2021届陕西省西安交大附中高三上学期期中考试文科数学试卷
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A． B． C． D．
10．过点 作斜率为 ( ≠0)的直线与双曲线 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点， 的斜率为 ，则 等于
A． B． C． D．
二、填空题
11．若实数x，y满足 则 的最大值为．
12．向量 ．若向量 ，则实数 的值是________．
13．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取人．
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（Ⅱ）计算甲班的样本方差；
（Ⅲ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
18．已知数列 的前 项和 （其中 为常数），且 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求数列 的前 项和
19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱 中，△ 是边长为 的等边三角形， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点．
A．奇函数且在 上单调递增
B．奇函数且在 上单调递增
C．偶函数且在 上单调递增
D．偶函数且在 上单调递增
4．下列有关命题说法正确的是
A．命题 ：“ ”，则 是真命题
B． 的必要不充分条件
C．命题 的否定是：“ ”
D．“ ”是“ 上为增函数”的充要条件
5．已知函数 是奇函数，则 的值等于
A． B． C． D．4
算法结束
7．D
【解析】
试题分析： ，设切点横坐标为
考点：导数的几何意义
8．D
【解析】
试题分析：由题意可知， ，即ab=1，
则 ，
当且仅当 ，即 时，上式取等号，∴ 的最小值为
考点：本题考查基本不等式的应用
点评：解决本题的关键是注意基本不等式应用的条件
9．B
【解析】
试题分析：以A为坐标原点，AB，AD， 所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，
2．D
【解析】
试题分析：由题意可知x=1，y=1，所以 ，故选D
考点：本题考查复数相等的定义，复数的运算
点评：解决本题的关键是掌握复数相等的定义，求出x，y的值
3．C
【解析】
试题分析：由题意可知， ，所以是偶函数；当 时， ，cos2x
单调递减，∴y=-cos2x单调递增，∴C正确，故选C
考点：本题考查二倍角公式，余弦函数的图像和性质
设P(x，y，z)，则根据题意 ，
6．B
【解析】
试题分析：框图首先给变量x赋值-1，判断-1≥m不成立，执行x=-1+1=0；判断0≥m不成立，执行x=0+1=1；
判断1≥m不成立，执行x=1+1=2；判断2≥m成立，执行x= =4．输出x的值等于4．由此判断m的值等于2．故
选B．
考点：本题考查程序框图
点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，是直到型循环，即不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若 到 的距离为 ，求正三棱柱 的体积．
20．（本小题满分15分）已知二次函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，（ ），设 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若函数 的一个极值点是 ，求 的值域；
（Ⅲ）若函数 存在三个极值点，求 的取值范围．
21．（本小题满分13分）已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 ．
2021年陕西省西安交大附中高三上学期期中考试文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， ，则
A．
B．
C．
D．
2．已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为
A． B． C． D．
3．函数 是
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在满足 的点 ?若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）;若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：对于A，A∪B={1，2，3，4，5，}，不正确；对于B， 不正确；对于C，
，不正确；故选D
考点：本题考查集合的交集、并集、补集的混合运算
点评：解决本题的关键是掌握集合的交集、并集、补集的定义
点评：解决本题的关键是掌握命题的否定形式，以及对数函数的图象和性质
5．B
【解析】
试题分析：由题意可知，当x<0时，则-x>0，则f（-x）=-f（x），即 =-f（x），所以f（x）= ，
即g（x）= ，所以g（-4）= ，故选B
考点：本题考查分段函数，函ຫໍສະໝຸດ Baidu的奇偶性
点评：解决本题的关键是根据函数的奇偶性，求出g(x)的解析式
6．执行如图所示的程序，若输出的结果是4，则判断框内实数 的值可以是
A．1B．2C．3D．4
7．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（）
A． B．1C．2D．3
8．已知 ，二次函数 有且仅有一个零点，则 的最小值为
A．1 B． C． D．
9．已知正方体 的棱长为 ，动点 在正方体表面上且满足 ，则动点 的轨迹长度为
C．已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则 ．
三、解答题
16．（本小题满分12分）已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为2，最小正周期为 ．
（Ⅰ）求函数 的解析式及函数的增区间；
（Ⅱ）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求△ 的面积．
17．（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
14．已知直线 与圆 相切，若 ， ，则 的最小值为．
15．选考题（请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果全选，则按A题结果计分）
A．已知函数 ， ．若不等式 的解集为R，则 的取值范围是．
B．在直角坐标系 中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的参数方程为 ( 为参数， )，则C1与C2有个不同公共点．
点评：解决本题的关键是利用二倍角公式整理出函数y=-cos2x
4．D
【解析】
试题分析：对于A，因为 ，所以当 时， ，所以命题p
正确，则 是假命题，故A错；对于B，当x=-1时，可得出 ，所以是充分条件，故错；对
