2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题
1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP=2AP=4，CP17
=，CD=5，求△ACD的面积．
（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD2
=CM+2CE．
解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4-x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，
∴17-x2=9+8x-x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD
1
2
=⨯AD×CG
1
2
=⨯6×4=12．
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，
NBF EAF
BFN EFA AE BN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△NBF≌△EAF，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，
MEC EAF AN EC
ANE ECM ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ANE≌△ECM，∴CM=NE，
又∵NF
2
=
2
=，
∴AF
2
2
=MC+EC，
∴AD2
=+2EC．
2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），
△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB．
（2）存在，
如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2
∴DF=2，
∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上， ∴当点F 在DM 上时，S △ABF 最小， ∵BD =4，DM ⊥AB ，∠ABC =60°， ∴MD =23， ∴S △ABF 的最小值1
2
=⨯6×（23-2）=63-6， ∴S 最大值1
2
=
⨯2×33-（63-6）=-33+6． （3）如图，过点D 作DG ⊥EF 于点G ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，
∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE ， ∴DF =DC =2，∠EFD =∠C =60°， ∵GD ⊥EF ，∠EFD =60°， ∴FG =1，DG 3=3= ∵BD 2=BG 2+DG 2， ∴16=3+（BF +1）2， ∴BF 13=1， ∴BG 13=， ∵EH ⊥BC ，∠C =60°，
∴CH 2EC =
，EH 3=3
=， ∵∠GBD =∠EBH ，∠BGD =∠BHE =90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴DG EH BG BH
=，
∴
3
32
136
2
EC
EC
=
-
，
∴EC13
=-1，
∴AE=AC-EC=713
-．
3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA=2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．
证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC．
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴
PA PB AB
PB PC BC
==， 在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴
2AB
BC
=， ∴22PB PC PA PB ==，，
∴PA =2PC ．
（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，
∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，
∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，
又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，
∴
2PE AP
DP PC
==，即322h h =， ∴h 3=2h 2， ∵△PAB ∽△PBC ，
∴
122h AB
h BC
==，
∴122h h =，
∴22
12222322h h h h h h ==⋅=．
即：h 12=h 2·h 3．
4．（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （-3，0），C （-3，8），以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交⊙E 于点D ，连接OD ． （1）求证：直线OD 是⊙E 的切线；
（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG ． ①当tan ∠ACF 1
7
=时，求所有F 点的坐标__________（直接写出）； ②求
BG
CF
的最大值．
解：（1）证明：如图1，连接DE ，∵BC 为圆的直径，
∴∠BDC =90°， ∴∠BDA =90°， ∵OA =OB ， ∴OD =OB =OA ，
∴∠OBD =∠ODB ， ∵EB =ED ， ∴∠EBD =∠EDB ，
∴EBD +∠OBD =∠EDB +∠ODB ， 即∠EBO =∠EDO ， ∵CB ⊥x 轴， ∴∠EBO =90°， ∴∠EDO =90°， ∵点D 在⊙E 上， ∴直线OD 为⊙E 的切线．
（2）①如图2，当F 位于AB 上时，过F 作F 1N ⊥AC 于N ，
∵F 1N ⊥AC ，
∴∠ANF 1=∠ABC =90°， ∴△ANF ∽△ABC ， ∴
11
NF AF AN AB BC AC
==， ∵AB =6，BC =8， ∴AC 222268AB BC +=+=10，即AB ∶BC ∶AC =6∶8∶10=3∶4∶5，
∴设AN =3k ，则NF 1=4k ，AF 1=5k ，
∴CN =CA -AN =10-3k ，
∴tan ∠ACF 1411037F N k CN k =
==-，解得：k 10
31=， ∴150
531AF k ==，
1504333131OF =-=，即F 1（43
31
，0）．
如图3，当F 位于BA 的延长线上时，过F 2作F 2M ⊥CA 于M ，
∵△AMF 2∽△ABC ，
∴设AM =3k ，则MF 2=4k ，AF 2=5k ， ∴CM =CA +AM =10+3k ， ∴tan ∠ACF 241
1037
F M k CM k ===+， 解得：25
k =
， ∴AF 2=5k =2，
OF 2=3+2=5，
即F 2（5，0）， 故答案为：F 1（
43
31
，0），F 2（5，0）． ②方法1：如图4，∵CB 为直径，
∴∠CGB =∠CBF =90°， ∴△CBG ∽△CFB ， ∴
BG BC CG
BF CF BC
==， ∴BC 2=CG ·CF ，
CF 2
BC CG
=，
∵CG 2
+BG 2
=BC 2
， ∴BG 2=BC 2-CG 2，
∴22222
4
22
2
(64)64BG BC CG CG CG BC CF CG --⋅==， ∴22(64)CG CG BG CF -=
令y =CG 2（64-CG 2）=-CG 4+64CG 2=-[（CG 2-32）2-322]=-（CG 2-32）2+322， ∴当CG 2=32时，2
32y =最大值， 此时CG 2，
321(
)642
BG CF ==最大值． 方法2：设∠BCG =α，则sin αBG BC =，cos αBC
CF
=， ∴sin αcos αBG
CF
=
， ∵（sin α-cos α）2≥0，即：sin 2α+cos 2α≥2sin αcos α，
∵sin2α+cos2α=1，
∴sinαcosα
1
2
≤，即
1
2
BG
CF
≤，
∴BG
CF
的最大值
1
2
=．
5．（2019宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB=90°，
∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，
∴△QBM∽△ABC．
（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ=MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形．
（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC22
AB AC
+=5，
∵△QBM∽△ABC，
∴QB QM BM
AB AC BC
==，即
345
x QM BM
==，
解得，QM
4
3
=x，BM
5
3
=x，
∵MN∥BC，
∴
MN AM
BC AB
=，即
5
3
3
53
x
MN-
=，
解得，MN=5
25
9
-x，
则四边形BMNQ的面积
1
2
=⨯（5
25
9
-x+x）
4
3
⨯x
32
27
=-（x
45
32
-）2
75
32
+，
∴当x
45
32
=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为
75
32
．
6．（2019江西）在图1，2，3中，已知Y ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上．
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求
BC
AB
的值．
解：（1）∵四边形AEFG是菱形，
∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，
故答案为：60°．
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠FAE=60°，
∴∠FAD=∠EAB，
故答案为：=．
②证明：如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，
