概率论与数理统计教案

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第三章：多维随机变量及其分布

一、基本概念

1联合分布函数

设（Y X ,）是二维离散型随机变量，y x ,是任意实数，

),(),(Y Y x X P y x F ≤≤=

二维随机变量（Y X ,）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质

（1）单调性),(y x F 关于x(y)单调不减；

（2）1),(0≤≤y x F ,0),(),(=-∞=-∞y F x F ,1),(=+∞+∞F ； (3) ),(y x F 关于x(y)右连续；

(4)),(),(),(),(},{221221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 3．边缘分布函数

设（Y X ,）是二维离散型随机变量的联合分布函数为),(y x F ，则

),(},{}{)(+∞=+∞≤≤=≤=x F Y x X P x X P x F X ，

),(},{}{)(y F y Y X P y Y P y F Y +∞=≤+∞≤=≤=

二维随机变量（Y X ,）的边缘分布函数。

二、离散型二维随机变量

1. 离散型二维随机变量的分布律

设),(Y X 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(,),,1,2,

,i j a b i j =令

},{j i ij b Y a X p p ===),,1,2,

ij i j p P a b i j ξη===

=

称(;,1,2,

)ij p i j =是二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布.

二维联合分布的三个性质：

111

(1)0,,1,2,;

(2)1

(3)()ij ij i j i ij i

j p i j p P a p p ξ∞

∞

==∞

=≥=====∑∑∑

2. 离散型二维随机变量的分布函数 ∑∑≤≤=

i j

x X y Y ij p y x F ),(

3. 离散型二维随机变量的边缘分布

设二维随机变量（Y X ,）的联合概率分布},{j i y Y x X p ===(,1,2,)ij p i j =中对

固定的i 关于j 求和而得到

∑∞

===

+∞≤===1

.},{}{j i ij

i i p p

Y x X p x X p

∑∞

===≤+∞≤==1

.},{}{i j ij j j p p y Y X p y Y p

4. 离散型二维随机变量的条件

对于固定的j 若，0}{.>==j j p y Y p ，称

j

ij j j i j i p p y Y p y Y x X p y Y x X p .}

{}

,{}|{=

====

==

为在j y Y =的条件下，随机变量i x X =的条件概率. 同样定义.

}

{}

,{}|{i ij i j i i j p p x X p y Y x X p x X y Y p =

======为在i x X =的条件下，随机

变量j y Y =的条件概率. 条件概率符合概率的性质

0}|{≥==j i y Y x X p

1}|{1

===∑

∞

=j i i y Y x X p

5. 离散型二维随机变量的独立性

设离散型随机变量),(Y X 的联合概率分布列与边缘分布为：

ij j i p y Y x X P ===},{，.}{i i p x X p == j j p y Y p .}{==

定理1：离散型随机变量Y X ,独立的充分必要条件是对于任意的j i ,都有 ij p .i p = j p .

例1 从1，2，3，4种任取一个记为X ，在从1X 种任取一个记为Y ， (1)求二维随机变量（Y X ,）的联合分布律

(2)求二维随机变量（Y X ,）的边缘分布律。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4/14/14/14/14321~X ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛48/348/748/1348/254321

~Y

(3)求1=Y 的条件下，X 的概率分布

2512

48/254/1/}1|1{1.11=

=

===p p Y X p 256

48/258/1/}1|2{1.12=

====p p Y X p 254

48/2512/1/}1|3{1.13=

====p p Y X p 253

48/2516/1/}1|4{1.13=

====p p Y X p (4) 随机变量Y X ,独立吗？

)48/25)(4/1()4/1(11≠=p .1p = 1.p

Y X ,不独立。

例2 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛5.05

.010

~X ，⎪⎪⎭⎫

⎝⎛6.04.010

~Y ，且4.0}0{=≠XY p ，求随机变量（Y X ,）的联合分布律及}{Y X p ≠。

例3 已知X,Y 独立，完成下表：

例4 已知（X,Y ）的分布律为：

已知}1{}0{=+=Y X X 与独立，求a,b

三、连续型二维随机变量

1．定义与性质

如果联(,)F x y 是一个合分布函数，若存在函数(,)p x y ，使对任意的(,)x y ，有 (,)(,)x y

F x y p u v dudv -∞-∞

=

⎰⎰

成立，则称(,)F x y 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的(,)p x y 是(,)F x y 的联合概率密度函数或简称为密度.

如果二维随机变量(,)ξη的联合分布函数(,)F x y 是连续型分布函数，就称(,)ξη是二维的连续型随机变量.

密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数(,)p x y 必具有下述性质：

(1)(,)0;(2)(,)(,)1

p x y p x y dxdy F ∞∞

-∞-∞

≥=+∞+∞=⎰

⎰

反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数(,)p x y ，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：