并查集
并查集路径压缩优化方法讲解
并查集路径压缩优化方法讲解并查集（Disjoint Set Union）是一种用于解决连通性问题的数据结构，常用于判断图中两个节点是否属于同一个连通分量。
在并查集中，每个节点表示一个元素，通过合并节点来构建集合，实现快速的查找和合并操作。
1. 并查集基本原理并查集最初的实现方法是通过使用树来表示集合，其中每个节点通过指向父节点来建立树结构。
树的根节点表示集合的代表元素，每个节点的父节点指向它所属集合的代表元素。
2. 查找操作查找操作用于找到某个元素所属的集合，即找到该元素的代表元素。
从给定的元素开始，不断向上查找直到找到根节点，即代表元素。
代码示例：```int find(int[] parent, int x) {if (parent[x] == x) {return x;}parent[x] = find(parent, parent[x]); // 路径压缩return parent[x];}```这段代码中的`find`方法使用了递归来实现路径压缩。
路径压缩的核心思想是将查找路径上的每个节点直接指向根节点，从而减少后续的查找时间。
3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并成一个，即将两个集合的根节点连接起来。
合并操作可以简单地将一个根节点的父节点指向另一个根节点，从而实现合并。
代码示例：```void union(int[] parent, int x, int y) {int rootX = find(parent, x);int rootY = find(parent, y);if (rootX != rootY) {parent[rootX] = rootY;}}```4. 路径压缩优化路径压缩优化通过将每个节点直接指向根节点，使得查找操作的路径更短。
在常规的实现中，每个节点的父节点都指向其根节点，但这会导致树的高度较高，进而影响查找操作的性能。
路径压缩优化在查找操作中，将经过的节点直接指向根节点，从而使得树的高度减少。
并查集的路径压缩
并查集的路径压缩并查集（Disjoint Set）是一种用于解决“动态连通性”问题的数据结构。
它主要用于维护一个不相交的集合，支持快速判断两个元素是否属于同一个集合，以及合并两个集合。
并查集的路径压缩是一种优化算法，用于减少查找操作的时间复杂度。
1. 并查集基本操作并查集包括以下几种基本操作：初始化并查集、查找元素所属的集合、合并两个集合。
1.1 初始化并查集初始化并查集时，每个元素都是一个独立的集合。
可以使用数组来表示并查集，数组索引表示元素，数组值表示元素所属的集合。
示例：```cppint parent[MAX_SIZE];void init(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}```在上述示例中，`MAX_SIZE`表示并查集的最大容量，`init`函数用于初始化并查集。
1.2 查找元素所属的集合查找元素所属的集合时，可以通过递归的方式查找祖先节点，直到找到根节点。
示例：```cppint find(int x) {return parent[x] == x ? x : find(parent[x]);}```在上述示例中，`find`函数用于查找元素所属的集合，递归调用`find`函数可以找到根节点。
1.3 合并两个集合合并两个集合时，可以通过将一个根节点的父节点指向另一个根节点，将两个集合合并为一个集合。
示例：```cppvoid merge(int x, int y) {int root_x = find(x);int root_y = find(y);if (root_x != root_y) {parent[root_x] = root_y;}}```在上述示例中，`merge`函数用于合并两个集合，首先找到两个集合的根节点，然后将一个根节点的父节点指向另一个根节点。
2. 并查集路径压缩并查集的路径压缩是一种优化算法，通过将节点在查找的过程中直接指向根节点，减少后续查找的时间复杂度。
NOCOW_并查集
并查集并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的 合并及查询问题。
常常在使用中以森林来表示。
