第5章投资组合
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P
多种证券组合有效集的推导
有效 集 F
E B
A
E(R1)
C
D
24
1. 风险证券组合的有效集
有效集定理 1）对每一水平的风险，该组合提供最大 的预期收益 2）对每一水平的预期收益，该组合提供 最小的风险 满足这两个条件的组合被称为有效集， 即图中AS段
25
2.无风险证券和风险证券构成投资组 合的有效集
虚拟投资组合可行集
Random Portfolios 0.5
0.45
0.4
期望收益率
0.35
0.3
0.25
0.2
0.5
0.6
0.7
0.8 0.9 标准差
1
1.1
1.2
22
多种证券组合的可行集的一般形状
由线到面
E(R)
A
最小方差 组合
·
B
C
D
23
二、有效集
又称有效边界， E(R 是可行集的子 ) 集。
18
最小方差投资组合
AB A B AB W 2 2 2 2 A B 2 AB A B A B 2 AB
A 2 B 2 B
AB A B AB W 2 2 2 2 A B 2 AB A B A B 2 AB
B 2 A 2 A
19百度文库
2. 多种证券组合的可行集
例题5-10
某投资人拟以宝钢股份、平安银行、五 粮液三只股票进行投资组合，试画出该 投资组合的可行集。
20
Random Portfolios
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.5
0.6
0.7
0.8 ???
0.9
1
1.1
1.2
21
37
效用函数，是描述风险偏好的工具 用U(X)表示，其中X是投资者追求的期 末财富（或收益）。
U(X)
风险厌恶型
X
风险中性型
风险偏好型
38
效用
效用数值是对资产排序的一种方法，对风险 厌恶者来说，预期收益高，效用数值越大； 波动性强的资产，其效用数值低。 用公式表述
U E(r ) 0.005A 2
30
期望 P
F 标准差
线段FP上的每一个点代表了不同的风险资产投资比例。
31
在A点的左边，即0<W<1，按无风险利 率贷出资金 在A点的右边，即W<0，按无风险利率 借入资金
32
E(RP) W﹤0,借入
E(RA)
CAL
0﹤W﹤1 贷出
E(RA)- Rf
Rf
33
一种无风险证券和多种风险证券组合的有效集的 一般形状 CAL(M) E(R)
U为效用值；A为投资者风险厌恶指数（一般 在2-4之间）；系数0.005是一个按比例计算 的方法，使得在计算中按百分比而不是按小 数来表示预期收益率与标准差。
39
二、无差异曲线 无差异曲线：在均值标准差图表中，将效用值相等的 所有资产点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无 差异曲线。
E(r)
40
无差异曲线的特征： 1、斜率是正的，高风险必须对应高的预 期收益率 2、曲线是下凸的，要使投资者多冒等量 的风险，给予他的补偿即预期收益率应 越来越高。边际效用递减规律。 3、同一投资者有无限多条无差异曲线， 且任何两条无差异曲线不能相交
无风险证券的作用： 1）无风险证券的收益率是市场的基准利 率 2）无风险证券的收益率标准差为零，与 任何其他证券的相关系数为零，协方差 为零。
26
例：某风险资产的期望值为15%，标准 差为22%，无风险收益率为7%，则风 险资产的风险溢价为8%。现在要确定 投资于无风险资产的比例W,及风险资 产的投资比例1-W
M
CAL(T)
T
Rf
34
存在无数条资本配置线，要寻找最优资 产配置线。 资产配置线与有效边界相切时，斜率最 大，此时为最优资产配置线。 切点M为最优风险资产组合。
35
引入无风险资产对效率边界的影 响
期望值 B M
E F A
标准差
36
5.2.3最优投资组合
