2019年中考数学真题分类训练——专题二十:几何探究型问题

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2019年中考数学真题分类训练——专题二十:几何探究型问题
1.(2019重庆A卷)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD 于点M,AF⊥BC,垂足为F,BH⊥AE,垂足为H,交AF于点N,点P是AD上一点,连接CP.
(1)若DP=2AP=4,CP17
=,CD=5,求△ACD的面积.
(2)若AE=BN,AN=CE,求证:AD2
=CM+2CE.
解:(1)作CG⊥AD于G,如图1所示:
设PG=x,则DG=4-x,
在Rt△PGC中,GC2=CP2-PG2=17-x2,
在Rt△DGC中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,
∴17-x2=9+8x-x2,
解得:x=1,即PG=1,
∴GC=4,
∵DP=2AP=4,
∴AD=6,
∴S△ACD
1
2
=⨯AD×CG
1
2
=⨯6×4=12.
(2)证明:连接NE,如图2所示:
∵AH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM,
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°,∴∠NBF=∠EAF=∠MEC,
在△NBF和△EAF中,
NBF EAF
BFN EFA AE BN
∠=∠


∠=∠

⎪=


∴△NBF≌△EAF,
∴BF=AF,NF=EF,
∴∠ABC=45°,∠ENF=45°,FC=AF=BF,∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF,
在△ANE和△ECM中,
MEC EAF AN EC
ANE ECM ∠=∠


=

⎪∠=∠


∴△ANE≌△ECM,∴CM=NE,
又∵NF
2
=
2
=,
∴AF
2
2
=MC+EC,
∴AD2
=+2EC.
2.(2019广州)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),
△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.
(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB;
(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
由折叠可知:DF=DC,且点F在AC上,
∴∠DFC=∠C=60°,
∴∠DFC=∠A,
∴DF∥AB.
(2)存在,
如图,过点D作DM⊥AB交AB于点M,
∵AB=BC=6,BD=4,
∴CD=2
∴DF=2,
∴点F 在以D 为圆心,DF 为半径的圆上, ∴当点F 在DM 上时,S △ABF 最小, ∵BD =4,DM ⊥AB ,∠ABC =60°, ∴MD =23, ∴S △ABF 的最小值1
2
=⨯6×(23-2)=63-6, ∴S 最大值1
2
=
⨯2×33-(63-6)=-33+6. (3)如图,过点D 作DG ⊥EF 于点G ,过点E 作EH ⊥CD 于点H ,
∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE , ∴DF =DC =2,∠EFD =∠C =60°, ∵GD ⊥EF ,∠EFD =60°, ∴FG =1,DG 3=3= ∵BD 2=BG 2+DG 2, ∴16=3+(BF +1)2, ∴BF 13=1, ∴BG 13=, ∵EH ⊥BC ,∠C =60°,
∴CH 2EC =
,EH 3=3
=, ∵∠GBD =∠EBH ,∠BGD =∠BHE =90°,
∴△BGD∽△BHE,
∴DG EH BG BH
=,

3
32
136
2
EC
EC
=
-

∴EC13
=-1,
∴AE=AC-EC=713
-.
3.(2019安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;
(2)求证:PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3.
证明:(1)∵∠ACB=90°,AB=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,
又∠APB=135°,
∴∠PAB+∠PBA=45°,
∴∠PBC=∠PAB,
又∵∠APB=∠BPC=135°,
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC,

PA PB AB
PB PC BC
==, 在Rt △ABC 中,AB =AC , ∴
2AB
BC
=, ∴22PB PC PA PB ==,,
∴PA =2PC .
(3)如图,过点P 作PD ⊥BC ,PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ,E ,
∴PF =h 1,PD =h 2,PE =h 3,
∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°, ∴∠APC =90°, ∴∠EAP +∠ACP =90°,
又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°, ∴∠EAP =∠PCD , ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ,