[编辑]并查集的主要操作1. 合并两个不相交集合 2. 判断两个元素是否属于同一集合 [编辑]主要操作的解释及代码需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。
（1） 合并两个不相交集合操作很简单：先设置一个数组 Father[x]，表示 x 的“父亲”的编号。
那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合 最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的 父亲指向它。
附图一张（摘自 CLRS）——Ronicea 图为两个不相交集合，b 图为合并后 Father(b):=Father(g) 代码：Procedure Union(x,y:integer);{其中 GetFather 是下面将讲到的操作} var fx,fy : integer; begin fx := GetFather(x); fy := GetFather(y); If fx<>fy then Father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先} end;（2） 判断两个元素是否属于同一集合仍然使用上面的数组。
则本操作即可 转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。
可以采用递归实现。
（有待补 图，制作中）代码：Function Same(x,y:integer):boolean; begin if GetFather(x)=GetFather(y) then exit(true else true) true exit(false false); false end;[编辑]并查集的优化（1）路径压缩 刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一 条链， 每次 GetFather 都将会使用 O （n） 的复杂度， 这显然不是我们想要的。
并查集的空间复杂度
并查集的空间复杂度并查集是一种常用的数据结构，用于解决集合合并和查找问题。
它可以高效地判断两个元素是否属于同一个集合，以及将两个集合合并为一个集合。
在实际应用中，我们经常需要考虑并查集的空间复杂度，即所需的内存空间大小。
并查集的空间复杂度主要由两个方面决定：底层数据结构和优化策略。
底层数据结构一般是一个数组，其中每个元素表示一个节点，初始化时每个节点都是一个独立的集合。
优化策略包括按秩合并和路径压缩。
在一般情况下，我们假设并查集中有 n 个元素需要处理，那么底层数组的大小就是 n。
这就是并查集的最基本实现方式，它的空间复杂度为 O(n)。
由于只需要一个数组，所以其他数据结构的额外空间消耗不大。
当然，我们可以根据具体的应用场景和需求来进行优化，以减少并查集的空间复杂度。
接下来，我将介绍几种常见的优化策略。
1. 按秩合并：按秩合并是指将高度较小的树合并到高度较大的树上，从而尽量避免树的高度过高。
这样可以减少查找和合并操作的时间复杂度，并且可以降低内存的使用。
2. 路径压缩：路径压缩是指在查找操作时，将节点直接连接到根节点，以减少后续查找操作的时间复杂度。
这种优化策略可以使得树的高度非常小，进一步提高了并查集的性能和空间效率。
这两种优化策略可以独立使用，也可以同时使用。
按秩合并和路径压缩都可以通过修改底层数组来实现，而不需要额外的存储空间。
此外，还可以通过分组合并和启发式合并等策略来进行空间优化。
分组合并是指将元素分组，每个组使用一个并查集来处理，从而降低了整个并查集的空间复杂度。
启发式合并是指根据实际需求，选择合适的合并策略，以减少内存的使用。
综上所述，并查集的空间复杂度与底层数据结构和优化策略密切相关。
一般来说，最基本的实现方式空间复杂度为 O(n)。
而通过一些优化策略，如按秩合并和路径压缩等，可以减少内存的使用，提高并查集的性能。
在应用并查集解决问题时，我们需要综合考虑空间复杂度和时间复杂度，选择适合的优化策略和数据结构。
并查集__Union-Find_Sets_