一、效用 效用是满意度的专业表述，是函数化的 满意度。是一种主观心理评价。
43
怎样根据无差异曲线来进行投资决策？
44
三、最优资产组合
对所有投资者来说，最优风险资产组合都是一 样的，投资者要决策的是 如何将资金配置在最优风险资产组合和无风险 资产上 与资本配置线相切的无差异曲线有最高可能效 用水平，该切点即为最优资产组合。
y*
E (rP ) rf 0.01A P
组合的预期收益率是构成资产组合的每个 资产预期收益率的加权平均值
3
一、两种证券组合的收益
两种证券SA、SB，投资者将资金按照WA、WB的比例 构建证券组合，则该证券组合的收益率RP可以表示 为：
RP = WARA+WBRB
E(RP ) WA E(RA ) WB E(RB )
WA+WB=1，WA、WB可正、可负 例5-1
41
E
U1 U2 U3
E
图A
图B
U1的效用值高于U2、U3的效用值，图A代表的 风险厌恶程度高于图B的。因此，即使投资者对各 种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但由 于不同投资者的风险厌恶程度不同，因此投资决策 也不同。
42
例题5-13
某投资人风险厌恶系数A=3，资产组合 X的期望收益率是12%，标准差是18%； 资产组合Y的标准差是24%，且年终有 概率相等的可能现金流是84000元和 144000元。Y的价格为多少时，X、Y是 无差异的？
8
相关系数
是投资实践中更常使用的一个指标。是 协方差经标准化之后衡量两种证券收益 率变动相关性及相关程度的指标，其计 算公式如下：
AB Cov(RA , RB ) / A B
是协方差的相对值表达
9
例题5-5
根据有关数据计算：①宝钢股份和平安银行 收益率变动的相关系数。②浦发银行和平安 银行收益率变动的相关系数。 用年度数据计算宝钢股份和平安银行的相关 系数为0.85 用年度数据计算浦发银行和平安银行的相关 系数为0.96。 用同期季度数据和同期月度数据计算的宝钢 股份和平安银行的相关系数分别为0.74、0.6。
2
45
不同风险厌恶者的最优选择
E(R)
高风险厌恶者 效用无差异曲线
低风险厌恶者 效用无差异曲线
F
M
CAL(T)
E
Rf
46
总结： 第一步，决定投资者可能的风险收益机 会，即确定有效边界(方法P74) 第二步，寻找一条最优资本配置线。 第三步：将资金配置在风险资产组合和 无风险资产上
47
期望值 无差异曲线
15
例5-7
1.两种证券组合的可行集
期望值 B
E
A
标准差
16
E ( R)
AB 0
C
A
(100%A)
D
AB 1
B
(100%B)
AB 1
O
17
1. 两只证券A、B的可行集是一条通过A 点和B点的曲线。 2. 相关系数等于1时，不能实现分散化效 应 3.当相关系数降低时，分散化效应越大 4.在完全负相关的情况下，有完全对冲 掉风险的机会，即能构造一个零方差的 证券组合
4
二、两种证券组合的风险
W W 2WAWBCov(RA , RB )
2 P 2 A 2 A 2 2 B B
5
协方差及其性质
协方差是测度两个风险资产收益的相互影响的 方向与程度。
Cov( RA , RB ) Pi [ RAi E ( RA )][ RBi E ( RB )]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 P wA A wB B 2wA wB AB wA A wA B 2wA wB AB A B
例5-6
组合的标准差一定小于等于各项证券标 准差的加权平均值。 所以组合能降
低风险
12
四、投资组合对风险的降低
P
CAL
B
最优风险资产组合 E A 最优资产组合 标准差 C
48
总风险 P 非系统风险 平均系统风险
N 股票数目
0 1 2 10 15
13
5.2 可行集、有效集和最优投资组合
