同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

的区间上满足柯西中值定理的条件,得
′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) − Rn ( x0 ) = n ( n + 1)(ξ1 − x0 ) ( n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′ Rn′(ξ 2 ) = n( n + 1)(ξ 2 − x0 )n−1 (ξ 2在x0与ξ1之间)
−6
e 1 1 e = 1+1+ +L+ + (0 < θ < 1) n ! (n + 1) ! 2! 由于 0 < eθ < e < 3 , 欲使 3 < < 10−6 Rn (1) (n + 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e ≈ 1 + 1 + + L + = 2.718281 2! 9!
x
代入公式,得
x n+1
x x eθ e = 1+ x + +L+ + x 2! n! ( n + 1)!
2 n
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10 . 解: 已知 e x 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x eθ x x n +1 e =1 + x + + +L + + 2 ! 3! n ! (n + 1) ! (0 < θ < 1) 令x=1,得 θ
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
(0 < θ < 1) f ( n + 1) (θx ) n + 1 x 则余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
四、简单的应用
其中 R2 m ( x) =
sin() m x + 2θ +xπ ) 2 m+1 θ cos(m 1 ) (−1 2 (0 < θ < 1) x (2m + 1) !
(3) f ( x) = cos x
类似可得
x2 x4 x 2m cos x = 1 − + L + (−1) m + R2 m+1 ( x) + 2! 4! ( 2 m) !
(k = 1, 2 ,L) f ( k ) (0) = α (α − 1)L(α − k + 1) α (α − 1) 2 ∴ (1 + x)α = 1 + α x + x +L 2! α (α − 1)L(α − n + 1) n + x + Rn ( x) n!
其中 Rn ( x) =
α (α − 1)L(α − n)
证明: 由假设, Rn ( x ) 在 ( a , b ) 内具有直到 ( n + 1) 阶
导数,且
( ′ ′ R n ( x 0 ) = R n ( x 0 ) = R n′( x 0 ) = L = R nn ) ( x 0 ) = 0
两函数 Rn ( x ) 及 ( x − x0 ) n + 1 在以 x0 及 x 为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得
一、问题的提出
1.设 f ( x ) 在 x0 处连续,则有
f ( x ) ≈ f ( x0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + α ]
2.设 f ( x ) 在 x0 处可导,则有
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
例如, 当 x 很小时, e ≈ 1 + x , ln(1 + x ) ≈ x
x
（如下图）
y = ex
y = ex
y= x
y = ln( 1 + x )
y = 1+ x
o o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) ≈ P ( x )
f ′′( x 0 ) ( x − x0 )2 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) + 2! f ( n ) ( x0 ) n +L+ ( x − x 0 ) + Rn ( x ) n!
f ( n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1 (ξ 在 x 0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) = ( n + 1)!
f ′′( x0 ) Pn ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + L 2! f ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 ) n n!
代入 Pn ( x ) 中得
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间 ( a , b ) 内具有直到 ( n + 1) 阶的导数,则 当 x 在 ( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x − x 0 ) 的一个 n次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
如此下去,经过( n + 1) 次后,得
( Rn ( x ) Rnn+1) (ξ ) = n+1 (n + 1)! ( x − x0 )
(ξ在x0与ξ n之间 ,也在 x 0 与 x 之间)
Q P
( n+1 ) n
( x ) = 0,
( ∴ Rnn+1) ( x ) = f ( n+1) ( x )
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数 — 应用
第三章
理论分析 近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
Taylor公式
多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构 简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法 都不需要，这是其它函数所不具备的优点 。 用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实 用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理 先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限 手续再过渡到一般的函数。 “以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数
其中
x n +1 (−1) n Rn (x) = n + 1 (1 + θ x) n +1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x + L+ x 2! n! f ( n+1) (θx ) n+1 + x (0 < θ < 1) (n + 1)!
f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + x + L+ x n! 2! + O( x n )
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x 2 n+1 sin x = x − + − L + ( −1) n + o( x 2 n + 2 ) 3! 5! ( 2n + 1)! x2 x4 x6 x 2n cos x = 1 − + − + L + ( −1) n + o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
例1 求 f ( x ) = e x 的n 阶麦克劳林公式.
f ′( x ) = f ′′( x ) = L = f ( n ) ( x ) = e x , f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = L = f ( n ) (0) = 1
( n+1 )
解 Q
∴
注意到 f
x
(θx ) = e θ
(2) f ( x) = sin x
Q
( x) = sin( x + k ⋅ ) 2 k = 2m π ⎧ 0, (k ) (m = 1, 2 ,L) f (0) = sin k = ⎨ 2 ⎩ (−1) m−1 , k = 2m − 1 f
(k )
π
x3 x5 x 2 m −1 ∴ sin x = x − + − L + (−1) m−1 + R2 m ( x) 3! 5! (2m − 1) ! (n=2m或n=2m-1)
(n=2m+1或n=2m) 其中
(−1) cos(θ x) 2 m+ 2 R2 m +1 ( x) = x (2m + 2) !
m +1
(0 < θ < 1)
(4) f ( x) = (1 + x)α
Q
( x > −1)
f ( k ) ( x) = α (α − 1)L(α − k + 1)(1 + x)α −k
则由上式得
f ( n+1) (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间) (n + 1)!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) = ∑ ( x − x0 )k k =0 k! 称为 f ( x ) 按( x − x 0 )的幂展开的 n 次近似多项式
n
f ( k ) ( x0 ) f ( x) = ∑ ( x − x 0 ) k + Rn ( x ) k =0 k! 称为 f ( x ) 按( x − x 0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
o
x0
x
LL LL
假设
0
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a = f ( x ),
1 ⋅ a = f ′( x ),
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L , n!⋅a n = f ( n ) ( x 0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) ( k = 0,1,2,L , n ) k!
x x x ln(1 + x ) = x − + − L + ( −1) + o( x ) 2 3 n+1 1 = 1 + x + x 2 + L + x n + o( x n ) 1− x m ( m − 1) 2 m (1 + x ) = 1 + mx + x +L 2! m ( m − 1)L( m − n + 1) n x + o( x n ) + n!
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) = n +1 ( x − x0 ) ( x − x0 ) n + 1 − 0 ′ Rn (ξ1 ) = ( n + 1)(ξ1 − x0 )n (ξ在x0与x之间)
′ ( x ) 及 ( n + 1)( x − x 0 ) n 在以 x 0 及ξ 1 为端点 两函数 Rn
即 Rn ( x ) = o[( x − x0 )n ].
M ≤ ( x − x0 )n+1 (n &( x) = ∑
k =0
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] k!
注意:
1. 当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
误差 R( x ) = f ( x ) − P ( x ) 可估计
设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的开区间 ( a , b ) 内具有直到
( n + 1) 阶导数, P ( x ) 为多项式函数
Pn ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + L + an ( x − x0 )n
n
f ( n+1) (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f ( n + 1 ) (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 )n+1 (n + 1)! Rn ( x ) 及 lim =0 n x → x0 ( x − x ) 0
误差 Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x )
二、 Pn 和 Rn 的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
近 似 程 度 越 来 越 好
y
y = f ( x)
Pn ( x0 ) = f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn′( x0 ) = f ′( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn′′( x0 ) = f ′′( x0 )
(n + 1) !
(1 + θ x)α −n−1 x n+1 (0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1) k −1 ( k − 1) ! (k ) (k = 1, 2 ,L) 已知 f ( x) = (−1) k (1 + x) 类似可得 x 2 x3 xn n −1 ln(1 + x) = x − − L + (−1) + + Rn (x) 2 3 n