对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。 对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。 集合中每个元素的元素名分别存放在树的结 点中，此外， 点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其 双亲结点的指针。 双亲结点的指针。 为此，需要有两个映射： 为此，需要有两个映射： 集合元素到存放该元素名的树结点间的对 应； 集合名到表示该集合的树的根结点间的对 应。 设 S1= {0, 6, 7, 8 }，S2= { 1, 4, 9 }，S3= { 2, 3, ， ， 5}
O(∑ i ) = O( n )
2 i =1
n
Union操作的加权规则 Union操作的加权规则
为避免产生退化的树， 为避免产生退化的树，改进方法是先判断两集合中元素 的个数， 的个数，如果以 i 为根的树中的结点个数少于以 j 为根 的树中的结点个数， 的树中的结点个数，即parent[i] > parent[j]，则让 j 成为 ， i 的双亲，否则，让i成为 的双亲。 的双亲，否则， 成为 的双亲。 成为j的双亲 此即Union的加权规则。 此即 的加权规则
下标
0
123ຫໍສະໝຸດ 4567
8
9
parent - 1
4
-1 2
-1 2
0
0 0
4
集合S1, S2和 S3的双亲表示
S1 U S2的可能的表示方法
®
const int DefaultSize = 10; class UFSets { //并查集的类定义 并查集的类定义 public: UFSets ( int s = DefaultSize ); ~UFSets ( ) { delete [ ] parent; } const UFSets & operator = ( UFSets const & Value ); void Union ( int Root1, int Root2 ); int Find ( int x ); void UnionByHeight ( int Root1, int Root2 ); private: int *parent; int size; };
动态连通性并查集在联通性问题中的应用
动态连通性并查集在联通性问题中的应用动态连通性并查集是一种用于解决联通性问题的数据结构和算法。
在计算机科学中，联通性问题主要关注的是确定两个对象之间是否存在连通路径，即两个对象是否能通过一系列的连接边相互达到。
动态连通性并查集通过高效地合并和查找操作，可以在大规模的数据集中快速地检查两个对象的连通性。
一、动态连通性问题动态连通性问题在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，我们需要判断两个用户之间是否存在关系网络，以便在某些操作中进行逻辑判断；在电力网络中，我们需要确定电力线路之间的连通性，以确保电力的正常传输；在计算机网络中，我们需要判断两台计算机之间是否可以通信，以实现数据传输和互联网连接等。
二、并查集数据结构并查集数据结构是一种用于解决动态连通性问题的数据结构。
它主要包括两个基本操作：合并和查找。
2.1 合并操作合并操作用于将两个不同的连通分量合并成为一个连通分量。
在动态连通性问题中，我们可以将每个连通分量表示为一个树形结构，其中每个节点代表一个对象，节点之间的连接关系代表对象之间的连通关系。
当合并两个连通分量时，我们将其中一个连通分量的根节点连接到另一个连通分量的根节点上，从而实现两个对象的连通性。
2.2 查找操作查找操作用于确定一个对象所属的连通分量。
在并查集中，我们可以通过向上追溯节点的父节点，最终找到根节点，并将该对象所属的连通分量标识为根节点。
通过查找操作，我们可以判断两个对象是否属于同一个连通分量，从而确定它们之间的连通性。
三、动态连通性并查集的算法实现下面是一个基于路径压缩和按秩合并优化的动态连通性并查集算法的伪代码：```class UnionFindSet:def __init__(self, n):self.parent = [i for i in range(n)]self.rank = [0] * ndef find(self, x):if x != self.parent[x]:self.parent[x] = self.find(self.parent[x])return self.parent[x]def union(self, x, y):rootx = self.find(x)rooty = self.find(y)if rootx != rooty:if self.rank[rootx] < self.rank[rooty]:self.parent[rootx] = rootyelif self.rank[rootx] > self.rank[rooty]:self.parent[rooty] = rootxelse:self.parent[rooty] = rootxself.rank[rootx] += 1def connected(self, x, y):return self.find(x) == self.find(y)```四、动态连通性并查集的应用案例4.1 社交网络中的关系判断在社交网络中，我们可以利用动态连通性并查集来判断两个用户之间是否存在关系网络。
js 并查集写法 -回复
js 并查集写法-回复JS并查集写法并查集是一种用于解决元素分组问题的数据结构，它可以高效地合并集合并判断两个元素是否属于同一集合。
在本文中，我们将详细讨论如何使用JavaScript实现并查集。
1. 基本实现在开始之前，我们需要创建一个类来表示并查集。
该类将包含以下两个主要方法：`find`和`union`。
`find`方法用于查找元素所属的集合。
如果两个元素属于同一集合，则它们具有相同的根节点。
`union`方法用于合并两个集合。
它接受两个元素作为参数，并将它们所属的集合合并为一个集合。
下面是一个基本的并查集实现：class UnionFind {constructor(size) {this.parent = new Array(size);for(let i = 0; i < size; i++) {this.parent[i] = i;}}find(x) {while(this.parent[x] !== x) {x = this.parent[x];}return x;}union(x, y) {let rootX = this.find(x);let rootY = this.find(y);if(rootX !== rootY) {this.parent[rootX] = rootY;}}}2. 使用示例现在我们来使用上面的并查集实现解决一个具体的问题。
假设我们有一组人员，每个人员都有一个唯一的标识符。
我们希望能够判断两个人员是否属于同一组。
首先，我们需要创建一个并查集对象，并将人员的数量作为参数传递给它。
javascriptlet uf = new UnionFind(10);现在，我们可以使用`union`方法合并两个人员所属的组：javascriptuf.union(1, 2); 合并1和2所属的组uf.union(3, 4); 合并3和4所属的组uf.union(1, 4); 合并1和4所属的组最后，我们可以使用`find`方法来判断两个人员是否属于同一组：javascriptconsole.log(uf.find(1) === uf.find(2)); trueconsole.log(uf.find(3) === uf.find(4)); trueconsole.log(uf.find(1) === uf.find(3)); false3. 优化上面的基本实现在合并操作时的效率较低，会导致并查集的高度过高。
并查集与的连通性问题
并查集与的连通性问题并查集与图的连通性问题在图论中，连通性问题是一个非常重要的概念。
它研究的是在一个图中，任意两个节点是否存在路径相连。
而解决这类问题的一种常用数据结构就是并查集。
一、并查集的基本概念并查集（Disjoint Set Union）是一种树型的数据结构，常用于处理不相交集合的合并与查询问题。
它可以高效地判断两个元素是否处于同一集合，并进行集合的合并操作。
在并查集中，每个节点都有一个指针指向它的父节点，如果一个节点的父节点为自己，则代表该节点是集合的代表元素。
为了提高效率，还可以使用路径压缩和按秩合并两种优化策略。
二、并查集的操作1. 初始化操作首先，我们需要将每个元素初始化为一个单独的集合，也就是每个元素的父节点都指向自己。
2. 查找操作查找操作用于判断两个元素是否属于同一个集合。
它通过一层一层地往上查找，直到找到根节点，根节点就是集合的代表元素。
3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并为一个集合。