2PE AP
DP PC
==,即322h h =, ∴h 3=2h 2, ∵△PAB ∽△PBC ,

122h AB
h BC
==,
∴122h h =,
∴22
12222322h h h h h h ==⋅=.
即:h 12=h 2·h 3.
4.(2019深圳)已知在平面直角坐标系中,点A (3,0),B (-3,0),C (-3,8),以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交⊙E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是⊙E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交⊙E 于点G ,连接BG . ①当tan ∠ACF 1
7
=时,求所有F 点的坐标__________(直接写出); ②求
BG
CF
的最大值.
解:(1)证明:如图1,连接DE ,∵BC 为圆的直径,
∴∠BDC =90°, ∴∠BDA =90°, ∵OA =OB , ∴OD =OB =OA ,
∴∠OBD =∠ODB , ∵EB =ED , ∴∠EBD =∠EDB ,
∴EBD +∠OBD =∠EDB +∠ODB , 即∠EBO =∠EDO , ∵CB ⊥x 轴, ∴∠EBO =90°, ∴∠EDO =90°, ∵点D 在⊙E 上, ∴直线OD 为⊙E 的切线.
(2)①如图2,当F 位于AB 上时,过F 作F 1N ⊥AC 于N ,
∵F 1N ⊥AC ,
∴∠ANF 1=∠ABC =90°, ∴△ANF ∽△ABC , ∴
11
NF AF AN AB BC AC
==, ∵AB =6,BC =8, ∴AC 222268AB BC +=+=10,即AB ∶BC ∶AC =6∶8∶10=3∶4∶5,
∴设AN =3k ,则NF 1=4k ,AF 1=5k ,
∴CN =CA -AN =10-3k ,
∴tan ∠ACF 1411037F N k CN k =
==-,解得:k 10
31=, ∴150
531AF k ==,
1504333131OF =-=,即F 1(43
31
,0).
如图3,当F 位于BA 的延长线上时,过F 2作F 2M ⊥CA 于M ,
∵△AMF 2∽△ABC ,
∴设AM =3k ,则MF 2=4k ,AF 2=5k , ∴CM =CA +AM =10+3k , ∴tan ∠ACF 241
1037
F M k CM k ===+, 解得:25
k =
, ∴AF 2=5k =2,
OF 2=3+2=5,
即F 2(5,0), 故答案为:F 1(
43
31
,0),F 2(5,0). ②方法1:如图4,∵CB 为直径,
∴∠CGB =∠CBF =90°, ∴△CBG ∽△CFB , ∴
BG BC CG
BF CF BC
==, ∴BC 2=CG ·CF ,
CF 2
BC CG
=,
∵CG 2
+BG 2
=BC 2
, ∴BG 2=BC 2-CG 2,
∴22222
4
22
2
(64)64BG BC CG CG CG BC CF CG --⋅==, ∴22(64)CG CG BG CF -=
令y =CG 2(64-CG 2)=-CG 4+64CG 2=-[(CG 2-32)2-322]=-(CG 2-32)2+322, ∴当CG 2=32时,2
32y =最大值, 此时CG 2,
321(
)642
BG CF ==最大值. 方法2:设∠BCG =α,则sin αBG BC =,cos αBC
CF
=, ∴sin αcos αBG
CF
=
, ∵(sin α-cos α)2≥0,即:sin 2α+cos 2α≥2sin αcos α,
∵sin2α+cos2α=1,
∴sinαcosα
1
2
≤,即
1
2
BG
CF
≤,
∴BG
CF
的最大值
1
2
=.
5.(2019宁夏)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.
(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;
(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
解:(1)∵MQ⊥BC,
∴∠MQB=90°,
∴∠MQB=∠CAB,又∠QBM=∠ABC,
∴△QBM∽△ABC.
(2)当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,
∵MN∥BQ,BQ=MN,
∴四边形BMNQ为平行四边形.
(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC22
AB AC
+=5,
∵△QBM∽△ABC,
∴QB QM BM
AB AC BC
==,即
345
x QM BM
==,
解得,QM
4
3
=x,BM
5
3
=x,
∵MN∥BC,

MN AM
BC AB
=,即
5
3
3
53
x
MN-
=,
解得,MN=5
25
9
-x,
则四边形BMNQ的面积
1
2
=⨯(5
25
9
-x+x)
4
3
⨯x
32
27
=-(x
45
32
-)2
75
32
+,
∴当x
45
32
=时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为
75
32

