第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法
赵海林张纬纬
摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.
关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式
1引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧•由于第二型曲面
积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当
困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用
2预备知识
2. 1第二型曲面积分的概念
2.1.1 流量问题(物理背景)
设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 )的速度为
v v v v
v(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k,
刀是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面刀一侧流向另一侧的流量若为平面上面积为
S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量
v v v v
n cos i cos j cosk
则
v v v
S v cos S v n.
若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量
(1) 分割
将任意分成小块S i(i 1,2…,n), S同时代表其面积•
M i( i, i, i) S 以点M j处的流速v i v(M i)和单位法向量^分别代替
(2) 近似
S i 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过S i指定侧的流量的近似值：
v v
S i v i n i (i 1,2,…,n).
(3) 求和
n v v
V i n i S i
i 1
(4) 取极限
n v v
设T| i吧｛ S的直径｝,则=常。

v i n i S i.
i 1
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分
2.1.2 定义
设P, Q, R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割T,它
把S分为n个小曲面S,S2,…，S n,分割T的细度||T||7：蔦｛S的径｝,
T m&｛ S i的直径｝, S yz, S i zx, S xy,分别表示S i在三个坐标面上的投影区域
的面积，他们的符号由S i的方向来确定若S i的法线正向与z轴正向成锐角时，
S在xoy平面的投影区域的面积S xy为正•反之,若S法线正向与z轴正向成钝角时，他在平面的投影区域xoy勺面积S xy为负在各个小曲面S i上任取一点(i, i, J
n n n
若|T| 0 P ( i, i, i ) S yz Ul 0 Q ( i, i , i ) S zx |T| 0 R ( i, i, i) S xy 存在
i 1 i 1 i 1
且与曲面S的分割T和(i, i, i)在S i上的取法无关，贝V称此极限为函数P, Q, R.在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
或者
P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S S S '
据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
v (P,Q,R)在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
P(x, y, z)dxdz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
又若，空间的磁场强度为(P(x, y,z),Q(x,y, z), R(x, y,z)),则通过曲面S的磁通量
H P(x, y,z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x,y,z)dxdy
S
若以s表示曲面s的另一侧，由定义易得
P(x,y,z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
P(x,y,z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
2. 2第二型曲面积分的性质
性质1 (方向性)设向量值函数V在定向的光滑曲面S上的第二型曲面积分存在.记S为与S取相反侧的曲面，则V在S上的第二型曲面积分也存在，且成立
v ndS v ndS •注意这个等式两边的n是方向相反的•
S S
性质2 (线性性) 若Pdydz Q j dzdx Rdxdy (i 1,2,…，k)存在，则
S
有
k k k k
(cP)dydz ( qQJdzdx ( qR)dxdy= c Rdydz Q i dzdx Rdxdy,
S i 1 i 1 i 1 i 1 S
其中C (i 1,2, , k)是常数•
性质3 (曲面可加性)若曲面S是由两两无公共内点的曲面块S1,S2,— , S k所组成,且
P(x, y,z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy (i 1,2 , k)
S
存在，则有
P(x,y,z)dxdz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
k
P(x, y,z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
i
1
S
2.3第二型曲面积分的数量表达式
、uv
设 A(x, y,z) { P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x,y,z)}
v
n {cos ,cos ,cos }, 则
uv v
A(x, y, z) ndS (Pcos Qcos Rcos )dS
其中dS 是曲面S 的面积元素.
uv v
记 dS n dS {cos dS,cos dS,cos dS} {dydz,dzdx,dxdy}，称 dS 为曲面 S 的面积微元向量•则
uv v uv
A ndS A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy,
从而
uv v
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
S
•
uv v
即 A(x,y, z) ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy dydz 是 dS 在 yoz 面上的投影；
S
S
'
dzdx 是dS 在zox 面上的投影；dxdy 在dS 在xoy 面上的投影.他们的取值可正、
可负、也可为零.如当cos 0时，dxdy 取符号.
特殊形式：
P(x, y, z)dydz 称为P 对坐标y, z 的曲面积分；
S
Q(x, y, z)dzdx 称为Q 对坐标乙x 的曲面积分；
S
R(x, y, z)dxdy 称为R 对坐标x, y 的曲面积分.