首先需要找到两个元素所在集合的代表元素，然后将其中一个代表元素的父节点指向另一个代表元素。
三、并查集解决连通性问题在图的连通性问题中，可以使用并查集来快速判断两个节点是否连通。
具体步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
2. 遍历图中的所有边，对于每条边 (u,v)，找到 u 和 v 所在集合的代表元素。
3. 如果 u 和 v 的代表元素相同，则说明 u 和 v 已经连通，否则将 u 和 v 所在的集合合并。
4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的边。
通过以上操作，就可以得到一个具有连通性信息的图。
在实际应用中，我们可以使用并查集来判断网络中是否存在通路、判断图中是否存在回路等。
四、应用场景举例并查集在算法和数据结构中有广泛的应用场景，例如：1. 最小生成树：使用 Kruskal 算法或者 Prim 算法来构造最小生成树时，可以使用并查集来判断各个节点之间是否连通。
并查集
应用：
1、作为数据的存储方式
2、图论当中判断是否有圈（比如最小生成树的Kruskal算法）
并查集
并查集是一种能够较快实现查询两个元素是否是在一个集合内、合并两个集合的一种数据结构。
原理：
我们先将所有元素自成一个单独的集合，然后将这些集合合并。
存储结构：
我们用树结构储存并查集。如果两个节点的最终的父亲是一样的，那么它们就在一个集合之中。
操作：
1、查询：查找两个节点所在树的根节点，进行比较。
(2)FJ要求Best计算X号方块所在柱子，它下面有多少个小方块。
输入文件：第一行，有 N 和 P 两个整数，表示小方块数和操作总数。
后面的2到P+1行每行三个整数 A、B、C 表示每次操作。A表示操作种类，A=1表示操作一，A=2表示操作二；B、C表示操作对象。
伪代码（in Pascal）：
{f为根节点} while fath源自r[t]<>0 do
begin
p:=father[t];
father[t]:=f;
t:=p;
end;
时间复杂度：执行M次合并为O(m arc(m))
【例】朋友的朋友（friend.pas/c/cpp）
伪代码（in Pascal）：
PROCEDURE unionxy(x,y:LONGINT);
BEGIN
x:=find(x);
y:=find(y);
if x<>y then father[x]:=y;
END;
3、路径压缩：有时会出现树是一个线性表的极端情况（比如O--O--O--O--O），由于这时的搜索树已经退化成为一条链，所以查找时就会变得非常慢，同时如果数据很大并且用递归写法的话还有爆栈的危险。这时就需要路径压缩。
并查集应用场景全面梳理
并查集应用场景全面梳理在计算机科学领域中，并查集是一种常用的数据结构，用于解决一些集合相关的问题。
并查集主要用于维护一组不相交的动态集合，并支持合并两个集合以及查询两个元素是否属于同一集合的操作。
本文将全面梳理并查集的应用场景，并介绍它们在不同领域的实际应用。
一、社交网络中的好友圈关系建立与查询在社交网络中，人与人之间存在着好友关系。
通过并查集可以方便地建立和查询好友圈关系。
首先，我们可以将每个人看作一个节点，利用并查集建立这些节点之间的关系。
当两个人成为好友时，我们将它们所在的两个集合进行合并操作。
通过查询某两个人是否属于同一个集合，我们就可以判断他们是否在同一个好友圈中。
二、电子地图中的连接性问题解决在电子地图中，我们经常需要判断两个地点之间是否存在路径。
并查集可以用来解决这个连接性问题。
我们可以将地图上的每个地点看作一个节点，利用并查集来表示各个地点的连接关系。
当两个地点之间存在路径时，我们将它们所在的两个集合进行合并操作。
通过查询两个地点是否属于同一个集合，我们就可以判断它们之间是否存在路径。
三、图像分割与图像压缩在图像处理领域，图像分割和图像压缩是非常重要的应用。
并查集可以用来实现图像分割的算法。
我们可以将图像的像素看作节点，利用并查集来表示各个像素的连通性。
通过对图像像素进行合并操作，将相邻像素划分为同一个集合，从而实现图像分割。
此外，图像压缩也可以借助并查集来实现。
通过将相邻像素合并为同一集合，减少图像中的冗余信息，从而实现图像压缩。
四、互联网网络中的网络连接问题在互联网网络中，我们经常需要处理网络连接的问题。
并查集可以被应用于解决网络连接问题。
