第八章 参数估计习题

第八章 参数估计习题

一、 填空题

1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2,σμ都是

未知的，则μ的矩估计量为 。2

σ的矩估计量

为 。

2．设总体),(~2σμN X ，其中2

σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一

个样本，做样本函数如下①∑=-n

i i X n 1

2)(1μ，②

21

])([∑=-n

i i

X

σμ，③

∑=-n i i X X n 12)(1，④∑=--n i i

X X n 12

)(11，⑤∑=+--n

i i i X X n 121)()

1(21，这些样本函数中，是统计量的有 。

3.假设随机变量)1,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，如果关于置信度是0.95的μ 的置信区间是（9.02，10.98），则样本容量______=n

4．设某总体X 的密度函数为⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其他

,00,

)(2

);(2

ααααx x x f ，对容量为n 的样

本，参数α的矩估计量为 。

5.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，

则置信度是0.99的μ的置信区间是

6.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是

。 7.设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量

为 。

二、选择题

1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2)(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。

（A ）X =1ˆμ

是μ的无偏估计； （B ）12ˆX =μ是μ的无偏估计； （C ）21ˆˆμμ

比有效； （C ）21

)(1∑=-n

i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

2 在区间估计中αθθθ-=<<1)ˆˆ(2

1P 的正确含义是[ ] (A)θ以α-1的概率落在区间)ˆ,ˆ(2

1θθ内； (B)θ落在区间)ˆ,ˆ(21θθ以外的概率为α； (C)θ不落在区间)ˆ,ˆ(21θθ以外的概率为α； (D)随机区间)ˆ,ˆ(2

1θθ包含θ的概率为α-1。 3．设n X X X ,,,21 独立同分布，2

)(σ

=x D ，∑==n

i i X n X 1

1，

∑=--=n

i i X X n S 1

22

)(11，则[ ] (A) S 是2

σ的无偏估计； (B) S 是σ的极大似然估计；

(C) S 是σ的相合(一致)估计； (D) 2

S 与X 相互独立。

4. 假设总体X 的期望值μ的置信度是0.95，置信区间上、下限分别为样本函数

),,,(21n X X X b 与),,,(21n X X X a ，则该区间的意义是[ ]

(A) 95.0)(=<

(C) 95.0)(=<

5.假设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，则未知参数θ的极大似然估计量θˆ为[ ]

(A) X 2ˆ=θ (B) ),,,max(21n X X X =θ (C)),,,min(21n X X X =θ (D) X θ

ˆ不存在 三、计算题

1．总体的分布函数为

)0;,1,0(!

);(+∞<<==

-θθθθ

x x e x f x

用矩估计量及极大似然法求θ的估计量θˆ（设样本容量为n ）。

2．设某总体X 的密度函数为⎪⎩

⎪⎨⎧>≥=-其他

,00,0,

1);(θθ

θϕθx e x x

，求

(1) θ的极大似然估计量θˆ； (2) 判断θˆ是否为θ的无偏估计；

3．设某车间生产的螺杆直径服从正态分布),(2σμN ，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3 , 21.5 , 22.0 , 21.8 , 21.4 (单位：mm)，求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间，其中总体标准差0.3。若σ未知，则置信区间又如何？

4．设总体为),(2

σμN ，3=σ。如果要求μ的置信度α-1置信区间的长度不超过

2，如取水平01.01.0或=α，那么需要抽取的样本容量n 应该分别是多少？ 5．一批产品中含有废品，从中随机得抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率。

四、证明题

1． 设θˆ是参数θ的无偏估计，且有0)ˆ(>θ

D ，试证2

ˆθ不是2

θ的无偏估计。 2． 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的一个样本，其中μ已知，试证

∑=-=n

i i X n 1

22

)(1ˆμσ

是2σ的无偏估计和相合估计。 五 附加题

假设随机变量)8.2,(~2μN X ，现有X 的十个观察值的一个样本，已知1500=x ， （1） 求μ的置信度是0.95的置信区间

（2） 要想使0.95的置信区间长度小于1，观察值个数n 最少应为多少

（3） 如果样本容量n =100，那么区间)1,1(+-x x 作为μ的置信区间，其置信度

是多少