求定积分的原函数

求定积分中被积函数的原函数

利用微积分基本定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足()()F x f x '=的函数()F x .如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若()()F x f x '=，则被积函数()f x 的原函数为()F x c +（c 为常数）.

类型一 被积函数为基本初等函数的导数

求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基本初等函数的导数公式，找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知：若()f x 是被积函数，()F x 为原函数，则有：

若()f x k =，则()(,F x kx c k c =+为常数）；

若()m f x x =，则11()(1,1m F x x c m m m +=

+≠-+，c 为常数）； 若1()f x x

=，则()ln (F x x c c =+为常数）； 若()x f x e =，则()(x F x e c c =+为常数）；

若()x

f x a =，则()ln x

a F x c a =+（其中0,1,,a a a c >≠为常数）； 若()sin f x x =，则()cos F x x c =-+（c 为常数）；

若()cos f x x =，则()sin F x x c =+（c 为常数）.

例1 计算以下积分：

（1）2

2

11(2)x dx x -⎰；（2）30(sin sin 2)x x dx π-⎰. 分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会比较熟练地找出相应的原函数.2x 的一个原函数为313x ，1x

的一个原函数为ln x ；sin x 的一个原函数为cos x -，sin 2x 的一个原函数为1cos 22

x -. 解：（1）函数212y x x =-的一个原函数是32ln 3

y x x =-， 所以2122311216214(2)(ln )(ln 2)(ln1)ln 23333

x dx x x x -=-=---=-⎰. （2）函数sin sin 2y x x =-的一个原函数是1cos cos 22

y x x =-+，

所以3

03

011111(sin sin 2)(cos cos 2)()(1)22424

x x dx x x ππ

-=-+=----+=-⎰. 评注：在求这种类型的定积分时，要熟记基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，利用这些公式的逆运算便可求出原函数.在计算定积分时我们一般取0c =时对应的原函数，这样可减少运算量.

类型二 被积函数为分段函数

根据定积分的定义以及微积分基本定理，定积分可以分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的原函数，必须根据被积函数的定义在不同区间上进行求解，然后根据定积分的运算法则进行计算.

例2 求下列定积分：

（1）21|32|x dx -⎰；（2）0()f x dx π⎰，其中42,[0,]2()cos ,(,]2

x x f x x x ππππ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩. 分析：这两个小题实质上都是求分段函数的积分，可以利用定积分的性质，根据函数的定义域将积分区间分成几段，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.

解：（1）∵323,2|32|323,2

x x x x x ⎧-+≤⎪⎪-=⎨⎪->⎪⎩， ∴32213232222231121|32|(32)(32)(3)(3)2

x dx x dx x dx x x x x -=-+-=-+-=

⎰⎰⎰. （2）2200022

()()()(42)cos f x dx f x dx f x dx x dx xdx πππππ

πππ=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 2

02222211(22)sin 0sin sin 1222

x x x πππ

ππππππ=-+=-++-=--. ∴201()12

f x dx ππ=--⎰. 评注：分段函数在不同的取值范围内对应不同对应法则的一个函数，不是多个函数，所以求解这类函数的原函数时，要根据分段函数的定义，把被积函数分解到不同的区间内，分别求出原函数，然后利用定积分的运算性质，把不同区间内的定积分求和即可.

类型三 被积函数为积或商的形式

这种形式中的被积函数，很难直接求出原函数，需要对被积函数进行化简，转化为一些基本初等函数的导数的和或差，然后利用定积分的运算性质进行求解.

例3 求22

2

1(1)(3)3x x dx x +-⎰. 分析：该积分中的被积函数式比较复杂，无法直接求出原函数，所以应先化简，转化为一些被积函数的和或差，然后求定积分. 解析：∵232222(1)(3)3311113333x x x x x x x x x x

+-+--==+--， ∴22

222222

22111111(1)(3)11111111()()()()33333x x dx x dx x dx dx dx dx x x x x x +-=+--=++-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222

11112111()()ln ()63x x x x =+---1111ln1ln 2ln 22323

=++--=-. 所以22

21(1)(3)1ln 233

x x dx x +-=-⎰. 评注：这种类型的定积分，仅限于被积函数由基本初等函数的导数进行简单的加、减运算得到，可通过化简转化为几个被积函数的和或差的形式，根据定积分的运算性质，原函数就等于化简后的几个被积函数的原函数的和或差.对于较为复杂的被积函数的原函数的求解，要等到我们进入大学深造进一步研究.