我们可以将网络中的每个节点看作一个机器或者设备，利用并查集来表示网络中各个节点的连接关系。
通过对两个节点进行合并操作，将它们所在的集合合并为一个集合，从而建立网络连接。
通过查询两个节点是否属于同一个集合，我们就可以判断它们之间是否存在网络连接。
并查集
信息学奥赛中的特殊数据结构——并查集在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构——并查集来描述。
一、数学准备首先，我们从数学的角度给出等价关系和等价类的定义：定义1：如果集合S中的关系R是自反的，对称的，传递的，则称他为一个等价关系。
——自反：x＝x；——对称：若x＝y，则y＝x；——传递：若x＝y、y＝z，则x＝z。
要求：x、y、z必须要同一个子集中。
定义2：如果R是集合S的等价关系。
对于任何x∈S，由[x]R＝{y|y∈S and xRy}给出的集合[x]R S称为由x∈S生成的一个R的等价类。
定义3：若R是集合S上的一个等价关系，则由这个等价关系可产生这个集合的唯一划分。
即可以按R将S划分为若干不相交的子集S1，S2，S3，S4，……，他们的并即为S，则这些子集S i变称为S的R等价类。
划分等价类的问题的提法是：要求对S作出符合某些等价性条件的等价类的划分，已知集合S及一系列的形如“x等价于y”的具体条件，要求给出S的等价类的划分，符合所列等价性的条件。
（我们上面提到的联系，即可认为是一个等价关系，我们就是要将集合S划分成n个联系的子集，然后再判断x，y是否在一个联系子集中。
）二、引题——亲戚（relation）【问题描述】若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。
并查集优化策略概述
并查集优化策略概述并查集是一种用于解决集合合并与查询问题的数据结构，广泛应用于图论和动态连通性等领域。
尽管并查集的基本操作非常简单，但对于大规模数据集合的处理，其效率存在一定瓶颈。
因此，人们提出了各种优化策略来提高并查集的性能。
本文将概述一些常用的并查集优化策略。
一、路径压缩路径压缩是最常见的并查集优化策略之一。
在进行查找操作时，通过将访问路径上的每个节点直接连接到根节点，可以减少后续查找的时间。
具体而言，我们可以通过递归方式在查找时修改每个节点的父节点，将其直接设为根节点，从而压缩路径。
这样做的好处是，下次查找时，不需要再遍历整条路径，而是可以直接到达根节点，提高了查找的效率。
二、按秩合并按秩合并是一种基于树的高度进行优化的策略。
在每个根节点上，我们维护一个秩的值，表示以该节点为根的子树的高度。
当合并两个集合时，我们将秩较小的根节点连接到秩较大的根节点上。
这样做的目的是，尽量保持树的平衡，避免出现过深的树。
通过按秩合并策略，可以有效减少合并的时间复杂度。
三、路径分裂路径分裂是一种变形的路径压缩策略，也可以提高查找的效率。
与路径压缩不同的是，路径分裂在查找时，只修改一部分节点的父节点，将路径上的每两个节点之间的一部分节点分割，直接连接到根节点。
这样可以在一定程度上减少节点的修改次数，同时保持路径上的部分节点接近根节点，提高后续查找的效率。
四、按大小合并按大小合并策略是基于每个节点的子树大小进行优化的策略。
在每个根节点上，我们维护一个子树的大小，表示该节点所在的集合的元素个数。
当合并两个集合时，我们将小的根节点连接到大的根节点上。
通过按大小合并策略，可以避免产生过深的树，提高了合并的效率。
五、基于哈希表的并查集对于大规模数据集合的处理，可以使用基于哈希表的并查集来提高效率。
具体而言，我们可以将每个元素映射到一个哈希表中的某个位置，然后通过哈希表的查找和插入操作来实现并查集的合并与查询。
这种方法的好处是，可以在常数时间内完成操作，适用于处理大规模数据。
js 并查集写法 -回复
js 并查集写法-回复[JS并查集写法]是什么？JS并查集写法是一种用于解决集合合并与查询问题的数据结构和算法。
它起源于离散数学中的集合论，可以有效地解决一些实际问题，如社交网络中的关系分析、网络中的节点连接问题等。
JS并查集写法最常用的应用场景是求解连通性问题。
一、JS并查集的基本概念1. 集合：JS并查集将若干个元素分为若干个不相交的集合。
每个集合可以包含一个或多个元素。
2. 合并操作：JS并查集可以将两个不相交的集合合并成一个集合。