于C，其命题的否定应为“ ， ”，故错；对于D，根据对数函数的性质，可得正确，故
选D
考点：本题考查判断命题的真假
10．过点 作斜率为 ( ≠0)的直线与双曲线 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点， 的斜率为 ，则 等于
A． B． C． D．
二、填空题
11．若实数x，y满足 则 的最大值为．
12．向量 ．若向量 ，则实数 的值是________．
13．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80~90分数段应抽取人．
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（Ⅱ）计算甲班的样本方差；
（Ⅲ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
18．已知数列 的前 项和 （其中 为常数），且 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求数列 的前 项和
19．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱 中，△ 是边长为 的等边三角形， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点．
A．奇函数且在 上单调递增
B．奇函数且在 上单调递增
C．偶函数且在 上单调递增
D．偶函数且在 上单调递增
4．下列有关命题说法正确的是
A．命题 ：“ ”，则 是真命题
B． 的必要不充分条件
C．命题 的否定是：“ ”
D．“ ”是“ 上为增函数”的充要条件
5．已知函数 是奇函数，则 的值等于
A． B． C． D．4
算法结束
7．D
【解析】
试题分析： ，设切点横坐标为
考点：导数的几何意义
8．D
【解析】
试题分析：由题意可知， ，即ab=1，
则 ，
当且仅当 ，即 时，上式取等号，∴ 的最小值为
考点：本题考查基本不等式的应用
点评：解决本题的关键是注意基本不等式应用的条件
9．B
【解析】
试题分析：以A为坐标原点，AB，AD， 所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，
2．D
【解析】
试题分析：由题意可知x=1，y=1，所以 ，故选D
考点：本题考查复数相等的定义，复数的运算
点评：解决本题的关键是掌握复数相等的定义，求出x，y的值
3．C
【解析】
试题分析：由题意可知， ，所以是偶函数；当 时， ，cos2x
单调递减，∴y=-cos2x单调递增，∴C正确，故选C
考点：本题考查二倍角公式，余弦函数的图像和性质
设P(x，y，z)，则根据题意 ，
6．B
【解析】
试题分析：框图首先给变量x赋值-1，判断-1≥m不成立，执行x=-1+1=0；判断0≥m不成立，执行x=0+1=1；
判断1≥m不成立，执行x=1+1=2；判断2≥m成立，执行x= =4．输出x的值等于4．由此判断m的值等于2．故
选B．
考点：本题考查程序框图
点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，是直到型循环，即不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若 到 的距离为 ，求正三棱柱 的体积．
20．（本小题满分15分）已知二次函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，（ ），设 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若函数 的一个极值点是 ，求 的值域；
（Ⅲ）若函数 存在三个极值点，求 的取值范围．
21．（本小题满分13分）已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点 处的切线分别为 ，且 与 交于点 ．
2021年陕西省西安交大附中高三上学期期中考试文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， ，则
A．
B．
C．
D．
2．已知 ， 为虚数单位，且 ，则 的值为
A． B． C． D．
3．函数 是
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在满足 的点 ?若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点 的坐标）;若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：对于A，A∪B={1，2，3，4，5，}，不正确；对于B， 不正确；对于C，
，不正确；故选D
考点：本题考查集合的交集、并集、补集的混合运算
点评：解决本题的关键是掌握集合的交集、并集、补集的定义
点评：解决本题的关键是掌握命题的否定形式，以及对数函数的图象和性质
5．B
【解析】
试题分析：由题意可知，当x<0时，则-x>0，则f（-x）=-f（x），即 =-f（x），所以f（x）= ，
即g（x）= ，所以g（-4）= ，故选B
考点：本题考查分段函数，函ຫໍສະໝຸດ Baidu的奇偶性
点评：解决本题的关键是根据函数的奇偶性，求出g(x)的解析式
6．执行如图所示的程序，若输出的结果是4，则判断框内实数 的值可以是
A．1B．2C．3D．4
7．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（）
A． B．1C．2D．3
8．已知 ，二次函数 有且仅有一个零点，则 的最小值为
A．1 B． C． D．
9．已知正方体 的棱长为 ，动点 在正方体表面上且满足 ，则动点 的轨迹长度为
C．已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则 ．
三、解答题
16．（本小题满分12分）已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为2，最小正周期为 ．
（Ⅰ）求函数 的解析式及函数的增区间；
（Ⅱ）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求△ 的面积．
17．（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
14．已知直线 与圆 相切，若 ， ，则 的最小值为．
15．选考题（请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果全选，则按A题结果计分）
A．已知函数 ， ．若不等式 的解集为R，则 的取值范围是．
B．在直角坐标系 中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为 ，曲线C2的参数方程为 ( 为参数， )，则C1与C2有个不同公共点．
点评：解决本题的关键是利用二倍角公式整理出函数y=-cos2x
4．D
【解析】
试题分析：对于A，因为 ，所以当 时， ，所以命题p
正确，则 是假命题，故A错；对于B，当x=-1时，可得出 ，所以是充分条件，故错；对
于C，其命题的否定应为“ ， ”，故错；对于D，根据对数函数的性质，可得正确，故
选D
考点：本题考查判断命题的真假