高中数学一对一讲义——集合知识分享

高中数学一对一讲义
——集合
晨光高中数学一对一讲义——《集合》
熊老师
一、本章复习建议：
解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里. 二、知识回顾：
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算.
元素与集合、集合与集合的关系； 集合的文氏图、数轴法表示的应用.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉I U U 交：且并：或补：且C 主要性质和运算律 包含关系：
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C
等价关系：U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=I U U C 集合的运算律：(注意结合“文氏图”)
交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I ==
结合律:
()();()(B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I
求补律：A ∩ U A=φ A ∪ U A=U U U=φ U φ=U U ( U A)=A 反演律： U (A ∩B)= ( U A)∪( U B) U (A ∪B)= ( U A)∩( U B) 有限集的元素个数
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）
(1)()()()()(2)()()()()
()()()()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+U I U U I I I I I
(3) card( U A)= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为n 2；
(ⅱ)A 的真子集个数为12-n ；
(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n .
（5）设有限集合A 、B 、C ， card(A)=n ，card(B)=m,m<n,则 (ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m
n -2；
(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m
n ； (ⅲ) 若A C B ⊆⊂,则C 的个数为12
--m
n ；
(ⅳ) 若A C B ⊂⊂,则C 的个数为22--m n .
不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若
,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相
乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则
a b
c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n
a b >
>
4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11
a b
>。

如
对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2
2；
③2
2,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 11,0<<<则若；
⑤b
a
a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；
⑦b
c b a c a b a c ->
->>>则若,0； ⑧11
,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______ 不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较2
1
log log 21+t t a
a 和的大小 （2）设2a >，1
2
p a a =+
-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如
（1）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （2）正数,x y 满足21x y +=，则
y
x 1
1+的最小值为______ (3)常用不等式有：（1
2211
a b a b
+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m
+<+（糖水的浓度问题）。

如
如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________
证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

).
常用的放缩技巧有：
211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--
=<<=简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每
一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如
（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（2
）不等式(0x -≥的解集是____ （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______
（4）要使满足关于x 的不等式0922
<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.
分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如
（1）解不等式
2
5123
x
x x -<--- （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式
02
>-+x b
ax 的解集为
绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2
1|2|432|+-≥-
x x （2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +-> （4）两边平方：如
若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如
（1）若2
log 13
a <，则a 的取值范围是__________（2）解不等式
2()1ax x a R ax >∈- 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的
端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式
02
>+-b
ax x 的解集为__________ 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如（1）设实数,x y 满足2
2
(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______ （2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____ （3）若不等式)1(122
->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____
（4）若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____
（5）若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；
若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____ 3). 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .
三、考点典型分析
【1】集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要. 遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。

集合的辨别:注意数集与点集的区别
例1： 已知{}
|1A x y ==，{}2|1B y y x ==+，则=B A I .
评注：虽然集合A 、B 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它
们之间可进行运算，集合B A I 元素的一般符号用x 或y 都可以. 例2：已知{}
2(,)|1A x y y x ==+，{}
2|1B y y x ==+，则=B A I .
解析：集合A 中的元素为点（x,y ）,而集合B 中的元素为y ，表示一个数. 它们之间可进行不能运算，所以=B A I φ
例3：（1）已知A={(x ，y)|x+y=1，x ∈R}，B={(x ，y)|2x-y=2，x ∈R}， 则A ∩B=______；
（2）已知A={y|y=x 2-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2
，x ∈R}， 则A ∩B=________．
【2】判断元素与集合、集合与集合关系题
注意符号“∈”、“∉”与“⊆”、“Þ”各自的用法．
“∈”与“∉”只能用于元素与集合之间；符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；而“⊆”与“Þ”是用在两个集合之间．符号“⊆”用在两集合间表示包含关系如
1∈{1，2}；3∉{1，2}；{1}⊆{1，2}；{a}⊆{a ，b}等等．
判断策略：
1、具体化：对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻长解题方法．
例4设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，，则（ ）
Ａ．M N =
Ｂ．M N Ü
Ｃ．M N Ý
Ｄ．M N ≠∅I
2、图示法：数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，借助数
轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等运算，用Venn 图描述，比单纯用数学语言要形象直观．
例5已知M={x|x >1}，N={x|x >a}且M ⊆N ，则（ ）
（A ）a ≤1 （B ）a <1 （C ）a ≥1 （D ）a >1
【3】有关集合运算题:设全集为U ，已知集合A 、B 则
,|{A x x B A ∈=I 且}B x ∈,即求公共元素构成的集合
,|{A x x B A ∈=Y 或}B x ∈，即两集合中的元素并在一起，相同元素只写一次 ,|{U x x A C U ∈=且}A x ∈.即全集中的元素去掉A 中的元素。