S
2.4 介绍两类曲面积分之间的联系
与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系
.设
S为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行.因而有
. n
R(x,y,z)dxdy 0 R( i , i , i )
S
i
1
1
由曲面面积公式
s
dxdy ，其中 是曲面S i 的法线方向与 z 轴正向
S
COS
i xy
的交角，它是定义在S 上的函数•因为积分沿曲面正侧进行， 所以 是锐角•又由S 'xy 是光滑的，所以cos 在闭区域S i 上连续•应用中值定理，在 S 内必存在一点，使 xy xy
这点的法线方向与
z 轴正 向的夹角
1
i 满足等式 S
cos i
S 或
xy
S i cos i S .
xy
于是 R( i ，i ，i ) S xy
R(
H i i i
)cos i S • n 个部分相加后得
n
i R( i
1
,i , i ) ' S xy
n
R(
i , i , i )cos i
S
i
i 1
(2)
现在以cos i 表示曲面S 在点 任孑再）的 法线方向与z 轴正向夹角的余弦，则由
cos 的连续性，可推得当ITII
0时，（2）式右端极限存在.因此由（1）式得到
Q(x, y, z)dzdx
S
Q(x, y, z)cos S
dS
(3) 这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符
号
■，右边积分中角 改为
•因
而cos 也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号
同理可证：
P(x,y,z)dydz
S
P(x, y,z)cos S
dS
Q(x, y,z)dzdx
Q(x, y,z)cos dS
S
S
(4)
其中，分别是S 上的法线方向与x 轴正向和与y 轴正向的夹角• 一般地有
P(x,y,z)dxdz S
Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy
[P(x,y,z)cos
Q(x, y, z)cos R(x, y, z)cos ]dS
S
（5）
这样在确定余弦函数 cos , cos
,cos 之后，由 (3),(4), (5) 式,
S
xy
(1)
便建立了两种不同类型曲面积分的联系
3介绍第二型曲面积分的多种计算方法
在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、 也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。

这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区 域，又要注意到曲面的侧；另一方面
，也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之
有效的方法•第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面 投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用
stokes 公式求解，利用积分区间对
称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解
3.1 直接利用定义法进行计算
若R(x, y,z)在光滑有向曲面S: z z x, y , x, y D xy 上连续,则
R(x, y, z)dxdy 存在,且有计算公式：
S
其中D xy 表示S 在xoy 面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“ ”号, 取下侧时取“
”号.这一公式表明，计算曲面积分
R(x,y,z)dxdy 时，只要把其中变量
S
z 换为表示刀的函数 z z(x, y),然后D xy 在S 的投影区域上计算二重积分，
并考虑到符
号的选取即可，这一过程可总结成口诀：
“一代二投三定向”.
类似地，如果曲面
的方程y y(z, x)，则
Q(x, y,z)dzdx
Q[x, y(z,x), z]dzdx
S
D zx
如果曲面刀的方程为
x x( y, z),则
P(x, y,z)dydz
P[x( y, z), y,z]dydz
S
D
yz
例1计算积分：
xyzdxdy
S
其中S 是球面x 2
y 2 z 2 1在第一、八卦限的部分，取球面外侧 .(如图1)
R x, y,z dxdy
S
R[ x, y,z x, y dxdy
xy
解设
S
1
2 ,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为
：
1 :
z 1= 1 x 2 y 2
2 :
Z 2=— 1 x 2 y 2
它们在xoy 面上的投影区域 D xy 都是单位圆在第一象限的部分
y 2dxdy
xy
2]d 「｛cos sin 1『dr 2 15
计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆 ，第二型曲面积分是按
一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口 诀：
“一代二投三定向” •请看下例： 例2计算：
I
x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ，
S
（如图2）.
