数学实验系列

数学实验系列@北邮

实验一、伪随机数的产生

现实世界中大量事件的发生是具有随机性的，与之相适应，在数学建模时通常将这类问题刻画为随机性模型——计算机模拟是解决随机性模型的一种重要方法，因此，我们希望利用计算机通过模拟的途径产生服从某种规律的实验数据。大多数编程语言均提供了产生一些常用随机变量的发生函数，但由于利用计算机产生的“随机数”仍然是基于某种确定的数学规则，所产生的“随机数”只是在表现上具有我们所期待的某些“随机特征”，因此，我们通常也将由计算机构造的“随机数”为“伪随机数”——但在这里需要强调的是这些伪随机数发生程序在计算机模拟中是一种重要的资源，在科学研究甚至日常生活中经常被加以利用。

在所有伪随机数发生程序中，产生某一区间上服从均匀分布的浮点数程序是最为基本的，因为服从其它规律的随机数发生函数通常是先产生一些服从均匀分布的浮点数然后通过变换的方式得到。

在这里介绍的伪随机发生函数是基于Mathematica语言给出的：

1．产生区间上服从均匀分布的浮点数：；

2．产生区间上服从均匀分布的整型数：；3．产生服从指数分布（为一参数）的浮点数：首先产生区间上服从均匀分布的浮点数，然后令；

4．产生服从标准正态分布的浮点数：连续产生12个（“大量”）产生

区间上服从均匀分布的浮点数，然后令（这是基于中

心极限定理给出的）；

5．你可以试着按照概率0.5、0.3、0.2产生数1、2、3；进而将之推广为一种产生一般的离散型随机变量的方法。

实验二、0.618法与二分法

许多应用问题可以被归结为一个最优化或者方程组的求解问题，对于一元函数的最优化问题，0.618法因其思想朴素数值表现稳健等特点而被广泛利用，而对于一元非线性方程的求解问题，二分法享有的地位是类似的。

一．法

这里设为区间上的单峰函数，（即黄金分割数，，算法由此得名），

步1：令，，，，，，以及精度要求；

步2：若，输出：为近似最优解，为近似最优目标函数值，停止；

步3：若，，，，，，转；步4：，，，，，转；

例：用法求解，解的初始存在区间取，这里要求在近似解的误差不超过。

二．二分法

这里设为区间上的连续函数，，求解，步1：令，，，，以及精度要求；

步2：若，输出：为近似解，停止；否则，，；步3：若，，，转；

步4：，转；

例：用二分法求解在区间取的一个数值解，这里要求在近似解的误差不超过。

实验三、分段常值函数的间断点

下面的例子可以作为学习用Math语言定义一般（复杂）函数的例子，学生在练习过程中除了学习Math编程外，还可以对近似计算的概念和特点形成初步认识：

例、设某函数为一分段常值函数，试根据其特点，构造适当的算法，在指定精度要求下，搜索其间断点。不妨取

精度要求分别取0.1、0.01、0.001、0.0001、0.00000001，在区间内搜

索函数的间断点。

一个算法的是否有效，通常可以通过分析所开发的算法是否充分利用了与所处理算例相关的问题类具备的特点而做出粗劣地判断。以上算例具备特点：

1．对，在之间存在间断点，当且仅当；

2．对，当时，只能判断在之间存在间断

点，但其数目却不能做出判断。

有兴趣的同学可以参阅CUMCM1997B题，当调整刀具费用是某个区间上的一个变量时，讨论最优的截断切割策略和费用时，可以通过定性地判断，最优的截断切割策略相对于调整刀具费用具有类似于分段常值函数的特点，而提交答案的关键是能够将相应的间断点找到。

实验四、非线性交调的设计

如果不考虑信噪比，CUMCM1993A题可以如下模型进行分析：

（P）

问题一、试将如下命题补充完整，即先确定命题中常数r的值，然后给出论证过程：

命题：设，则

是（P）的两组最优解，且最优目标函数值为。

问题二、考虑从数值计算的角度应当如何判断某一闭区间上的两个函数恒等。实验五、自动化车床管理

本实验基于CUMCM1999A题，用计算机模拟的方法解决最优的零件检测间隔和换刀间隔。这里讨论最简单的情形：

1.（问题1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零

件均为合格品；

2.等间隔检样，每连续生产个零件进行检测一个，一把新刀具即使

在未发生磨损故障，但连续加工够个零件时强行废弃。

这时，根据大数定理和期望值准则，取一足够大整数，从一正常工序切刀具为新的状态下开始生产零件，直到加工够个零件时为止。期间，记

录每生产一个零件时工序的状态（车床有无故障，刀具有无缺损，刀具连续加工零件个数），每加工一个零件，按照刀具以及车床的寿命分布改变其状态，另外，对工序状态的影响因素还有当更换刀具或者对机器的彻底维修等情形；在工序正

常的情况产出合格品，工序故障时产出不合格品，记录总的合格品数以及总的生产费用，以（这里，由于足够大，在具体求解时对和其数学期望不加区别）作为策略的评价指标，对之求最

小。在求解时可以对采用坐标轮换法。

以上是一个典型的计算机模拟求解的思路，利用计算机模拟通常具有算法描述相对简便和编程实现容易的优点，在许多应用问题的求解中广为采用。

你试着给出以上思路的具体算法描述，并编程实现之。

进而考虑如下情形：

1．考虑正常工序可以生产出废品零件，而工序有故障时却有可能生产出合格零件的情形；

2．考虑不等间隔的产品检查，首先给出你认为可能会更为合理的取样方式以及工序诊断结论合理定义，类似前两问，给出相应的最优方案。

实验六、车灯的反射光斑

CUMCM2002A题车灯线光源的优化设计是一个适宜用计算机模拟的方法加以处理的问题，除了题中已知条件外，再做如下假设：

1．以镜面焦点为坐标原点，过镜面顶点与焦点连线为一坐标轴，灯丝所在直线为一坐标轴，建立空间直角坐标系；

2．一点的光强对于来自不同光源的照射具有可加性；

3．车灯的设计功率取定，不妨设为“1”，线光源材质匀称，发光时功率的分布（功率的线密度）均匀；

4．灯丝可以被视作一串点光源组成，一点光源发光在真空中传播时，能量在以该点光源为球心的球面上均匀分布。

记灯丝长为，分别表示在灯丝上距原点处单位功率的点光源，发光经反射后到达点处的光强；分别表示线光源，发光经反射后到达点处的光强。根据题意，可建立如下模型：

如果通过计算机模拟，与车灯的反射光斑可以同时算得：1．取足够大数表示“总的光线数”，每一条光线被限制在灯丝上按照均匀分布随机产生其发射点、以及按照球面上的均匀分布产生发射方向，考虑镜面反射，求反射光线与屏的交点，这些点构成车灯的反射光斑，取适当大数，以落在点以为半径邻域内反射点的个数作为点处的反射光强。若采用一维搜索，可以求得模型的最优解。