七年级上册数学同步培优：第14讲 相交线与平行线--尖子班

第14讲 相交线与平行线
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪⎩
相交钱垂线段最短
相交线与平行线点到直线的距离三线八角 知识点1 相交线
相交线：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．常考相交线交点个数的问题．
【典例】
1.平面内观察下列图形：
第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____
【方法总结】
n 条相交线交点最多的个数：
（1）发现规律（根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律）, （2）根据规律，写出n 条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n ﹣1）, （3）求出1+2+3+4+5+…+（n ﹣1）和为
n(n−1)2
，即n 条相交线交点最多的个数为
n(n−1)2
．
一般地：n 条直线相交，最多有1+2+3+…+（n ﹣1）
=
【随堂练习】
1．（2017春•肥城市期中）平面内有不重合的4条直线，请指出这4条直线交点个数的所有情况，并画出相应的草图．
知识点2 垂线段最短
1．线段的性质：两点之间，线段最短．
2．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
【典例】
1.如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________
【方法总结】
实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择，上述例题应用的理论依据是“垂线段最短”
【随堂练习】
1．（2018•突泉县一模）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）
A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短D．两点确定一条直线
知识点3 点到直线的距离
1．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
【典例】
【题干】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（）
A. B.
C. D.
【方法总结】
点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
注意是垂线段的长度，不是垂线段．
【随堂练习】
1．（2018春•禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN 上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（）
A．等于3cm B．等于2cm C．等于3.5cm D．不大于2cm
2．（2018春•东西湖区期中）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，
d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）
A．0＜d＜3B．0≤d＜3C．0＜d≤3D．0≤d≤3
知识点4 同位角、内错角、同旁内角
1．同位角
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2．内错角
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3．同旁内角
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
4．三线八角
三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”
【典例】
1. 如图，直线a，b被直线c所截，与∠1是同位角的角是（）
【方法总结】
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2. 如图中∠1与∠2是内错角的是（）
A. B. C. D.
【方法总结】
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1和∠2是一对_______
【方法总结】
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
4. 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来．
【方法总结】
识别“三线八角”中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上
【随堂练习】
1．（2018春•无锡期中）如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
2．（2016秋•商水县期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是____．
3.（2018春•江岸区校级月考）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．
路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？
4．（2017春•邢台县月考）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM=120°，∠EMB=∠COF．
（1）求∠FOG的度数；
（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）求∠AMO的度数．
综合集训
1.两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么21条线段最多______个交点
2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD 开沟才能使水沟最短，其依据是（）
3. 如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）
4．如图，体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是________．
5. 如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是_____cm，点A到BC的距离是______cm，C到AB的距离是______cm．
6. 如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．
7. 作图并写出结论：
如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．
8. 如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．
（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．
（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．
9. 如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．
（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；
（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？
10. 如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？
11.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．
（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．
（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．
（3）∠9还与哪些角成内错角？
（4）图形继续发展变化，图中共有几对同旁内角？
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