\ 1 y 2 z 2 ,取前侧，由 x 2 y 2 z 2 1,x 2
xyzdxdy
S
xyzdxdy + xyzdxdy
xy 1 x 2 y 2dxdy
D xy
(xy 1 x 2 y 2)dxdy
D xy
其中曲面S 为球面x 2
y 2
z 2
1限于x 2
2
y x 0， z 0内的部分外侧
对于 x 2dydz ，要将S 投影到
S
yoz 面上，且 S 方程表示
研究生入学考试重点考点
y z1 z 2，因此投影区域 Dyz :— Z.1 Z y z J z 2，于是
x 2 dydz
S
(1 y 2 z 2)2dydz
D yz
1
z j l z 2
2
2
2 0dz 0
(1 y z )dy
3 3
1
2 2 1 3
2
2 0[z(1 z )2
-z (1 z) ]dz
o
38 105
计算
y 2dzdx ,要将S 投影到zox 面上，此时S 方程表示为
S
y . 1 x 2 z 2(不是单值的)，再把S 分为左片(即y 0的部分)且取左侧和右片
(即y 0的部分)且取右侧，S 在zox 面上投影域为 D zx : ■. 1 x < z < . 1 x 2 (注 意投影区域不是一条曲线)，因此
y 2dzdx
S
y 2dzdx
S 左
y 2dzdx %
zx
对于
z 2dxdy ,要将S 投影到xoy 面上，投影域为D xy : x 2 y 2 0，此时S 方
S
程应为 z . 1 x 2 y 2，且取上侧，于是 z 2dxdy =
(. 1 x 2 y 2)2dxdy =
S
D xy
(.1 x 2 z 2)2dzdx +
C 、1 x 2 z 2 )2 dzdx
zx
cos 2
2 02
d
(1
r)rdr
2，故I 聖总
32
105 32
研究生入学考试重点考点
3.2 利用参数方程的计算方法
如果光滑曲面S 由参数方程给出:
S ： x x(u, v), y y(u , v), z z(u , v ),( u , v) D .
若在D 上各点他们的函数行列式
(y ,z) (z ,x) (x ,y)不同时为零，则分别有
(u,v) (u,v) (u,v)
Pdydz
P(x(u,v), y(u,v),z(u,v))-
(y
，z)dudv
S
D
(u,v)
(1)
Qdzdx
Q(x(u,v), y(u,v),z(u,v))-
(z
，x)dudv
⑵
S
D
(u,v)
Rdydz
R(x(u,v), y(u,v), z(u,v))-
(x
，y)dudv
⑶
S
D
(u,v)
注 (1),(2),(3)三式中的正负号分别对应曲面 S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向
对应于曲面S 所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号
P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
P(x(u,v), y(u,v), z(u,v))
D
Q(x(u,v), y(u,v),z(u,v))
D
R(x(u,v), y(u,v),z(u,v))
D
駕 dudv
研究生入学考试重点考点
所以
P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
P(x, y, z(x, y))( z x ) Q(x, y,z(x, y))( Z y ) R(x, y, z(x, y))dxdy
D
由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用 的方法更简便•
F 面举例说明: 例1 计算
x 3dydz ，
S
2 2 2
其中S 为椭圆面笃占二
a 2
b 2
c 2
解把曲面表示为参量方程:
(0 -,0 2 ).
由(1)式有
x 3
dydz
3・3 3
a sin cos
Jd d ,
S
D
其中
J
(,)
bcos sin csi n
bsin cos
= bcsin 2 cos
积分是在S 的正侧进行•由上述的注，(4)式右端正号，即
x 'dydz
S
a 3sin 3 cos 3
bcsin 2 cos d d
D
例如若S 为：z Z x,y ,X y)
D ，则S 可以看成参数为x, y 的参数方程确定的曲面, 则由于
(y,z)
(x, y)
Z x ,
(z,x) (x,y)
Z y ，
(x, y)
(x, y)
1的上半部分并选取外侧
x a sin cos ,y bsin sin ,z ccos
例2 计算积分
S为曲面15 (X 2)2
16
,v z ,
3 5
2
a bc 2sin d
a'bc
cos4d
xdydz
、o S (x2 y2
ydzdx zdxdy
3 ，
z2)2
(y
为曲面1 -
5 xdydz ydzdx zdxdy
(x2
从而
计算
其中S是球面x2
3
z2)2
卫的上侧.
