2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

1．（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．

（1）若DP=2AP=4，CP17

=，CD=5，求△ACD的面积．

（2）若AE=BN，AN=CE，求证：AD2

=CM+2CE．

解：（1）作CG⊥AD于G，如图1所示：

设PG=x，则DG=4-x，

在Rt△PGC中，GC2=CP2-PG2=17-x2，

在Rt△DGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，

∴17-x2=9+8x-x2，

解得：x=1，即PG=1，

∴GC=4，

∵DP=2AP=4，

∴AD=6，

∴S△ACD

1

2

=⨯AD×CG

1

2

=⨯6×4=12．

（2）证明：连接NE，如图2所示：

∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，

∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，

在△NBF和△EAF中，

NBF EAF

BFN EFA AE BN

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△NBF≌△EAF，

∴BF=AF，NF=EF，

∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，

在△ANE和△ECM中，

MEC EAF AN EC

ANE ECM ∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

∴△ANE≌△ECM，∴CM=NE，

又∵NF

2

=

2

=，

∴AF

2

2

=MC+EC，

∴AD2

=+2EC．

2．（2019广州）如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），

△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，

∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，

∴DF∥AB．

（2）存在，

如图，过点D作DM⊥AB交AB于点M，

∵AB=BC=6，BD=4，

∴CD=2

∴DF=2，

∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上， ∴当点F 在DM 上时，S △ABF 最小， ∵BD =4，DM ⊥AB ，∠ABC =60°， ∴MD =23， ∴S △ABF 的最小值1

2

=⨯6×（23-2）=63-6， ∴S 最大值1

2

=

⨯2×33-（63-6）=-33+6． （3）如图，过点D 作DG ⊥EF 于点G ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，

∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE ， ∴DF =DC =2，∠EFD =∠C =60°， ∵GD ⊥EF ，∠EFD =60°， ∴FG =1，DG 3=3= ∵BD 2=BG 2+DG 2， ∴16=3+（BF +1）2， ∴BF 13=1， ∴BG 13=， ∵EH ⊥BC ，∠C =60°，

∴CH 2EC =

，EH 3=3

=， ∵∠GBD =∠EBH ，∠BGD =∠BHE =90°，

∴△BGD∽△BHE，

∴DG EH BG BH

=，

∴

3

32

136

2

EC

EC

=

-

，

∴EC13

=-1，

∴AE=AC-EC=713

-．

3．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；

（2）求证：PA=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

证明：（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，

又∠APB=135°，

∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∵∠APB=∠BPC=135°，

∴△PAB∽△PBC．

（2）∵△PAB∽△PBC，

∴

PA PB AB

PB PC BC

==， 在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴

2AB

BC

=， ∴22PB PC PA PB ==，，

∴PA =2PC ．

（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，

∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，

∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，

又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，

∴

2PE AP

DP PC

==，即322h h =， ∴h 3=2h 2， ∵△PAB ∽△PBC ，

∴

122h AB

h BC

==，