6.(2019江西)在图1,2,3中,已知Y ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE 为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.
(1)如图1,当点E与点B重合时,∠CEF=__________°;
(2)如图2,连接AF.
①填空:∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”);
②求证:点F在∠ABC的平分线上.
(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求
BC
AB
的值.
解:(1)∵四边形AEFG是菱形,
∴∠AEF=180°-∠EAG=60°,
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°,
故答案为:60°.
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,
∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
∴∠FAE=60°,
∴∠FAD=∠EAB,
故答案为:=.
②证明:如图,作FM⊥BC于M,FN⊥BA交BA的延长线于N,
则∠FNB=∠FMB=90°,
∴∠NFM=60°,又∠AFE=60°,
∴∠AFN=∠EFM,
∵EF=EA,∠FAE=60°,
∴△AEF为等边三角形,
∴FA=FE,
在△AFN和△EFM中,
AFN EFM
FNA FME FA FE
∠=∠


∠=∠

⎪=


∴△AFN≌△EFM(AAS)
∴FN=FM,又FM⊥BC,FN⊥BA,∴点F在∠ABC的平分线上.(3)如图,
∵四边形AEFG是菱形,∠EAG=120°,
∴∠AGF=60°,
∴∠FGE=∠AGE=30°,
∵四边形AEGH为平行四边形,
∴GE∥AH,
∴∠GAH=∠AGE=30°,∠H=∠FGE=30°,
∴∠GAN=90°,又∠AGE=30°,
∴GN=2AN,
∵∠DAB=60°,∠H=30°,
∴∠ADH=30°,
∴AD=AH=GE,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD,
∴BC=GE,
∵四边形ABEH为平行四边形,∠HAE=∠EAB=30°,∴平行四边形ABEN为菱形,
∴AB=AN=NE,
∴GE=3AB,
∴BC
AB
3.
7.(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D 不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,
①求证:四边形AFEP是平行四边形;
②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ECQ=90°,
∵E是CD的中点,
∴DE=CE,
又∵∠DEP=∠CEQ,
∴△PDE≌△QCE.
(2)①证明:∵PB=PQ,
∴∠PBQ=∠Q,
∵AD∥BC,
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,
∵△PDE≌△QCE,
∴PE=QE,
∵EF∥BQ,
∴PF=BF,
∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,
∴∠APF=∠PAF,
∴∠PAF=∠EPD,
∴PE∥AF,
∵EF∥BQ∥AD,
∴四边形AFEP是平行四边形;
②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,
由(1)可得△PDE≌△QCE,
∴CQ=PD=x,
∴BQ=BC+CQ=1+x,
∵点E、F分别是PQ、PB的中点,
∴EF是△PBQ的中位线,
∴EF
1
2
=BQ
1
2
x
+
=,
由①知AP=EF,即1-x
1
2
x
+ =,
解得x
1
3 =,
∴PD
1
3
=,AP
2
3
=,
在Rt△PDE中,DE
1
2 =,
∴PE
6
==,∴AP≠PE,
∴四边形AFEP不是菱形.
8.(2019陕西)问题提出:
(1)如图1,已知△ABC,试确定一点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形,请画出这个平行四边形;
问题探究:
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC,且使
∠BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离;
问题解决:
(3)如图3,有一座塔A,按规定,要以塔A为对称中心,建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况,要求顶点B是定点,点B到塔A的距离为50米,∠CBE=120°,那么,是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE?若可以,求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以,请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)
解:(1)如图记为点D所在的位置.
(2)如图,
∵AB=4,BC=10,∴取BC的中点O,则OB>AB.
∴以点O为圆心,OB长为半径作⊙O,⊙O一定于AD相交于P1,P2两点,
连接BP1,P1C,P1O,∵∠BPC=90°,点P不能再矩形外,
∴△BPC的顶点P1或P2位置时,△BPC的面积最大,
作P1E⊥BC,垂足为E,则OE=3,
∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2,
由对称性得AP2=8.
(3)可以,如图所示,连接BD,
∵A为Y BCDE的对称中心,BA=50,∠CBE=120°,
∴BD=100,∠BED=60°,
作△BDE的外接圆⊙O,则点E在优弧»BD上,取¼
BED的中点E′,连接E′B,E′D,则E′B=E′D,且∠BE′D=60°,∴△BE′D为正三角形.
连接E′O并延长,经过点A至C′,使E′A=AC′,连接BC′,DC′,
∵E′A⊥BD,
∴四边形E′D为菱形,且∠C′BE′=120°,
作EF⊥BD,垂足为F,连接EO,则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A,
∴S△BDE
1
2
=·BD·EF
1
2
≤·BD·E′A=S△E′BD,
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°3m2),
所以符合要求的Y BCDE的最大面积为50003m2.
9.(2019天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°.矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.
(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;
(Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C′O′D′E′,点C,O,D,E的对应点分别为C′,O′,D′,E′.设OO′=t,矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.
①如图②,当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时,C′E′,E′D′分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②当3≤S≤53时,求t的取值范围(直接写出结果即可).
解:(Ⅰ)∵点A(6,0),
∴OA=6,
∵OD=2,
∴AD=OA-OD=6-2=4,
∵四边形CODE是矩形,
∴DE∥OC,
∴∠AED=∠ABO=30°,
在Rt△AED中,AE=2AD=8,ED2222
=-=-=3,
AE AD
84
∵OD=2,
∴点E 的坐标为(2,43).
(Ⅱ)①由平移的性质得:O ′D ′=2,E ′D ′=43,ME ′=OO ′=t ,D ′E ′∥O ′C ′∥OB , ∴∠E ′FM =∠ABO =30°,
∴在Rt △MFE ′中,MF =2ME ′=2t ,FE ′2222'(2)3MF ME t t =
-=-=t ,
∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t 3⨯t 232
t =,
∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D ′=2×43=83,
∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′=82
332
t -,
∴S 32
=-
t 2
+83,其中t 的取值范围是:0<t <2; ②当S 3=时,如图③所示:
O 'A =OA -OO '=6-t ,
∵∠AO 'F =90°,∠AFO '=∠ABO =30°, ∴O 'F 3='A 3=6-t ), ∴S 1
2
=
(6-t )3⨯6-t )3= 解得:t =62-,或t =62+, ∴t =62-;当S 3
O 'A =6-t ,D 'A =6-t -2=4-t ,
∴O 'G 3=(6-t ),D 'F 3=(4-t ),
∴S 12
=
[3(6-t )3+(4-t )]×2=53, 解得:t 52
=, ∴当3≤S ≤53时,t 的取值范围为52≤t ≤62-. 10.(2019北京)在△ABC 中,D ,E 分别是△ABC 两边的中点,如果»DE
上的所有点都在△ABC 的内部或边上,则称»DE
为△ABC 的中内弧.例如,图1中»DE 是△ABC 的一条中内弧. (1)如图2,在Rt △ABC 中,AB =AC 22=,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,画出△ABC 的最长的中内弧»DE
,并直接写出此时»DE
的长; (2)在平面直角坐标系中,已知点A (0,2),B (0,0),C (4t ,0)(t >0),在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 的中点.
①若t 12
=,求△ABC 的中内弧»DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围; ②若在△ABC 中存在一条中内弧»DE
,使得»DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上,直接写出t 的取值范围.
解:(1)如图2,以DE 为直径的半圆弧»DE
,就是△ABC 的最长的中内弧»DE ,连接DE ,
∵∠A=90°,AB=AC22
=,D,E分别是AB,AC的中点,
∴BC
22
sin sin45
AC
B
===