9
(x 2)2
16
xdydz
o
S (x2
z2
解1 S可表示为z
其中
2
z cos , y R2z2sin , z
口的下侧.则
9
z cos
R2z2
3cos R3
一R2z2sin
z
R3
0 dz
1
R R dz.
ydzdx zdxdy ?
3
y2z2f
yzdzdx
S
1的上半部分并取外侧为正向
x2(x,y)
D {( x, y): x21
}
y 2dxdy
1r 3
sin 2 dr
yzdzdx
S
4
本例计算虽然简单，但不难看出用公式(4)计算时不必对S 分划并讨论符号代之 以在zox 平面上二重积分 例4 计算
I
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
S
其中, S 是球面(x a)2
(y b)2 (z c)2 R 2，且设积分是沿球面外侧
解 S 可表示为
由于积分按 S 上侧进行，且J
(x, y) = 1 (x,y) 0
=1,故(4)式应取正号,
(乙x)
2x
2
x
所以 yzdzdx
S
y
~2
y
.1 x 2 y 2
—]dxdy y
2,0
所以
(乙
x)
sin cos cos
sin cos
0 sin sin
,y sin .2
sin
sin , z cos ，
sin
2d
sin cos cos
2
si n 3
cos
2
sin
x a Rsin cos , y b Rsin sin , z c Rcos
,0
因为
设光滑曲面S : z z(x,y),(x,y) D xy ( D xy 是S 在xoy 平面上的投影区域)，
函数 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y, z)在 S 上连续，z 偏导数，则
若S 的方程为x x y,z ，y y z ，x ，也有类似的公式：
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
[P(x,y,z) Q(x, y,z)( X y ) R(x, y,z)( X z )]dydz ；
D yz
当S 取前侧时，上式右边取号；当 S 取后侧时，上式右边取负号 .
由于在第一象限积分按上侧积分,
R 2sin cos
0 ,故(4)应取正号.
z 2dxdy
(c Rcos )2 R 2
(c 2
sin cos
2
2cR cos sin
R 2sin cos 3 )d
R 3c
3.3
x 2dydz
类似可求得
13
d
2
(a
Rsin cos
2
8
y dzdx =-
3
R 3b ，所以I 单一坐标平面投影法
)2R 2s in 2
I 1 I 2
cos 8 R 3a d =—
3
8 R 3
I 3
3 (a b c).
z(x, y)在D xy 上具有一阶连续
P(x,y,z)dydz S
Q(x, y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy
[P(x,y,z)( z x )
D xy
Q(x, y, z)( Z y ) R(x, y, z)]dxdy ，
当S 取上侧时，上式右边取正号；当 S 取下侧时，上式右边取负号
P(x,y,z)dydz S
Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
[P(x, y,z)( y x ) Dzx 当S 取右侧时，上式右边取正号；当 Q(x,y,z) R(x,y,z)( y z )]dzdx . 例1 计算积分 (y z)dydz S S 取左侧时, (z x)dzdx 上式右边取负号 (x y)dxdy , 其中S 为圆锥面x 2
2 2
z y 介于0 y h,z 0部分的上侧.
解S 的方程为 y x 2 z 2，取左侧，则 原式 (
y z)( y x ) (z x) (x y)( y z )dzdx S
x(y ^z(x_y)
▽ x)]dzdx
2(z S
x)dzdx
其中S 为锥面 2 2 d
~2
h r cos rdr
(y z)dydz S 2 2
.x y (0 z (z x)dzdx (x y)dxdy ， h)部分的正侧. ~~2 2
、
x y (0 z h)，则 Z x 一2， v x y
Z y y
又S 在平面上的投影 D : x 2 y 2 h 2.因为S 取下侧，所以 [(
y ■-x 「2 G x? V x y x) (x y)] dxdy
2 (x y)dxdy
D
最后一个等号用到二重积分的对称性质
分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性:
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
S
S
S
S
分别将右式三项投影到 yoz, zox, xoy 平面.
上，由于
Pdydz
Pdydz, Qdzdx
Qdzdx,
Rdxdy
Rdxdy
S
D yz
S
D zx
S
D
xy
分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似 复杂，实则简单，非常实用.
