非线性偏微分方程
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第一Leabharlann Baidu 概论
一、非线性偏微分方程（NPDE） 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程 领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。 二、方程的建立、分类 常微分方程 古典分类 分类 耗散结构 抛物型 双曲型 椭圆型 du = Lλ u + G(uλ ) dt 三、关于 NPDE 研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两 个方面： 一是定性。主要研究解得存在性及状态。 二是定量。主要研究构建科学的精确解。 四、化繁为简 化偏微为常微 化高阶为低阶 化非线性为线性 第三讲 非线性偏微分方程行波解的直接积分法 一、思路：对 NPDE p u, ux , ut , ⋯ = 0 (3.1) 通过行波变换 ζ =
1 ∂2 u ∂ζ
2
(3.4) (3.5)
∂u ∂ζ
+β
∂2 u ∂ζ
2
=0
(3.6)
+ 2 u2 − cu = A
1
(3.7)
βu2 + 6 u3 − 2 cu2 − Au = β 2
1
1
(3.8)
写成
1 2 1
u2 + r u = 0
(3.9) (3.10)
r u = 6β (u3 − 3cu2 − 6Au − 6β)
n i=0 k i xi
+ wt
(3.2)
n 是空间维数 k 是波矢 w 是频率 可将 NPDE 化为常微分方程（ODE） p u, uζ , uζ
ζ
,⋯ = 0
(3.3)
如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解 二、对 KDV 方程孤波解 KDV 方程 ut + uxx + βuxxx = 0 引入ζ = x − ct (3.4)代为 u−c 积分一次得 β 再乘 u 积分得
一、非线性偏微分方程（NPDE） 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程 领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。 二、方程的建立、分类 常微分方程 古典分类 分类 耗散结构 抛物型 双曲型 椭圆型 du = Lλ u + G(uλ ) dt 三、关于 NPDE 研究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容集中在两 个方面： 一是定性。主要研究解得存在性及状态。 二是定量。主要研究构建科学的精确解。 四、化繁为简 化偏微为常微 化高阶为低阶 化非线性为线性 第三讲 非线性偏微分方程行波解的直接积分法 一、思路：对 NPDE p u, ux , ut , ⋯ = 0 (3.1) 通过行波变换 ζ =
1 ∂2 u ∂ζ
2
(3.4) (3.5)
∂u ∂ζ
+β
∂2 u ∂ζ
2
=0
(3.6)
+ 2 u2 − cu = A
1
(3.7)
βu2 + 6 u3 − 2 cu2 − Au = β 2
1
1
(3.8)
写成
1 2 1
u2 + r u = 0
(3.9) (3.10)
r u = 6β (u3 − 3cu2 − 6Au − 6β)
n i=0 k i xi
+ wt
(3.2)
n 是空间维数 k 是波矢 w 是频率 可将 NPDE 化为常微分方程（ODE） p u, uζ , uζ
ζ
,⋯ = 0
(3.3)
如对（3.3）直接积分与可直接积分求出通解 二、对 KDV 方程孤波解 KDV 方程 ut + uxx + βuxxx = 0 引入ζ = x − ct (3.4)代为 u−c 积分一次得 β 再乘 u 积分得