三种典型力学模型的分析

m1v1=m1v1'+m2v2'
2 1m1v1 2=2 1m1v1'2+2 1m2v2'2
此即弹性碰撞模型，则
v1'=
m m
1-m 1+m
2 2
v1
v2'=
m
2m 1 1+m
2
v1
例4：如图,弧形斜面质量为M,静止于光滑水平上，一质量
为m的小球以速度VO向左运动，小球最多能升高到离水平 面h处，求该系统产生的热量。
外力为零，即系统在运动过程中总动量守恒。
专题解说 原型：长为L、质量为M的小船停在静水
中，一个质量为m的人立在船头。若不计水的阻力，当人
从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，
水平方向上动量守恒，人走动过程中的每时每刻它们的总
动量都是零。设人的速度为v人，船的速度为v船，人经t秒
从船头到船尾，人相对岸的位移为s人，船相对岸的位移
移为h，设气球对地位移L，则根据推论有
h
ML=mh
得L
=
m MhΒιβλιοθήκη (M+m)h因此绳的长度至少为L+h=
M
地面
专题聚焦 例8.一个质量为M,底面边长为 b 的劈静
止在光滑的水平面上，见左图，有一质量为 m 的物块由 斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少？
m
θ
M
解：劈和小球组成的系统水平方向
S1
例6：如图,在光滑的水平上,依次有质量分别为m、2m、 3m、…10m的10个小球,排成一直线,彼此有一定的距离.开始 时,后面的9个小球是静止的,第一个小球以初速度VO向着第二 小球碰去,结果它们先后全部粘合在一起向前运动,由于连续地 碰撞,系统损失的机械能为多少？
解：把后面的9个小球看成一个整体，由
解：小球减少的动能转化为小球的重力
势能由和完产全生非的弹热性量碰，撞即模Δ型E知K=ΔQE+ Km=ghM
M +
m
所以Q=ΔEK－mgh=
E k0
M 2 (M
m +m
)v 02－mgh.
专题聚焦 例5:如图.质量为m的小车静止在光滑的水平
轨道上,长为L的细线一端固定在小车上,另一端拴一质量也为
m的小球.现给小球一初速度V,求其能上升的最大高度为多少? 解：当小球上升到最高点时,二者具有共同速 度,符合上述模型的条件.系统减少的动能 Δ ΔEEkK= 全m部车 m转+车 m 化球 为× 小2 1m 球球 的v2 重=力m势球 g能hΔ得EhP==m球4v g2gh,
专题聚焦 将已知量代入，并分别解上述不等式；
5＞ 7
m甲
km 甲
式得k＞7/5
A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲
由
10 ≥ 2
km 甲
m甲
式得k≤5
C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲
2 1 m甲 v 甲 2+2 1 k m甲 v 乙 2 2 1 m甲 v ' 甲 2+2 1 k m甲 v ' 乙 2式得k＞51/21
5 m甲
＞7
km 甲
①
由动量守恒定律可知，碰后甲的动量为2kg·m/s，又因碰
后则，同乙理的也速有度k大1m 0于甲 等≧于m 甲2 甲 的速度②，v/乙≧v/甲， 在碰撞的过程中，未说动能有无损失，这样可列出动能的
不等式为 2 1 m甲 v 甲 2+2 1 k m甲 v 乙 2 2 1 m甲 v ' 甲 2+2 1 k m甲 v ' 乙 2
即
Ms=m(R－s)
s= m R M +m
专题聚焦
例9.如图所示，宽为d、质量为M的正方形木静止在光滑水
平面上，一质量m的小球由静止开始沿“Z”字通道从一端
运动到另一端，求木块-和小球的对地位移.
解：把小球和木块看成一个系统,由于水平方 向所受合外力为零,则水平方向动量守恒.
A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲
专题聚焦 解析：从题中给出的选项看，m甲、m乙是
倍数关系，这样可用km甲来表示m乙， 设碰前甲、乙两球的速度为v甲、v乙， 碰后甲、乙两球的速度为v/甲、v/乙。
PA
PB
AB
因甲从后面追上乙发生碰撞，则在碰前甲的速度应大于乙
的速度，即v甲>v乙。 由已知m甲v甲=5，m乙v乙=7，则有
弹性碰撞特例：
遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即
m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2
m1、v1 m2、v2 m1、u1 m2、u2
遵从碰撞前后系统的总动能相等,即
½ m1υ12+½ m2υ22=½ m1u12+½ m1u22
由此可得碰后的速度
u1=m m1 1- +m m2 2v1+m21m+m2 2v2
移为多少？ R-s
解:滑块与圆环组成相互作用的 系统，水平方向动量守恒。虽均
做非匀速运动，但可以用平均动
R o
量的方法列出动量守恒表达式。
设题述过程所用时间为 t，圆环
s
的位移为s，则小滑块在水平方
向上对地的位移为（R-s），如图所示.