计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个 完整的球投影到xoy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向 性等性质以简化计算. 例1 计算积分
° yzdydz zxdzdx xydxdy ,
S
其中S 是四面体x y z a a 0 , x 0, y 0,z 0的表面，外法线是正
向•
解 这是三个第二型曲面积分之和 .首先计算第二型曲面积分
° xydxdy ，而
S
曲面S 是由四个有向的三角形区域：
ABC 上,AOB 下，BOC 后，COA 左组成.其中BOC （后）与
xydxdy xydxdy 0 0 • D
D
同理可得
yzdydz zxdzdx 0 ,
S
S
于是
° yzdydz zxdzdx xydxdy 0•
S
3.4
分项投影法
COA 左在XY 坐标面的面积微元
dxdy 0 , ABC 上,AOB 下在XY 坐标面
的投影都是三角形区域 D x 0, y
0, x y
a 围成，从而
°xydxdy
S
xydxdy
xydxdy
ABC （ 上） AOB （下）
xydxdy
xydxdy
BOC （后）
COA （左）
例2 计算第二型曲面积分
I f(x)dydz g(y)dzdx h(z)dxdy ,
S
其中S 是平面六面体(0 x a,0 y b,0 z c)的表面并取外侧为正向,
f (x), g(y),h(z)为S 上的连续函数.
解记S i : x a
(前侧为正向)，S 2 : x 0
(后侧为正向)
积分 f (x)dydz 在另外四个曲面上的积分为零，故
S
h(z)dxdy ab[h(c) h(0)],
S
所以
f (x)dydz g(y)dzdx h(z)dxdy
S
bc[f(a) f(0)] ac[g(b) g(0)] ab[h(c) h(0)]
3.5 利用高斯公式(Gauss)化为三重积分的方法
格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲 面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式
定理：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成.若函数P,Q,R 在V 上 连续，且有一阶连续偏导数，则
其中S 取外侧，上式称为高斯公式 f (x)dydz f(a)dydz
S
D yz
由于变量的对称性，类似可得
g(y)dzdx f (0)dydz bc[ f (a)
f(0)]
D yz
ac[g(b) g(0)],
(上
x
)dxdydz
b Pdydz Qdzdx Rdxdy ,
S
例1
计算曲面积分
I (x y z)dydz [2 y
S
其中S 为曲面|x y z |y z x
解由题意得知，
P x y
sin(z x)]dzdx (3z e x y ) dxdy ,
z x y 1的外侧面，外法线为正向
z,Q 2y sin(z x), R 3z e x y ;
P Q R 利用高斯公式，―1,— 2,— 3，贝U
y z
R
)dxdydz (1
2 3)dxdydz 6 dxdydz.
z
V V
区域x y z y z x z x y 1.作旋转变换
u x y 乙v y z x, w z x y.则V为S包围的区域u v w 1，而V是一个对称的八面体，它在uvw平面的第一卦限部分为u v w 1及坐标平面
u 0,v 0,w 0所围成的区域，且有
1 1 1
(u,v, w) 1 1 1
4,j (x,y,z) 1 1
(u,v,w) 4
(x, y,z)
1 1 1 (u,v,w)
(x,y,z)
所以
I 6 1
—dudvdw
c 1 c 1 1
6 — 8 —— 1 2.
|u| iv |w| 14 4 3 2
例2设f(u)有连续导数，计算
A x3dydz [丄仁丫)y3]dzdx [^ f (-) z3]dxdy ,
S z z y z
其中S为z 0的锥面x2 y2 z20与球面x2 y2z2 1 , x2 y2 z24所围立体的表面外侧(如图所示).