一、可行集 又称机会集合,指由某些给定证券 所构建的全部证券组合的集合。 投资组合的可行集，可以用所有组 合的期望收益率和标准差构成的集 合来表示。
14
1.两种证券可行集
由证券SA、SB构造投资组合，其收益和风险以及两者 之间的相关系数如下。 证券SA 证券SB 预期收益率 10% 20% 收益率的标准差 10% 20% 相关系数 -0.5 问：①在证券SA上投资比例为-50%、-25%、0、25%、 50%、75%、100%、125%和150%时，所构造的投资 组合的预期收益率和标准差是多少？②在预期收益率 与标准差的坐标系中描绘出上述各个投资组合，并用 一条光滑的曲线将其连接起来，这条曲线的形状是什 么？
27
二者构成的资产组合P的期望收益率和标 准差分别为：
E( RP ) WR f (1 W ) E(RA )
P (1 W ) A
28
有:
E ( RP ) R f
E ( RA ) R f
A
P
29
因此，资产组合的期望收益作为其标准 差的函数是一条直线。 由不同y值产生的所有风险资产和无风险 资产的组合所有可能期望收益与标准差 连成的直线叫做资本配置线（capital allocation line） 斜率称报酬与波动性比率，也叫夏普比 率，是对每单位额外风险的额外收益的 测度
第5章 投资组合
投资组合的收益与风险 可行集、有效集和最优证券组合
1
5.1 投资组合的收益与风险
当投资人将全部资金分配或配置在一种 以上的证券上时，我们就称投资人构建 了一个投资组合（portfolio）。 组合理论（MPT）由哈里﹒马柯威茨 于1952年提出
2
一、两种证券组合的收益
i 1 n
例5-2 协方差为正，证券SA、SB收益率变动正相关。 协方差为负，证券SA、SB收益率变动负相关。 协方差为零，证券SA、SB收益率变动不相关。
6
实际投资中协方差的计算方法： — 历史样本估算法 — 概率估算法
7
例题5-3
根据宝钢股份和平安银行从2001年
到2012年的收益率数据，计算两种 证券收益率变动的协方差。 用年度数据（40.01%） 用季度数据（39.3%）
10
1） 在-1和+1之间 2）＞0，为正相关，越接近1，正相关 性越强， =1时，为完全正相关 3）＜0，为负相关，越接近-1，负相关 性越强， =-1时，为完全负相关 4）=0，称两资产不相关
11
两证券构成的组合，组合的期望收益和 方差分别为：
E (rP ) wA E (rA ) wB E (rB )
多种证券组合有效集的推导
有效 集 F
E B
A
E(R1)
C
D
24
1. 风险证券组合的有效集
有效集定理 1）对每一水平的风险，该组合提供最大 的预期收益 2）对每一水平的预期收益，该组合提供 最小的风险 满足这两个条件的组合被称为有效集， 即图中AS段
25
2.无风险证券和风险证券构成投资组 合的有效集
虚拟投资组合可行集
Random Portfolios 0.5
0.45
0.4
期望收益率
0.35
0.3
0.25
0.2
0.5
0.6
0.7
0.8 0.9 标准差
1
1.1
1.2
22
多种证券组合的可行集的一般形状
由线到面
E(R)
A
最小方差 组合
·
B
C
D
23
二、有效集
又称有效边界， E(R 是可行集的子 ) 集。
18
最小方差投资组合
AB A B AB W 2 2 2 2 A B 2 AB A B A B 2 AB
A 2 B 2 B
AB A B AB W 2 2 2 2 A B 2 AB A B A B 2 AB
B 2 A 2 A
19百度文库
2. 多种证券组合的可行集
例题5-10
某投资人拟以宝钢股份、平安银行、五 粮液三只股票进行投资组合，试画出该 投资组合的可行集。
20
Random Portfolios
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.5
0.6
0.7
0.8 ???
