，求的值. 【解析】（1）令，得，

∴

，即

()()11

2

f n f n +=，∴

.

（3）由（1）可得，

∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列， ∴当时，；当

时，

；当

时，

.

故当

或

时，取得最大值，为871

48()1822

⨯⨯+

⨯-=. 2．已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，212b a a =+，3326a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；