高中数学一对一讲义——集合知识分享

高中数学一对一讲义

——集合

晨光高中数学一对一讲义——《集合》

熊老师

一、本章复习建议：

解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里. 二、知识回顾：

基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算.

元素与集合、集合与集合的关系； 集合的文氏图、数轴法表示的应用.

{|,}{|}{,}

A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉I U U 交：且并：或补：且C 主要性质和运算律 包含关系：

,,,,

,;,;,.

U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C

等价关系：U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=I U U C 集合的运算律：(注意结合“文氏图”)

交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I ==

结合律:

()();()(B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I

求补律：A ∩ U A=φ A ∪ U A=U U U=φ U φ=U U ( U A)=A 反演律： U (A ∩B)= ( U A)∪( U B) U (A ∪B)= ( U A)∩( U B) 有限集的元素个数

定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）

(1)()()()()(2)()()()()

()()()()

card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+U I U U I I I I I

(3) card( U A)= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为n 2；

(ⅱ)A 的真子集个数为12-n ；

(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n .

（5）设有限集合A 、B 、C ， card(A)=n ，card(B)=m,m

n -2；

(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m

n ； (ⅲ) 若A C B ⊆⊂,则C 的个数为12

--m

n ；

(ⅳ) 若A C B ⊂⊂,则C 的个数为22--m n .

不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若

,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相

乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b

c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n

a b >

>

4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。如

对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2

2；

③2

2,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 11,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b

c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较2

1

log log 21+t t a

a 和的大小 （2）设2a >，1

2

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如

（1）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （2）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______ (3)常用不等式有：（1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222

a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；

（3）若0,0a b m >>>，则b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如

如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：

211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--

=<<=简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每

一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。 （2

）不等式(0x -≥的解集是____ （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______

（4）要使满足关于x 的不等式0922

<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2

5123

x

x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

02

>-+x b

ax 的解集为