取圆环的运动方向为正，由动量守恒定律得
0=M s-m R-s
t
t
完全非弹性碰撞模Δ 型E ,有k=( ( 2 m m+ + 2 3 m m+ + + + 1 1 0 0 m m ) ) × 2 1 mv 0 2=2 7 5 m 5 v 0 2
专题聚焦 2．人船模型
例7:载人气球原来静止在空中，与地面距离 为h ，已知人的质量为m ，气球质量（不含 人的质量）为M。若人要沿轻绳梯返回地面， 则绳梯的长度至少为多长？ L 解：取人和气球为对象，系统开始静止且同 时开始运动，人下到地面时，人相对地的位
们 的 生 命 将 难以
第二轮能力专题:
三种典型力学模型 的分析
专题解说 三种模型及其概要
三种模型是指：碰撞模型、人船模型、子弹打木块模型
1．碰撞模型:
弹性 碰撞
碰撞过程中所产生的形变能够 完全恢复的
碰
撞 的 分 类
非弹 性碰 撞
完全
非弹
性碰
撞
碰撞过程中没有机械能损失的
碰撞过程中所产生的形变不能 够完全恢复的
u2=m2 1m +m12v1+m m12+-mm21v2
且碰撞前后,双方的相对速度大小相等,即u2－u1=v1－v2
专题解说 完全非弹性碰撞特例：
遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即
m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2
m1、v1 m2、v2
具备碰撞双方碰后的速度相等
的特征，即
u1
=u2
=m
1v1+m 2v2 m1+m 2
由此可知，只有选项C正确。
例2 如图所示．质量为m的滑块静止在光滑的水平桌面
上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小
球以速度v0向滑块飞来，设小球不会越过滑块，求滑块能 获得的最大速度？此后小球做什么运动?
Vo m m
专题聚焦 解析：小球m在滑块M上先上升再下落，
整个过程中M一直在加速，故M的最大速
对木块由动能定理：fs =
1
M
② v2
③
Sd
将②③相加可得 fd=2 1m2v0 2-2 1(M+m)v2
④
相互作用的力f与相时位移的大小d的乘积，等于子弹与木
块构成的系统的动能的减少量，亦即产生的内能。
专题解说
由①和④可得动能的损失值：Δ Ek=fd=MM+m× 2 1mv0 2 明故确打:当入构深成度系d统=Δ 的f E双k方=f相(M对M+运m) 动× 出2 1m现v往0 2 复的情况时,公式
《 善 待 环 境》 这 是 一 幅 极具讽 刺意味 的漫画 。画的 是在郁 郁葱葱 的森林 里 ， 一 位 工 人正在 挥舞着 斧头乱 砍滥伐 ，嘴里 叼着烟 ，肩上 那只啄 木鸟正 愤怒地 看 着 他 ， 嘴 里叨念 ：“这 段木头 里一定 有虫……” 到 底 是 木 头里有虫还是人的 脑 袋 里 有 虫 呢？虫 子到底 是什么 呢？一 定是人 的脑袋 里有虫 ，这些 人乱砍 滥伐， 破 坏 自 然 环 境，不 就是为 了一个 子“钱 ”吗？ “钱” 这只虫 子在他 们的脑 袋里安 居 乐业， 繁衍生 息，而 那些愚 蠢的人 们被虫 子控制 着，保 护环境 的意识 逐渐消 失， 他 们 脑 袋 里 只有钱 、钱、 钱，为 了钱他 们可以 放弃一 切。乱 砍滥伐 ，毁坏 森林， 丢 失 了 道 德 良知； 损坏公 共设施 ，失去 社会公 德。 这 让 我 想到 了生活 环境遭 到 了 许 多 破 坏。加 工厂将 污水排 放到清 澈的河 水中， 破坏了 鱼儿、 小虾的 生活家 园 ； 人 们 不 加节制 地开采 矿物资 源，使 山变得 光秃秃 的，既 破坏了 植被， 还导致 沙 尘 暴 天 气 增多， 影响了 我们的 生活环 境。这 些片面 追求钱 财的人 不就是 附着在 地 球 母 亲 身 上的蛆 虫吗？ 一味贪 婪的索 取，不 仅危及 现在的 人们， 还会影 响到子 孙 后 代 。 “ 但存方 寸地， 留于子 孙耕。 ”意味 着要为 子孙后 代着想 。现在 我们破 坏 了 自 然 环 境，资 源枯竭 ，我们 拿什么 给我们 的子孙 后代， 他们将 如何生 存？我
中的d应就理解为“相对路程”而不是“相对位移的大
小”.
