高中数学一对一讲义——集合知识分享

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高中数学一对一讲义
——集合
晨光高中数学一对一讲义——《集合》
熊老师
一、本章复习建议:
解不等式是高中数学的主要工具之一,建议将 “不等式”拆开,把不等式的解法安排集合里. 二、知识回顾:
基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算.
元素与集合、集合与集合的关系; 集合的文氏图、数轴法表示的应用.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉I U U 交:且并:或补:且C 主要性质和运算律 包含关系:
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇I I U U C
等价关系:U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=I U U C 集合的运算律:(注意结合“文氏图”)
交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I ==
结合律:
()();()(B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I
求补律:A ∩ U A=φ A ∪ U A=U U U=φ U φ=U U ( U A)=A 反演律: U (A ∩B)= ( U A)∪( U B) U (A ∪B)= ( U A)∩( U B) 有限集的元素个数
定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式:(1、2、3、5了解;4要记住)
(1)()()()()(2)()()()()
()()()()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+U I U U I I I I I
(3) card( U A)= card(U)- card(A) (4)设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为n 2;
(ⅱ)A 的真子集个数为12-n ;
(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ;(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n .
(5)设有限集合A 、B 、C , card(A)=n ,card(B)=m,m<n,则 (ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m
n -2;
(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m
n ; (ⅲ) 若A C B ⊆⊂,则C 的个数为12
--m
n ;
(ⅳ) 若A C B ⊂⊂,则C 的个数为22--m n .
不等式的性质:
1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若
,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相
乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则
a b
c d >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n
a b >
>
4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11
a b
>。


对于实数c b a ,,中,给出下列命题:
①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,2
2;
③2
2,0b ab a b a >><<则若; ④b
a b a 11,0<<<则若;
⑤b
a
a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;
⑦b
c b a c a b a c ->
->>>则若,0; ⑧11
,a b a b >>若,则0,0a b ><。

其中正确的命题是______ 不等式大小比较的常用方法:
1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法;
5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ;
8.图象法。

其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。

如 (1)设0,10>≠>t a a 且,比较2
1
log log 21+t t a
a 和的大小 (2)设2a >,1
2
p a a =+
-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。


(1)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (2)正数,x y 满足21x y +=,则
y
x 1
1+的最小值为______ (3)常用不等式有:(1
2211
a b a b
+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ;(2)a 、b 、c ∈R ,222
a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号);
(3)若0,0a b m >>>,则b b m
a a m
+<+(糖水的浓度问题)。


如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________
证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。

).
常用的放缩技巧有:
211111111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++--
=<<=简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每
一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。


(1)解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

(2
)不等式(0x -≥的解集是____ (3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为∅,则不等式()()0f x g x >g 的解集为______
(4)要使满足关于x 的不等式0922
<+-a x x (解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个,则实数a 的取值范围是______.
分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。

解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。


(1)解不等式
2
5123
x
x x -<--- (2)关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞,则关于x 的不等式
02
>-+x b
ax 的解集为
绝对值不等式的解法:
1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如解不等式|2
1|2|432|+-≥-
x x (2)利用绝对值的定义;
(3)数形结合;如解不等式|||1|3x x +-> (4)两边平方:如
若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围为______。

含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”。

注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. 如
(1)若2
log 13
a <,则a 的取值范围是__________(2)解不等式
2()1ax x a R ax >∈- 提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;(2)不等式解集的
端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞,则不等式
02
>+-b
ax x 的解集为__________ 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) 1).恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如(1)设实数,x y 满足2
2
(1)1x y +-=,当0x y c ++≥时,c 的取值范围是______ (2)不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围_____ (3)若不等式)1(122
->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立,则x 的取值范围_____
(4)若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是_____
(5)若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立,求m 的取值范围. 2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >;
若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范围____ 3). 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ; 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .
三、考点典型分析
【1】集合是元素的总体,所以认识集合的关键是先认清元素,特别是用描述法表示的集合,这一点尤为重要. 遇到集合问题,首先要弄清:集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。