0.9
1
1.1
1.2
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37
效用函数，是描述风险偏好的工具 用U(X)表示，其中X是投资者追求的期 末财富（或收益）。
U(X)
风险厌恶型
X
风险中性型
风险偏好型
38
效用
效用数值是对资产排序的一种方法，对风险 厌恶者来说，预期收益高，效用数值越大； 波动性强的资产，其效用数值低。 用公式表述
U E(r ) 0.005A 2
30
期望 P
F 标准差
线段FP上的每一个点代表了不同的风险资产投资比例。
31
在A点的左边，即0<W<1，按无风险利 率贷出资金 在A点的右边，即W<0，按无风险利率 借入资金
32
E(RP) W﹤0,借入
E(RA)
CAL
0﹤W﹤1 贷出
E(RA)- Rf
Rf
33
一种无风险证券和多种风险证券组合的有效集的 一般形状 CAL(M) E(R)
U为效用值；A为投资者风险厌恶指数（一般 在2-4之间）；系数0.005是一个按比例计算 的方法，使得在计算中按百分比而不是按小 数来表示预期收益率与标准差。
39
二、无差异曲线 无差异曲线：在均值标准差图表中，将效用值相等的 所有资产点由一条曲线连接起来，这条曲线就叫无 差异曲线。
E(r)
40
无差异曲线的特征： 1、斜率是正的，高风险必须对应高的预 期收益率 2、曲线是下凸的，要使投资者多冒等量 的风险，给予他的补偿即预期收益率应 越来越高。边际效用递减规律。 3、同一投资者有无限多条无差异曲线， 且任何两条无差异曲线不能相交
无风险证券的作用： 1）无风险证券的收益率是市场的基准利 率 2）无风险证券的收益率标准差为零，与 任何其他证券的相关系数为零，协方差 为零。
26
例：某风险资产的期望值为15%，标准 差为22%，无风险收益率为7%，则风 险资产的风险溢价为8%。现在要确定 投资于无风险资产的比例W,及风险资 产的投资比例1-W
M
CAL(T)
T
Rf
34
存在无数条资本配置线，要寻找最优资 产配置线。 资产配置线与有效边界相切时，斜率最 大，此时为最优资产配置线。 切点M为最优风险资产组合。
35
引入无风险资产对效率边界的影 响
期望值 B M
E F A
标准差
36
5.2.3最优投资组合
一、效用 效用是满意度的专业表述，是函数化的 满意度。是一种主观心理评价。
43
怎样根据无差异曲线来进行投资决策？
44
三、最优资产组合
对所有投资者来说，最优风险资产组合都是一 样的，投资者要决策的是 如何将资金配置在最优风险资产组合和无风险 资产上 与资本配置线相切的无差异曲线有最高可能效 用水平，该切点即为最优资产组合。
y*
E (rP ) rf 0.01A P
组合的预期收益率是构成资产组合的每个 资产预期收益率的加权平均值
3
一、两种证券组合的收益
两种证券SA、SB，投资者将资金按照WA、WB的比例 构建证券组合，则该证券组合的收益率RP可以表示 为：
RP = WARA+WBRB
E(RP ) WA E(RA ) WB E(RB )
WA+WB=1，WA、WB可正、可负 例5-1
41
E
U1 U2 U3
E
图A
图B
U1的效用值高于U2、U3的效用值，图A代表的 风险厌恶程度高于图B的。因此，即使投资者对各 种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但由 于不同投资者的风险厌恶程度不同，因此投资决策 也不同。
42
例题5-13
某投资人风险厌恶系数A=3，资产组合 X的期望收益率是12%，标准差是18%； 资产组合Y的标准差是24%，且年终有 概率相等的可能现金流是84000元和 144000元。Y的价格为多少时，X、Y是 无差异的？
8
相关系数
是投资实践中更常使用的一个指标。是 协方差经标准化之后衡量两种证券收益 率变动相关性及相关程度的指标，其计 算公式如下：
AB Cov(RA , RB ) / A B
是协方差的相对值表达
9
例题5-5
根据有关数据计算：①宝钢股份和平安银行 收益率变动的相关系数。②浦发银行和平安 银行收益率变动的相关系数。 用年度数据计算宝钢股份和平安银行的相关 系数为0.85 用年度数据计算浦发银行和平安银行的相关 系数为0.96。 用同期季度数据和同期月度数据计算的宝钢 股份和平安银行的相关系数分别为0.74、0.6。
2
45