专题聚焦 1．碰撞模型
PA
PB
AB
例1 甲、乙两球在光滑水平轨道上向同方向运动，已知
它们的动量分别是p甲=5kg·m/s，p乙=7 kg·m/s。甲从后 面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kg·m/s，
则两球质量m甲与m乙的关系可能是下面的哪几种？ （）
碰撞过程中机械能损失最大
m1、m2、u
△E=½m1υ12+½m2υ22―½m1u12―½m2u22
=½m1υ12+½m2υ22－
(m 1v1 + m 2 v 2 )2 2(m 1 + m 2 )
2．人船模型
“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人
和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合
M +m
L
s船
=
M
m +
m
L
专题解说 3．子弹打木块模型
原型:如图所示，一颗质量为m的子弹以速度v0射入静止 在光滑水平面上的木块M中且未穿出。设子弹与木块间的
摩擦为f。子弹打进深度d相对木块静止，此时木块前进位
移为s。 对系统，由动量守恒有：
mM
mv0=（M＋m）v
①
对子弹由动能定理有：
-fs+d=2 1mv2-2 1mv0 2
解析：m1与m2相距最近时m1的速度v1 为其最大速度，在以后的运动中，m1 先减速，m2先加速；
专题聚焦
当两者速度相等时，相距最远，此后m1 将 距继再续次减相速距，d时而，mm2将1减继速续结加束速，。而当m它2加们 速结束，此时m1与m2的速度v1/、v2/即为 所 运求 动。，…以…后m2将减速运动，而m1将加速
m
Vo m 率出现在m与M分离时刻，整个相互作用
的过程中系统动量守恒、机械能守恒。即
mv0=mv1+mv2
21mv02 =21mv12+21mv22
由方程可以看出，属于弹性碰撞
模型，故
v2
=
2m m +m
v0 =v0
V1=0,小球做自由落体运动
例3 如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为d。
m2的左边有一固定挡板。ml由图示位置静止释放，当m1与 m2相距最近时m1速度为v1，求在以后的运动过程中m1的最 小速度和m2的最大速度。
S2
b
不受外力，故水平方向动量守恒，且初始时两物均静止，
故由推论知ms1=Ms2,其中s1和s2是m和M对地的位移，由上 图很容易看出：s1=b-s2代入上式得，m(b-s2)=Ms2, 所以 s2=mb/(M+m)即为M发生的位移。
专题聚焦 拓展：如图所示，三个形状不同，但质量
均为M的小车停在光滑水平面上，小车上质量为m的滑块， 由静止开始从一端滑至另一端，求在此过程中，小车和滑 块对地的位移是多少？
碰撞过程中有机械能损失的
碰撞过程中所产生的形变完全 不能够恢复的
碰撞过程中机械能损失最多的
按形变 恢复情 况分
按机械 能损失 情况
专题解说 碰撞过程的力学特征：
经历的时间极短，所经历的时间在整个力学过程中可以忽
略；碰撞双方相互作用的内力往往是远大于外力，系统在
碰撞前后遵从总动量守恒定律，且碰撞前后能量不会增加
为s船. 由动量守恒定律得： mv人=Mv船
S人
S船
由于运动过程中任一时刻人，船速度
L
大小v人和v船均满足上述关系，
所以运动过程中，人、船平均速度大小，v 人 和 v 船 也应 满足相似的关系。即 m v人 = M v船
两边同乘以运动时间t，则m v人t=M v船t 即 ms人=Ms船
而
s人+s船=L，所以有：s人 = M
a
L
R
b
SM
=m M +m
L
Sm
=M M +m
L
SM
=m M +m
(2R )
SM
=m M +m
(b - a)
Sm
=M M +m
(2R )
Sm
=M M +m
(b - a)
专题聚焦 拓展:如图所示，质量为M，半径为R的光滑
圆环静止在光滑水平面上，有一质量为 m 的小滑块从与
环心O等高处开始无初速下滑到达最低点时，圆环发生的位