集合的辨别:注意数集与点集的区别
例1: 已知{}
|1A x y ==,{}2|1B y y x ==+,则=B A I .
评注:虽然集合A 、B 元素的一般符号不同,但它们的本质是相同的,即都是数集,所以它
们之间可进行运算,集合B A I 元素的一般符号用x 或y 都可以. 例2:已知{}
2(,)|1A x y y x ==+,{}
2|1B y y x ==+,则=B A I .
解析:集合A 中的元素为点(x,y ),而集合B 中的元素为y ,表示一个数. 它们之间可进行不能运算,所以=B A I φ
例3:(1)已知A={(x ,y)|x+y=1,x ∈R},B={(x ,y)|2x-y=2,x ∈R}, 则A ∩B=______;
(2)已知A={y|y=x 2-1,x ∈R},B={y|y=7-x 2
,x ∈R}, 则A ∩B=________.
【2】判断元素与集合、集合与集合关系题
注意符号“∈”、“∉”与“⊆”、“Þ”各自的用法.
“∈”与“∉”只能用于元素与集合之间;符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系;而“⊆”与“Þ”是用在两个集合之间.符号“⊆”用在两集合间表示包含关系如
1∈{1,2};3∉{1,2};{1}⊆{1,2};{a}⊆{a ,b}等等.
判断策略:
1、具体化:对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合,可以将集合中的元素一一列举出来,使之具体化,然后从中寻长解题方法.
例4设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,,1|42k N x x k ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
Z ,,则( )
A.M N =
B.M N Ü
C.M N Ý
D.M N ≠∅I
2、图示法:数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义,如在进行有些集合的运算时,借助数
轴示意图表示集合与集合的关系,既易于理解,又能提高解题效率;又如对于集合的交、并、补等运算,用Venn 图描述,比单纯用数学语言要形象直观.
例5已知M={x|x >1},N={x|x >a}且M ⊆N ,则( )
(A )a ≤1 (B )a <1 (C )a ≥1 (D )a >1
【3】有关集合运算题:设全集为U ,已知集合A 、B 则
,|{A x x B A ∈=I 且}B x ∈,即求公共元素构成的集合
,|{A x x B A ∈=Y 或}B x ∈,即两集合中的元素并在一起,相同元素只写一次 ,|{U x x A C U ∈=且}A x ∈.即全集中的元素去掉A 中的元素。