不同风险厌恶者的最优选择
E(R)
高风险厌恶者 效用无差异曲线
低风险厌恶者 效用无差异曲线
F
M
CAL(T)
E
Rf
46
总结： 第一步，决定投资者可能的风险收益机 会，即确定有效边界(方法P74) 第二步，寻找一条最优资本配置线。 第三步：将资金配置在风险资产组合和 无风险资产上
47
期望值 无差异曲线
15
例5-7
1.两种证券组合的可行集
期望值 B
E
A
标准差
16
E ( R)
AB 0
C
A
(100%A)
D
AB 1
B
(100%B)
AB 1
O
17
1. 两只证券A、B的可行集是一条通过A 点和B点的曲线。 2. 相关系数等于1时，不能实现分散化效 应 3.当相关系数降低时，分散化效应越大 4.在完全负相关的情况下，有完全对冲 掉风险的机会，即能构造一个零方差的 证券组合
4
二、两种证券组合的风险
W W 2WAWBCov(RA , RB )
2 P 2 A 2 A 2 2 B B
5
协方差及其性质
协方差是测度两个风险资产收益的相互影响的 方向与程度。
Cov( RA , RB ) Pi [ RAi E ( RA )][ RBi E ( RB )]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 P wA A wB B 2wA wB AB wA A wA B 2wA wB AB A B
例5-6
组合的标准差一定小于等于各项证券标 准差的加权平均值。 所以组合能降
低风险
12
四、投资组合对风险的降低
P
CAL
B
最优风险资产组合 E A 最优资产组合 标准差 C
48
总风险 P 非系统风险 平均系统风险
N 股票数目
0 1 2 10 15
13
5.2 可行集、有效集和最优投资组合
一、可行集 又称机会集合,指由某些给定证券 所构建的全部证券组合的集合。 投资组合的可行集，可以用所有组 合的期望收益率和标准差构成的集 合来表示。
14
1.两种证券可行集
由证券SA、SB构造投资组合，其收益和风险以及两者 之间的相关系数如下。 证券SA 证券SB 预期收益率 10% 20% 收益率的标准差 10% 20% 相关系数 -0.5 问：①在证券SA上投资比例为-50%、-25%、0、25%、 50%、75%、100%、125%和150%时，所构造的投资 组合的预期收益率和标准差是多少？②在预期收益率 与标准差的坐标系中描绘出上述各个投资组合，并用 一条光滑的曲线将其连接起来，这条曲线的形状是什 么？
27
二者构成的资产组合P的期望收益率和标 准差分别为：
E( RP ) WR f (1 W ) E(RA )
P (1 W ) A
28
有:
E ( RP ) R f
E ( RA ) R f
A
P
29
因此，资产组合的期望收益作为其标准 差的函数是一条直线。 由不同y值产生的所有风险资产和无风险 资产的组合所有可能期望收益与标准差 连成的直线叫做资本配置线（capital allocation line） 斜率称报酬与波动性比率，也叫夏普比 率，是对每单位额外风险的额外收益的 测度
第5章 投资组合
投资组合的收益与风险 可行集、有效集和最优证券组合
1
5.1 投资组合的收益与风险
当投资人将全部资金分配或配置在一种 以上的证券上时，我们就称投资人构建 了一个投资组合（portfolio）。 组合理论（MPT）由哈里﹒马柯威茨 于1952年提出
2
一、两种证券组合的收益
i 1 n
例5-2 协方差为正，证券SA、SB收益率变动正相关。 协方差为负，证券SA、SB收益率变动负相关。 协方差为零，证券SA、SB收益率变动不相关。
6
实际投资中协方差的计算方法： — 历史样本估算法 — 概率估算法
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例题5-3
根据宝钢股份和平安银行从2001年
到2012年的收益率数据，计算两种 证券收益率变动的协方差。 用年度数据（40.01%） 用季度数据（39.3%）
10
1） 在-1和+1之间 2）＞0，为正相关，越接近1，正相关 性越强， =1时，为完全正相关 3）＜0，为负相关，越接近-1，负相关 性越强， =-1时，为完全负相关 4）=0，称两资产不相关
11
两证券构成的组合，组合的期望收益和 方差分别为：
E (rP ) wA E (rA ) wB E (rB )