2020-2021学年江苏省扬州市高二上学期期末考试数学试卷
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（1）求实数 的值；
（2）若函数 在 上恰有两个零点，求实数 的取值范围.
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1． ，则
【解析】
试题分析：依据四种命题之间关系可得其否命题为“若 ，则 ”.
考点：四种命题之间的关系．
2．8
【解析】
试题分析：由题知,此算法表示函数 ，当 时，
（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在 轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为 、 ，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形 的面积是否为定值，并说明理由．
19．已知函数 在 处的切线 与直线 平行.
8．函数 的单调减区间为________.
9．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是___.（填写所有正确命题的序号）
① ， ， ；
② ， ， ， ， ；
③ ， ， ；
④ ， ， ．
10．已知函数 (a>0)，若f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是________.
④ ， ， 与 相交．
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
10．(0,1]
【解析】
f′(x)＝ ，
由题意f(x)为R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．
又a>0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1.
考点：正四棱锥的体积，侧面积
6．
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，可得出 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，所以 ，
因此双曲线的渐近线方程为
【点睛】
本题考查双曲线与抛物线的坐标，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，解题时要结合已知条件求出双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.
7．
【解析】
试题分析：设“方程 表示双曲线”为事件 数对 包含 6个基本事件，当 表示双曲线，包含3个基本事件，所以表示双曲线的概率
考点：古典概型及双曲线的方程
8．
【解析】
试题分析： ,令 ，即 ， ，解得
考点：利用导数判断函数的单调性，解三角不等式
9．②
【解析】
试题分析：① ， ，
②正确
③ ， ， 异面；
考点：程序框图
3．
【解析】
试题分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型；设两段的长都不小于 为事件 ，则只能在中间 的绳子上剪断，所以
考点：几何概型
4．1027
【解析】
试题分析：由流程图，第一次循环 ，第二次循环 ，第三次循环 ，结束循环，输出 .
考点：循环结构流程图Fra Baidu bibliotek
5．
【解析】
试题分析：正四棱锥的体积 ，解得， ，所以侧面高 ，则侧面积
16．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市 岁的人群抽取一个容量为 的样本，并将样本数据分成五组： ， ， ， ， ，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的比例
二、解答题
14．（本题满分14分）如图，斜三棱柱 中，侧面 是菱形， 与 交于点 ，E是AB的中点．
求证：（1） 平面 ；
（2）若 ，求证： ．
15．已知命题 实数x满足 ，命题 实数x满足
（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围;
（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
答案为：(0,1].
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
11．已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，其上一点 满足 ，则点 到右准线的距离为____________.
12．已知定义域为R的函数 满足 ，且 的导数 ，则不等式 .
13．已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为M， 的中点为N，原点 在以线段 为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若 ，则 的取值范围为
3．取一根长度为 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 的概率为_____.
4．如图，该程序运行后输出的结果为_______.
5．若正四棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则它的侧面积为________ .
6．已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_____．
7．从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一个数记为 ，则方程 表示双曲线的概率为_________
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设 ，将 表示为 的函数；
②设 （ ），将 表示为 的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．
18．（本题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为 ，右准线方程为： ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点 到定点 的距离的最小值为1，求 的值及点 的坐标；
【最新】江苏省扬州市高二上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．命题“若 ，则 ”的否命题是___________________．
2．如图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，则 =_______.
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
（1）分别求出 ， 的值；
（2）从第 ， ， 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 人，则第 ， ， 组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的 人中随机抽取 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有 人获得幸运奖概率.
17．（本题满分15分）如图，在半径为 的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为 ．
（2）若函数 在 上恰有两个零点，求实数 的取值范围.
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1． ，则
【解析】
试题分析：依据四种命题之间关系可得其否命题为“若 ，则 ”.
考点：四种命题之间的关系．
2．8
【解析】
试题分析：由题知,此算法表示函数 ，当 时，
（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在 轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为 、 ，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形 的面积是否为定值，并说明理由．
19．已知函数 在 处的切线 与直线 平行.
8．函数 的单调减区间为________.
9．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是___.（填写所有正确命题的序号）
① ， ， ；
② ， ， ， ， ；
③ ， ， ；
④ ， ， ．
10．已知函数 (a>0)，若f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是________.
④ ， ， 与 相交．
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
10．(0,1]
【解析】
f′(x)＝ ，
由题意f(x)为R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．
又a>0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1.
考点：正四棱锥的体积，侧面积
6．
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，可得出 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，所以 ，
因此双曲线的渐近线方程为
【点睛】
本题考查双曲线与抛物线的坐标，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，解题时要结合已知条件求出双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.
7．
【解析】
试题分析：设“方程 表示双曲线”为事件 数对 包含 6个基本事件，当 表示双曲线，包含3个基本事件，所以表示双曲线的概率
考点：古典概型及双曲线的方程
8．
【解析】
试题分析： ,令 ，即 ， ，解得
考点：利用导数判断函数的单调性，解三角不等式
9．②
【解析】
试题分析：① ， ，
②正确
③ ， ， 异面；
考点：程序框图
3．
【解析】
试题分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型；设两段的长都不小于 为事件 ，则只能在中间 的绳子上剪断，所以
考点：几何概型
4．1027
【解析】
试题分析：由流程图，第一次循环 ，第二次循环 ，第三次循环 ，结束循环，输出 .
考点：循环结构流程图Fra Baidu bibliotek
5．
【解析】
试题分析：正四棱锥的体积 ，解得， ，所以侧面高 ，则侧面积
16．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市 岁的人群抽取一个容量为 的样本，并将样本数据分成五组： ， ， ， ， ，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的比例
二、解答题
14．（本题满分14分）如图，斜三棱柱 中，侧面 是菱形， 与 交于点 ，E是AB的中点．
求证：（1） 平面 ；
（2）若 ，求证： ．
15．已知命题 实数x满足 ，命题 实数x满足
（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围;
（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
答案为：(0,1].
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
11．已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，其上一点 满足 ，则点 到右准线的距离为____________.
12．已知定义域为R的函数 满足 ，且 的导数 ，则不等式 .
13．已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为M， 的中点为N，原点 在以线段 为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若 ，则 的取值范围为
3．取一根长度为 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 的概率为_____.
4．如图，该程序运行后输出的结果为_______.
5．若正四棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则它的侧面积为________ .
6．已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_____．
7．从集合 中随机选取一个数记为 ，从集合 中随机选取一个数记为 ，则方程 表示双曲线的概率为_________
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设 ，将 表示为 的函数；
②设 （ ），将 表示为 的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．
18．（本题满分16分）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为 ，右准线方程为： ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点 到定点 的距离的最小值为1，求 的值及点 的坐标；
【最新】江苏省扬州市高二上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．命题“若 ，则 ”的否命题是___________________．
2．如图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，则 =_______.
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
（1）分别求出 ， 的值；
（2）从第 ， ， 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 人，则第 ， ， 组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的 人中随机抽取 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有 人获得幸运奖概率.
17．（本题满分15分）如图，在半径为 的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为 ．