材料力学之应力分析与强度理论
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W
eq4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
统一形式：
eq
M eq W
[ ]
M eq3
M
2 z
M2 yT2 NhomakorabeaM eq4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
例1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(
单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
25 3 4 5 B 9 5
A
在坐标系内画出点
2
1
0
° 5
25 3
45o
拉伸对应
2E
1
45o
剪切对应值
E
1
现在已测得圆杆表面上一点a沿45方向的线应变 45o=-2×10-4, 是上述两45方向的线应变之和
45o 测试值 45o 剪切对应值 45o 拉伸对应值
E45o 剪切对应值 E 45o 测试值 45o 拉伸对应值 =
1
1
E
2 3
1 3
体积改变比能
vV
1 2
6E
1 2
3 2
形状改变比能
1
vd 6E
1 2 2 2 3 2 1 3 2
5、四个常用强度理论
强度理论的统一形式： eqk [ ]
• 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论：
eq1 1
eq2 1 2 3
组合变形习题课
一、应力分析和强度理论
1、平面应力状态分析
（1）斜截面上的应力
x x
y 2 y
2
x y
2
sin 2 x
cos cos
2 2
x
sin
2
注意：α定义为x轴逆时针转到斜截面上外法线
（2）主平面和主应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 x
0
1 2
arctan
x
2 x
y
注意：什么叫主应力？一、二、三向应力状态应当怎么样判断？
强度。
解（1）由于正应变仅引起正应力，不影响应力。先计算正应变仅引起正应力
x E x 200 109 4 104 80 MPa
（2）分析正应力σX在45o方向产生的正应变
利用广义胡克定理计算
45o
拉伸对应
2E
1
而扭转切应力τ在45o的线应变为
45o
2
45o
2
2
45o
剪切对应值
E
1
W
5475kN
WT
A
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
6.2 30.74
36.94 MPa
24.54
MPa
eq4
1 2
1
2 2
2
3 2
1
3
2
53.6 MPa
安全。
例: 图示压力机，最大压力F=1400 kN，机架用铸铁作成，许用拉应力
[t]=35 MPa，许用压应力[c]=140 MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。
低碳钢构件中危险点应力状态如右图所示， 材料的最大剪应力作用面是
10MPa 60MPa
90MPa
A.
B.
C.
D.
（3）应力圆
E
y
x
2
O
A2 B2
y D2
D1
2 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面； 圆上半径，体上法线； 转向一致，数量一半； 直径两端，垂直两面。
m
已知：N 37500kW , n 150rpm G 285kN , W 390kN ,
P 4800kN , [ ] 80MPa
F
GF
P
d 340mm , D 750mm
求：按第四强度理论校核轴的强度
m
解：
M
e
m Me
9550 PK n
30.1MPa
2388
kNm
F
F P GW 12.4MPa
eq3 1 3
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
二、组合变形
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解； ②内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确 定危险面；
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；
④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。
2、两相互垂直平面内的弯曲
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
1 2
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 x
25 3 y 45MPa
1
° 5
0
y 25 3MPa x
y Ox
x ?
6095MPa 6025 3MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
例：评价水轮机主轴的强度
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲
有棱角的截面
max
FN ,max A
M z,max Wz
M y,max Wy
[ ]
圆截面
max
FN ,max A
M max W
[ ]
4、弯曲与扭转
eq3
M 2 T 2 [ ]
大组合正应力发生在截面内、外 侧边缘a、b处，其值分别为
500
a
b
F A F A
Feyc Iz
Fey2 Iz
32.3 MPa 53.5 MPa
可见，立柱符合强度要求。
例: 圆截面杆受力如图，材料的弹 性模量E=200GPa,泊松比µ=0.3，许 用应力[σ]= 150MPa,若已分别测得 圆杆表面上一点a沿x轴线以及沿与 轴线成45方向的线应变εx=4.0×104,ε45o=-2.0×10-4,试按第三强度理论 （最大切应力理论）校核该圆杆的
45o
测试值
2E
1
200 109
-2 10-4
40106 0.7 =52.3（MPa）
1
1.3
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
40 65.84
105.84 MPa
0
A(95,25 3)
1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心 ，以AC为半径画 圆——应力圆
(MPa)
B
3
O
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
主应力及主平面如图
1 120 220 30
0 30
25 3
2
1
0
° 5
45 B 95
A
25 3
0
1
(MPa)
B
3
O
立柱截面的几何性质如下：yc=200 mm，h=700 mm，A=1.8×105 mm2，
Iz=8.0×109 mm4。
yzc
解：由图可见，载荷F偏离立柱
C
轴线，其偏心距为：
y h
e=yc+500=200+500=700 mm。 在偏心拉力F作用下横截面上的
e
内力及各自产生的应力如图：最
F F
a
bF
max
2、空间应力状态的概念
B
max
D
三向应力圆
A
主应力
O
最大剪应力
max
1
3
2
3 2
3、应力应变关系
1
（1）、广义胡克定律
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 2 1 3 1
3 3 2