注意:有的集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象,采用数形结合思想方法,往往可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.
例6:集,{|U R A x x ==≤2},{|1}B x x =>-. (1)求A B I 及A B U ;(2)求
()A B I 及()A B U .
例7:{}
{}2U=2,3,23,|21|,2,a a A a +-=-{}5=
A C U ,求实数a 的值.
例8已知全集U = {x | x 取不大于20的质数},A 、B 是U 的两个子集,且A I (C U B)={3,5},(C U A)I B ={7,19},(C U A)I (C U B) ={2,17},求集合A 、B .
元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系,一般都能通过Venn 图形象表达,再加上由于题设条件比较抽象,也应借助于Venn 图寻找解题思路,这样做有助于直观地分析问题、解决问题. 【4】已知集合关系,求字母参数的范围
例9、知集合{}
22342M a a =++,,,{}
207422N a a a =+--,,,,且
{}37M N =I ,,求实数a 的值.
例10:{}{}|22,|23x a x a B x x A =-<<+=-<<,若A B A =I ,求实数a 的取值范围.
评注:1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点,我们看到取等号时,集合B A 与集合是相等的,此时满足A B ⊆.若把条件A B A =I 改为B A ?呢?显然就取不到等号了. 2.将A B A =I 转化为A B ⊆,以数轴直观地表达出了两集合的包含关系.
例11:已知集合A ={x ∣x ≥4,或x <-5},B={x ∣a +1≤x ≤a +3}, 若A∪B=A,求a 得取值范围.
评注:在求集合中字母取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误.
例12、设集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.
例13:已知A={x|x 2
-3x+2=0},B={x|ax-2=0},并且A ∪B=A ,求实数a 组成的集合C .
注意“∅”的特殊性.“∅”是不含任何元素的集合.但它在集合大家庭中的地位却不可小视, ∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
1、∅只有唯一的一个子集(即它本身),而无真子集;
2、任何一个集合与∅作交集运算都等于∅;任何一个集合A 与∅作并集运算都等于A .遇到A B =∅I 时,你是否注意到“极端”情况:A =∅或B =∅;同样当A B ⊆时,你是否忘记∅=A 的情形?
例14:知集合 A = { m ,m
n ,1},集合 B = {m 2
,m + n ,0},若A = B ,求实数m 、n 的值.
基础训练
1.集合{
}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 ( )
A .32
B .31
C .16
D .15
2.如果集合A={x |ax 2
+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是
( )
A .0
B .0 或1
C .1
D .不能确定
3.设集合{}
32|≤=x x M ,b a +=11,其中()1,0∈b ,则下列关系中正确的是( )
A .a ≠
⊂M
B .M a ∉
C .{}M a ∈
D .{}a ≠
⊂M
4.设集合A={x |1<x <2},B={x |x <a }满足A ≠
⊂B ,则实数a 的取值范围是 ( )
A .[)+∞,2
B .(]1,∞-
C .[)+∞,1
D .(]2,∞-
5.满足{1,2,3} ≠⊂M ≠
⊂{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是
( )
A .8
B .7
C .6
D .5
6.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A C I ∪B C I = ( )
A .{0}
B .{0,1}
C .{0,1,4}
D .{0,1,2,3,4}
7.集合A={a 2
,a +1,-1},B={2a -1,| a -2 |, 3a 2
+4},A ∩B={-1},则a 的值是( ) A .-1 B .0 或1 C .2 D .0 8.已知集合M={(x ,y )|4x +y =6},P={(x ,y )|3x +2y =7},则M ∩P 等于
( )
A .(1,2)
B .{1}∪{2}
C .{1,2}
D .{(1,2)}
9.设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x |x ∈Z 且|x |≤5 },则A ∪B 中元素的个数为 ( ) A .11
B .10
C .16
D .15
10.已知全集I =N ,集合A ={x |x =2n ,n ∈N},B ={x |x =4n ,n ∈N},则 ( )
A .I =A ∪B
B .I =A
C I ∪B C .I =A ∪B C I
D .I =A C I ∪B C I
11.设集合M=},2
1
4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则 ( )
A .M =N
B .N M ⊂
C .N M ⊃
D .M ∩=N Φ
12.集合A={x |x =2n +1,n ∈Z}, B={y |y =4k ±1,k ∈Z},则A 与B 的关系为
( )
A .A ≠
⊂B B .A ≠⊃B C .A=B D .A ≠B
19、若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ⋂=⋃,则一定有
(A )C A ⊆ (B )A C ⊆ (C )C A ≠ (D )φ=A 20.设集合{
}
2
0M x x x =-<,{}
2N x x =<,则
A .M N =∅I
B .M N M =I
C .M N M =U
D .M N R =U 二、填空题:
23.设集合U ={(x ,y )|y =3x -1},A ={(x ,y )|1
2
--x y =3},则C U A = . 24.集合M={a |
a
-56
∈N ,且a ∈Z},用列举法表示集合M=_____ ___. 25.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ,其中由3个元素组成的子集数为T ,则T/S 的值
为 .
26.设A={x |x 2
+x -6=0},B={x |mx +1=0},且A ∪B=A ,则m 的取值范围是 .
三、解答题
31.已知集合A={}52≤≤-x x ,{}
121-≤≤+=m x m x B ,且A B A =Y ,求实数m 的取值
范围。

33.已知集合A={}xy y x y x ,,+-,B={}
0,,2
2
2
2
y x y x -+,A=B ,求x ,y 的值。

34.已知集使A={}
0)1()1(222>++++-a a y a a y y ,B=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-=
30,25
212x x x y y , A ∩B=φ,求实数a 的取值范围.。

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