4,DE
1
2
=BC
1
2
=⨯4=2,
∴弧»1
2
DE=⨯2π=π.
(2)如图3,由垂径定理可知,圆心一定在线段DE的垂直平分线上,连接DE,作DE垂直平分线FP,作EG⊥AC交FP于G,
①当t
1
2
=时,C(2,0),∴D(0,1),E(1,1),F(
1
2
,1),
设P(1
2
,m)由三角形中内弧定义可知,圆心线段DE上方射线FP上均可,∴m≥1,
∵OA=OC,∠AOC=90°,∴∠ACO=45°,
∵DE∥OC,
∴∠AED=∠ACO=45°,
作EG⊥AC交直线FP于G,FG=EF
1
2 =,
根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求,
∴m
1
2≤,
综上所述,m 12
≤或m ≥1. ②如图4,设圆心P 在AC 上,
∵P 在DE 中垂线上,
∴P 为AE 中点,作PM ⊥OC 于M ,则PM 32=, ∴P (t ,32
), ∵DE ∥BC ,
∴∠ADE =∠AOB =90°,
∴AE 222221(2)41AD DE t t =+=+=+ ∵PD =PE ,
∴∠AED =∠PDE ,
∵∠AED +∠DAE =∠PDE +∠ADP =90°,
∴∠DAE =∠ADP ,
∴AP =PD =PE 12
=AE , 由三角形中内弧定义知,PD ≤PM , ∴12AE 32
≤,AE ≤3241t +≤3,解得:t 2≤ ∵t >0,
∴0<t 2≤。

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