4、空间应力状态下的应变能密度
v
1 2E
2 1
22
2 3
2 1 2
eq4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
统一形式：
eq
M eq W
[ ]
M eq3
M
2 z
M2 yT2 NhomakorabeaM eq4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
例1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(
单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
25 3 4 5 B 9 5
A
在坐标系内画出点
2
1
0
° 5
25 3
45o
拉伸对应
2E
1
45o
剪切对应值
E
1
现在已测得圆杆表面上一点a沿45方向的线应变 45o=-2×10-4, 是上述两45方向的线应变之和
45o 测试值 45o 剪切对应值 45o 拉伸对应值
E45o 剪切对应值 E 45o 测试值 45o 拉伸对应值 =
1
1
E
2 3
1 3
体积改变比能
vV
1 2
6E
1 2
3 2
形状改变比能
1
vd 6E
1 2 2 2 3 2 1 3 2
5、四个常用强度理论
强度理论的统一形式： eqk [ ]
• 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论：
eq1 1
eq2 1 2 3
组合变形习题课
一、应力分析和强度理论
1、平面应力状态分析
（1）斜截面上的应力
x x
y 2 y
2
x y
2
sin 2 x
cos cos
2 2
x
sin
2
注意：α定义为x轴逆时针转到斜截面上外法线
（2）主平面和主应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 x
0
1 2
arctan
x
2 x
y
注意：什么叫主应力？一、二、三向应力状态应当怎么样判断？
强度。
解（1）由于正应变仅引起正应力，不影响应力。先计算正应变仅引起正应力
x E x 200 109 4 104 80 MPa
（2）分析正应力σX在45o方向产生的正应变
利用广义胡克定理计算
45o
拉伸对应
2E
1
而扭转切应力τ在45o的线应变为
45o
2
45o
2
2
45o
剪切对应值
E
1
W
5475kN
WT
A
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
6.2 30.74
36.94 MPa
24.54
MPa
eq4
1 2
1
2 2
2
3 2
1
3
2
53.6 MPa
安全。
例: 图示压力机，最大压力F=1400 kN，机架用铸铁作成，许用拉应力
[t]=35 MPa，许用压应力[c]=140 MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。
低碳钢构件中危险点应力状态如右图所示， 材料的最大剪应力作用面是
10MPa 60MPa
90MPa
A.
B.
C.
D.
（3）应力圆
E
y
x
2
O
A2 B2
y D2
D1
2 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面； 圆上半径，体上法线； 转向一致，数量一半； 直径两端，垂直两面。
m
已知：N 37500kW , n 150rpm G 285kN , W 390kN ,
P 4800kN , [ ] 80MPa
F
GF
P
d 340mm , D 750mm
求：按第四强度理论校核轴的强度
m
解：
M
e
m Me
9550 PK n
30.1MPa
2388
kNm
F
F P GW 12.4MPa
eq3 1 3
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
二、组合变形
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解； ②内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确 定危险面；
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；
④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。
2、两相互垂直平面内的弯曲
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
1 2
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 x
25 3 y 45MPa
1
° 5
0
y 25 3MPa x
y Ox
x ?
6095MPa 6025 3MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
例：评价水轮机主轴的强度
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲
有棱角的截面
max
FN ,max A
M z,max Wz
M y,max Wy
[ ]
圆截面
max
FN ,max A
M max W
[ ]
4、弯曲与扭转
eq3
M 2 T 2 [ ]
大组合正应力发生在截面内、外 侧边缘a、b处，其值分别为
500
a
b
F A F A
Feyc Iz
Fey2 Iz
32.3 MPa 53.5 MPa
可见，立柱符合强度要求。
例: 圆截面杆受力如图，材料的弹 性模量E=200GPa,泊松比µ=0.3，许 用应力[σ]= 150MPa,若已分别测得 圆杆表面上一点a沿x轴线以及沿与 轴线成45方向的线应变εx=4.0×104,ε45o=-2.0×10-4,试按第三强度理论 （最大切应力理论）校核该圆杆的
45o
测试值
2E
1
200 109
-2 10-4
40106 0.7 =52.3（MPa）
1
1.3
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
40 65.84
105.84 MPa
0
A(95,25 3)
1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心 ，以AC为半径画 圆——应力圆
(MPa)
B
3
O
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
主应力及主平面如图
1 120 220 30
0 30
25 3
2
1
0
° 5
45 B 95
A
25 3
0
1
(MPa)
B
3
O
立柱截面的几何性质如下：yc=200 mm，h=700 mm，A=1.8×105 mm2，
Iz=8.0×109 mm4。
yzc
解：由图可见，载荷F偏离立柱
C
轴线，其偏心距为：
y h
e=yc+500=200+500=700 mm。 在偏心拉力F作用下横截面上的
e
内力及各自产生的应力如图：最
F F
a
bF
max
2、空间应力状态的概念
B
max
D
三向应力圆
A
主应力
O
最大剪应力
max
1
3
2
3 2
3、应力应变关系
1
（1）、广义胡克定律
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 2 1 3 1
3 3 2
4、空间应力状态下的应变能密度
v
1 2E
2 1
22
2 3
2 1 2