解因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面S为闭
曲面，考虑用高斯公式•
•- P x3, Q 1 f (^)
z z y , R — f (') z在所围区域V上满足咼斯公式的条y z
为S包围的
x R
cos
R
cos
cos
件(z 0的点不在V 内)，故有
I
[3x 2 —f'P) 3y 2 1 f '(-y )(耸 3z 2]dV
V z z y z z
2 2 2
3(x y z )dV
V
2 2
3
r r sin drd d
V
3.6 利用两类曲面积分之间的联系
P(x, y, z)dxdz Q(x,y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
[P(x, y,z)cos Q(x, y, z)cos R(x, y, z)cos ]dS
S
只要能够求出曲面的法向量 (而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的)
，就可以
求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看 下例： 例1 计算积分
所以
2 ・
sin 0
r 4
dr
其中S 为半球：x 2
部分•( 如图所示)
(y z)dydz (z x)dzdx (x
S
2 2
z 2Rx ，(z 0)被柱面
x
S 的法向量为:
y)dxdy ，
2
y 2rx ，
(R 0)截下的
iu
o n {
x R (x R)2 y 2
= y z 2 , (x R)2
z 2
z ，
(x R)2
y 2 z 2)
v
{x R,y,z)，方向朝上，单位化得:
研究生入学考试重点考点
由两类曲面积分之间的关系式，有
I (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy
S
(y z)x R (z x) y (x y)z ]dS
S
R R R
(z y)dS
S
积分曲面关于y 0对称，所以
ydS 0
S
2
zdS Rcos dS R dxdy R dxdy R r ，
S
S
S
D xy
I
Rr 2
例2计算
I [x f (x,y, z)]dydz [f(x,y,z) y]dzdx [3f(x,y,z) z]dxdy ，
S
其中f (x, y,z)为连续函数，S 是平面2x y z 1在第四象限部分的上侧(如图所 示).
解 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看 能否消去抽象函数•
S : 2x y z 1， S 上任一点法向量的方向余弦为
由第一类与第二类曲面积分的关系，有
cos
2 ,6,cos 1 .6,cos
I {[x f(x, y, z)]cos
S
[f (x, y, z) y]cos
[3f (x, y, z) z]cos }dS
2
{[ x f(x, y,z)]扁 [f (x, y, z)
y](,；)
[3f (x, y,z) z] dS
研究生入学考试重点考点
解本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更为
x cos ,cos
r
由第一、二类面积分的关系，得
0 ~2(cos 2
cos 2
cos 2 )dS
S
r
d7dS S I
丄dS
a
x
0 jdyd
z
S I 生 dzdx r
z
— dxdy
r
r x
0{
/COS S
I
当cos
r
-^3cos }dS r 1 \6 S (2x y z)dS
1 .6 S
dS
y/6 D
xy
6dxdy
xy
1 2 1 4
dxdy
例3 计算闭曲面积分:
井
dydz
生 dzdx
r
刍 dxdy ,
r
其中r
,x 2
y 2
z 2
, S 是球面 x 2
y 2 z 2
2
a 外侧表面
方便.因为球面外侧法向量rn
{2 x,2y,2z}，其方向余弦
注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算
3.7 利用Stokes 公式化为第二型曲线积分
斯托克斯（Stokes ）公式是建立沿空间双侧曲面 S 的积分与沿S 的边界曲线L 的 积分之间的联系.
定理：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数 P,Q,R 在S （连 同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则
其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定
v
构成右手系•
例1计算
令 x 3cos , y 3sin , z
3.8 利用积分区间对称性的计算方法
若积分曲面S 关于x,y,z 具有轮换对称性，则
f (x, y,z)dydz
(-R —)dydz (-P —)dzdx S y z z x
(-Q —)dxdy ?Pdx Qdy Rdz ， x y
若diw 0，则存在向量势
a ,使得
rota ，故
(v n)d
S
(rota S
n)d
?C @
v )ds .
其中S 为以C 为边界线的分片光滑曲面，且 S 指定侧的单位向量 n 与C 的环行方向
其中S 是球面x 2+y 2 z 2
解边界曲线C 为z
(rota n)d
S
(rota S
n)d ，
9的上半部分, 0平面内一圆x 2
)d
C 是它的边界，a
2yi 3xj z 2k .
y 2 9，则
c 2ydx 3xdy
z 2d z .