则∠FNB=∠FMB=90°，
∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，
∴∠AFN=∠EFM，
∵EF=EA，∠FAE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴FA=FE，
在△AFN和△EFM中，
AFN EFM
FNA FME FA FE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AFN≌△EFM（AAS）
∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上．（3）如图，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠AGF=60°，
∴∠FGE=∠AGE=30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，
∴GE∥AH，
∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，
∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，
∴GN=2AN，
∵∠DAB=60°，∠H=30°，
∴∠ADH=30°，
∴AD=AH=GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，
∴BC=GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，
∴AB=AN=NE，
∴GE=3AB，
∴BC
AB
3．
7．（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D 不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ECQ=90°，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEP=∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE．
（2）①证明：∵PB=PQ，
∴∠PBQ=∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE=QE，
∵EF∥BQ，
∴PF=BF，
∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，
∴∠APF=∠PAF，
∴∠PAF=∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，
由（1）可得△PDE≌△QCE，
∴CQ=PD=x，
∴BQ=BC+CQ=1+x，
∵点E、F分别是PQ、PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF
1
2
=BQ
1
2
x
+
=，
由①知AP=EF，即1-x
1
2
x
+ =，
解得x
1
3 =，
∴PD
1
3
=，AP
2
3
=，
在Rt△PDE中，DE
1
2 =，
∴PE
6
==，∴AP≠PE，
∴四边形AFEP不是菱形．
8．（2019陕西）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使
∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
解：（1）如图记为点D所在的位置．
（2）如图，
∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，
连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，
∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，
作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，
∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，
由对称性得AP2=8．
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A为Y BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，
∴BD=100，∠BED=60°，
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧»BD上，取¼
BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，
∴S△BDE
1
2
=·BD·EF
1
2
≤·BD·E′A=S△E′BD，
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°3m2），
所以符合要求的Y BCDE的最大面积为50003m2．
9．（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤S≤53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA=6，
∵OD=2，
∴AD=OA-OD=6-2=4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED=∠ABO=30°，
在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED2222
=-=-=3，
AE AD
84
∵OD=2，
∴点E 的坐标为（2，43）．
（Ⅱ）①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ′=43，ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ， ∴∠E ′FM =∠ABO =30°，
∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′2222'(2)3MF ME t t =
-=-=t ，
∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 3⨯t 232
t =，
∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D ′=2×43=83，
∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′=82
332
t -，
∴S 32
=-
t 2
+83，其中t 的取值范围是：0<t <2； ②当S 3=时，如图③所示：
O 'A =OA -OO '=6-t ，
∵∠AO 'F =90°，∠AFO '=∠ABO =30°， ∴O 'F 3='A 3=6-t ）， ∴S 1
2
=
（6-t ）3⨯6-t ）3= 解得：t =62-，或t =62+， ∴t =62-；当S 3
O 'A =6-t ，D 'A =6-t -2=4-t ，
∴O 'G 3=（6-t ），D 'F 3=（4-t ），
∴S 12
=
[3（6-t ）3+（4-t ）]×2=53， 解得：t 52
=， ∴当3≤S ≤53时，t 的取值范围为52≤t ≤62-． 10．（2019北京）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果»DE
上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称»DE
为△ABC 的中内弧．例如，图1中»DE 是△ABC 的一条中内弧． （1）如图2，在Rt △ABC 中，AB =AC 22=，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧»DE
，并直接写出此时»DE
的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t >0），在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．
①若t 12
=，求△ABC 的中内弧»DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧»DE
，使得»DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．
解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧»DE
，就是△ABC 的最长的中内弧»DE ，连接DE ，
∵∠A=90°，AB=AC22
=，D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC
22
sin sin45
AC
B
===
︒
4，DE
1
2
=BC
1
2
=⨯4=2，
∴弧»1
2
DE=⨯2π=π．
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当t
1
2
=时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（
1
2
，1），
设P（1
2
，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，
∵DE∥OC，
∴∠AED=∠ACO=45°，
作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF
1
2 =，
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，
∴m
1
2≤，
综上所述，m 12
≤或m ≥1． ②如图4，设圆心P 在AC 上，
∵P 在DE 中垂线上，
∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM 32=， ∴P （t ，32
）， ∵DE ∥BC ，
∴∠ADE =∠AOB =90°，
∴AE 222221(2)41AD DE t t =+=+=+ ∵PD =PE ，
∴∠AED =∠PDE ，
∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°，
∴∠DAE =∠ADP ，
∴AP =PD =PE 12
=AE ， 由三角形中内弧定义知，PD ≤PM ， ∴12AE 32
≤，AE ≤3241t +≤3，解得：t 2≤ ∵t >0，
∴0<t 2≤。