三角形、梯形中位线定理练习题

《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计

一、复习题组 1．知识要点

(1) 如图1，三角形中位线性质定理的条件是，结论是；三角形中位线判定定理的条件是，

结论是。（图1） (2) 如图2，梯形中位线性质定理的条件是，结论是；

梯形中位线判定定理的条件是，

结论是。（图2） 2．基本方法

三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？

(1) 全等三角形对应边相等；

(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； (3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4) 角平分线上的点到角的两边距离相等； (5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

(6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质； (8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。

系统小结，深刻理解

二、基本题组

1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是； 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。 8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。

9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形

12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为，面积比为。 13．如图3，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = 。

14．如图4，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18，则DD'= ，EE' = 。

15．如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，EE' // FF' // BC ，分别交CD 于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。

（图3）（图4）（图5） 16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）

A ．相等且平分

B ．相等且垂直

C ．垂直平分

D ．垂直平分且相等 17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

三、教练题组

例1．已知：如图6，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□

DC 的延长线交EB 于F 。

求证：EF = FB 。

〖注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；

〖注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图6）

(1) 延长EC ，交AB 于点G （如图7）；

(2) 延长EC ，交BA 的延长线于点G （如图8）； (3) 连结AE ，交CD 于点G （如图

9）；

(4) 过点E 作EG ⊥AB ，分别交DF 、AB 于G 、H （如图10）；

(5) 过点

E 作EG//CD ，交AD 的延长线于G （如图11）；

(6) 过点F 作FG//AD ，交AB 于G （如图12）； (7) 过点F 作FG//AC ，交AB 于G （如图13）；

(8) 过点B 作BG//AD ，交CF 的延长线于，连结EG （如图14）。

（图7）（图8）（图9）（图10）

（图11）（图12）（图13）（图14）

〖注〗重点研究图7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。

例2．已知：如图15，在△ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，延长AB 到D ，使BD=AB 。求证：CD=2CE 。

证法一：取AC 的中点F ，连结BF （如图16）。

证法二：过点B 作BF//CE ，交AC 的延长线于F （如图17）。

证法三：延长CE 到F ，使EF=CE ，连结FA 、FB （如图18）。（图15）

（图16）（图17） D

例3．已知：如图19，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 是BC 的中点。求证：AB=2DE

分析：(1) 要证AB=2DE ，只需证等于AB 一半的线段等于DE 或等于DE 的2倍的线段等于AB 。 (2) 找等于AB 一半的线段有三种方法：

一是只取AB 的中点，但这不利于问题的证明；（图19）二是构造以AB 为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF ；三是构造以AB 为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE 。证法一：取AB 的中点F ，连结DF 、EF （如图20）。（以下证明略）

证法二：取AC 的中点F ，连结DF 、EF （如图21）。

（以下证明略）（图20）（图21）

例4．（选讲）已知：如图22，BM 、CN 是△ABC 的角平分线， AE ⊥BM 于E ，AF ⊥CN 于F 。求证：EF // BC 。

分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线” （图22）和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。证明：延长AF 交BC 于G ，延长AE 交BC 于H 。（以下略）思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23）

结论是否还成立？如何证明？

（图23）

四、巩固题组

1．已知：如图24，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点， AE 的延长线交

AC 于F 。

求证：BE = 3EF 。（图24） 2．已知：如图25，在菱形ABCD 中，E 是AD 的中点，EF ⊥AC ，交AB 于G ，交CB 延长线于F 。

求证：GE=GF 。

（图25）

3．（选做）

已知：如图26，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、CD ，分别交FE 的延长线于M 、N 。

求证：∠BMF=∠CNF 。（图26）

一、复习题组

1．如图1，三角形中位线性质定理的条件是，

结论是；三角形中位线判定定理的条件是，

结论是。（图1） 2．如图2，梯形中位线性质定理的条件是，结论是；

梯形中位线判定定理的条件是，

结论是。（图2）

3．三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？

二、基础题组

1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是； 2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是； 3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是； 4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是； 5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。 6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是； 7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是； 8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。

9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。

12．已知D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，则△DEF 与△ABC 的周长比为，面积比为。 13．如图3，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = ；

14．如图4，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18，则DD'= ，EE' = ；

15．如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，EE' // FF' // BC ，分别交CD 于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。

（图3）（图4）（图5）

16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）

A ．相等且平分

B ．相等且垂直

C ．垂直平分

D ．垂直平分且相等 17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

三、例题题组

例1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，以AD 、AC 为边作□ACED ，

DC 的延长线交EB 于F 。求证：EF = FB 。

例2．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，延长AB 到D ，使BD=AB 。求证：CD=2CE 。

例3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 是BC 的中点。求证：AB=2DE

例4．（选讲）已知：如图，BM 、CN 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BM 于E ，AF ⊥CN 于F

。求证：EF // BC 。

思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？

四、巩固题组

1．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，AE 的延长线交

求证：BE = 3EF 。

2．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 是AD 的中点，EF ⊥

AC ，交AB 于G ，交CB 延长线于F 。求证：GE=GF 。

3．（选做）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、CD ，分别交FE 的延长线于M 、N 。求证：∠BMF=∠CNF 。