2
原式=2
(9sin 2
)d
2
9cos 2 d 9
f (y,z,x) dzdx
S
f (z, x,y) dxdy
S
f (x, y,z)dydz f (z,x, y)dxdy f (y, z, x)dzdx . 3 S
若曲面S关于xoy(yoz或zox)平面对称，且S在xoy(yoz或zox)平面上半空间的部分曲面S|取定为上侧(前侧或右侧)，在xoy( yoz或zox)平面下半空间的部分曲面取定为下侧(后侧或左侧)，则
f (x, y,z)dxdy 0,
S
f (x, y,z)dxdy=2 f (x,y, z)dxdy，
S S
f (x, y,z)dydz 0，
S
f (x, y,z)dydz = 2 f (x, y, z)dydz，
S S
f (x, y, z)dzdx 0，
S
f (x, y,z)dzdx=2 f (x,y, z)dzdx，
S S
例1求第二型曲面积分f (x, y,z)关于z为偶函数，f (x, y,z)关于z为奇函数；f (x, y,z)关于x为偶函数, f(x, y,z)关于x为奇函数；f (x,y,z)关于y为偶函数, f (x, y, z)关于y为奇函数.
dydz S X
dzdx
y
dxdy
，z
2 2 2
其中S为椭球面与吿电
a b c
解
则有
注意到被积曲面关于x, y,z具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分,
1 1
dzdx dxdy = 11 y
z
12 I3，
13 dxdy
z
S2
dxdy
z 2
x
a2
2
x
a2
由轮换对称性知I 1
业坯,I 2
业竺，故
S
X a
S
y b bc ac ab I i I 2 I 3
4(
).
a b c
3.9
第二型曲面积分的向量计算形式
据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系：
uvv Pdxdz Qdzdx Rdxdy [Pcos Qcos Rcos ]dS
AndS,
S
S
S
uv V
其中 A={P,Q,R} ,n {cos ,cos ,cos }为有向曲面
位法向量，dS 是曲面的面积微元，正好符合第二型曲面积分的物理意义
.又因为两
uv v uv V
个向量值函数的数量积 An 是一个数值函数，所以 A ndS 是第一型曲面积分，当
S
曲面S 方程为z f (x, y)上侧时，单位法向量为
计算过程中，计算量较大的因子.1 ( f )2 ( f )2肯定要被约去，实际不需要计算, 所以第二曲面积分
P(x, y, z)dxdz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
V V V f V f V V (Pi Q j R k) ( i j k)dxdy D x y xy
uv V A ndS
xy
整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小
作广义极坐标变换x
I 3
ar cos
y brsin ；
abrd dxdy . y 2 b 2
abr , dr
4ab
S 上点(x, y,z)处的单
，曲面面积微元为
f 2
(一)dxdy ，这就是说在此 y
I xdydz
ydzdx zdxdy
I
S
(x
2 2
y z
3
其中S 为球面x 2 y 2 z 2 R 2的外侧.
解 此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算，则需要计算六个二重积 分，较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求，被积函数的分母在原点等于零， 不能直接对球体X 2 y 2 z 2 R 2和它的边界S 运用高斯公式，因此需要以原点为中 心，某个充分小的正数
为半径作球面S : X y 2 z
2
，内侧为正，用V 表示
2222 2 2 2 2
球面x y z R 与球面S : x y z 围成的空间区域.对空间区域
V 和它的边界SUS ，运用高斯公式，最后可化为
xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
其中
3
3
S
y z )2 (x y z )2
还是和原第二型曲面积分一样，利用向量形式计算则较为方便
.
xdydz ydzdx zdxdy
S
S
(x 2
(x 2
3
y 2 z 2
f
iv v
A ndS ，
S
u v
A (x 2
v 3 (xi 2
2辽
y z )
v yj
v
zk)， n —(xi yj zk)， z
xdydz ydzdx zdxdy
3 z 2
2
2 ?
(x y z )
S
(x 2
v v v v v yj zk)(xi yj
zk)dxdy
x 2 y 2
1 R 2
Rdxdy
1 R 2
4 R 2
研究生入学考试重点考点
利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算，避免了传统计算方法对曲面侧的判定和高斯公式条件的限定，且计算过程运算量较大的因子、1
( f)2( f )2可以不需计算，所以其显著优点是物理意义明
V x y
确，计算过程简单，适用于所有的第二型曲面积分的计算，值得掌握。