注意：有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
例6：集,{|U R A x x ==≤2}，{|1}B x x =>-. (1)求A B I 及A B U ；(2)求
()A B I 及()A B U .
例7：{}
{}2U=2,3,23,|21|,2,a a A a +-=-{}5=
A C U ,求实数a 的值.
例8已知全集U = {x | x 取不大于20的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且A I (C U B)={3，5}，(C U A)I B ={7，19}，(C U A)I (C U B) ={2，17}，求集合A 、B ．
元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn 图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn 图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题． 【4】已知集合关系，求字母参数的范围
例9、知集合{}
22342M a a =++，，，{}
207422N a a a =+--，，，，且
{}37M N =I ，，求实数a 的值．
例10：{}{}|22,|23x a x a B x x A =-<<+=-<<,若A B A =I ,求实数a 的取值范围.
评注：1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点，我们看到取等号时，集合B A 与集合是相等的，此时满足A B ⊆.若把条件A B A =I 改为B A ?呢？显然就取不到等号了. 2.将A B A =I 转化为A B ⊆，以数轴直观地表达出了两集合的包含关系．
例11：已知集合A ＝{x ∣x ≥４，或x ＜－５}，Ｂ＝｛x ∣a ＋１≤x ≤a ＋３｝， 若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．
评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
例12、设集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
例13：已知A={x|x 2
-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．
注意“∅”的特殊性．“∅”是不含任何元素的集合．但它在集合大家庭中的地位却不可小视， ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
1、∅只有唯一的一个子集（即它本身），而无真子集；
2、任何一个集合与∅作交集运算都等于∅；任何一个集合A 与∅作并集运算都等于A .遇到A B =∅I 时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？
例14：知集合 A = { m ，m
n ，1}，集合 B = {m 2
，m + n ，0}，若A = B ，求实数m 、n 的值．
基础训练
1．集合{
}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 （ ）
A ．32
B ．31
C ．16
D ．15
2．如果集合A={x |ax 2
＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是
（ ）
A ．0
B ．0 或1
C ．1
D ．不能确定
3．设集合{}
32|≤=x x M ，b a +=11,其中()1,0∈b ，则下列关系中正确的是（ ）
A ．a ≠
⊂M
B ．M a ∉
C ．{}M a ∈
D ．{}a ≠
⊂M
4．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠
⊂B ，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．[)+∞,2
B ．(]1,∞-
C ．[)+∞,1
D ．(]2,∞-
5．满足{1，2，3} ≠⊂M ≠
⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是
（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
6．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I = （ ）
A ．{0}
B ．{0，1}
C ．{0，1，4}
D ．{0，1，2，3，4}
7．集合A={a 2
，a ＋1，-1}，B={2a －1，| a －2 |， 3a 2
＋4}，A ∩B={-1}，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．0 或1 C ．2 D ．0 8．已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于
（ ）
A ．(1，2)
B ．{1}∪{2}
C ．{1，2}
D ．{(1，2)}
9．设集合A={x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B={x |x ∈Z 且|x |≤5 }，则A ∪B 中元素的个数为 （ ） A ．11
B ．10
C ．16
D ．15
10．已知全集I ＝N ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x |x ＝4n ，n ∈N}，则 （ ）
A ．I ＝A ∪B
B ．I ＝A
C I ∪B C ．I ＝A ∪B C I
D ．I ＝A C I ∪B C I
11．设集合M=},2
1
4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则 （ ）
A ．M =N
B ．N M ⊂
C ．N M ⊃
D ．M ∩=N Φ
12．集合A={x |x =2n ＋1，n ∈Z}， B={y |y =4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为
（ ）
A ．A ≠
⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A ≠B
19、若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有
（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A 20.设集合{
}
2
0M x x x =-<，{}
2N x x =<，则
A ．M N =∅I
B ．M N M =I
C ．M N M =U
D ．M N R =U 二、填空题：
23．设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|1
2
--x y =3}，则C U A = . 24．集合M={a |
a
-56
∈N ，且a ∈Z}，用列举法表示集合M=_____ ___． 25．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T/S 的值
为 .
26．设A={x |x 2
＋x －6=0}，B={x |mx ＋1=0}，且A ∪B=A ，则m 的取值范围是 .
三、解答题
31．已知集合A={}52≤≤-x x ，{}
121-≤≤+=m x m x B ，且A B A =Y ，求实数m 的取值
范围。

33．已知集合A={}xy y x y x ,,+-，B={}
0,,2
2
2
2
y x y x -+，A=B ，求x ，y 的值。

34．已知集使A={}
0)1()1(222>++++-a a y a a y y ，B=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-=
30,25
212x x x y y ， A ∩B=φ，求实数a 的取值范围.。