3. 查询操作：JS并查集可以判断两个元素是否在同一个集合中。
4. 树形结构：JS并查集可以用一棵树来表示集合。
每个节点表示一个元素，树中的父节点指向其父集合的代表元素，根节点表示集合的代表元素。
二、JS并查集的实现思路1. 初始化：将每个元素都初始化为一个单元素集合，即每个节点的父节点为自身。
2. 查询操作：通过递归或迭代的方式，查找节点所属的集合的代表元素。
如果节点的父节点为自身，则该节点为集合的代表元素。
3. 合并操作：找到两个元素所属集合的代表元素，然后将其中一个元素的代表元素的父节点指向另一个元素的代表元素。
三、JS并查集的示例代码下面是使用JavaScript实现的简单JS并查集示例代码：javascriptclass UnionFind {constructor(n) {this.parent = new Array(n + 1).fill(0).map((_, i) => i);}find(x) {if (this.parent[x] !== x) {this.parent[x] = this.find(this.parent[x]);}return this.parent[x];}union(x, y) {const rootX = this.find(x);const rootY = this.find(y);if (rootX !== rootY) {this.parent[rootX] = rootY;}}}const n = 10;const uf = new UnionFind(n);uf.union(1, 2);uf.union(2, 3);console.log(uf.find(1) === uf.find(3)); true这段代码中，我们首先创建了一个大小为10的并查集实例`uf`。
并查集优化技巧概述
并查集优化技巧概述并查集（Disjoint Set）是一种用于处理集合问题的数据结构。
它主要支持两种操作：合并两个集合和判断两个元素是否属于同一个集合。
在实际应用中，我们经常需要对并查集进行优化，以提高效率和减少内存消耗。
本文将概述几种常见的并查集优化技巧。
一、路径压缩优化路径压缩是一种常见的并查集优化技巧。
在执行查找操作时，通过将路径上的所有节点直接指向根节点，可以大大减少后续查询的时间。
具体实现方式是使用递归或迭代的方式，在查找过程中修改节点的父节点指针。
二、按秩合并优化按秩合并是一种基于节点高度的优化策略。
在合并操作中，我们将较矮的树合并到较高的树中。
这样可以避免树的高度过大，提高后续查询和合并的效率。
具体实现方式是使用一个rank数组来记录每个节点的高度，将矮的树合并到高的树上时，需要更新rank数组。
三、路径分裂优化路径分裂是一种基于节点高度的优化策略。
在执行路径压缩时，我们可以选择将路径上的一部分节点修改为指向其祖父节点而非根节点，从而保持树的平衡性。
这种方式在实践中通常能够取得不错的效果。
四、按大小合并优化按大小合并是一种基于节点数量的优化策略。
在合并操作中，我们将较小的树合并到较大的树中，以减少树的高度。
具体实现方式是使用一个size数组来记录每个节点的大小，将规模较小的树合并到规模较大的树上时，需要更新size数组。
五、路径减半优化路径减半是一种基于节点高度的优化策略。
在执行路径压缩时，我们将路径上的每个节点的父节点指针更新为其祖父节点，从而减少路径的长度。
这种方式在实践中能够进一步提高查询和合并的效率。
六、基于哈希表的优化在某些场景下，我们可能需要对大规模数据进行动态合并，并查集的传统实现方式可能会导致内存消耗过大。
此时，可以考虑使用基于哈希表的优化方式。
具体实现方式是为每个节点分配一个唯一的标识符，并使用哈希表来存储节点之间的关系。
总结：并查集是一种非常有用的数据结构，能够高效处理集合问题。
并查集
对于每个C i j命令,需要进行如下操作:
– –
对战舰i,j进行查找和路径压缩 判断是否有a[i]=a[j],如是则表示他们是同一队列,输出|b[i]b[j]|-1;如果不是则输出-1
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
关于战舰i的路径压缩的步骤:
–
–
从i出发寻找根root,并累计从i到根root的深度,得 到b[i] 再次遍历从i出发到root的路径.对于途中的每一个 节点k(假设在修改k之前a[k]=a1,b[k]=b1),则我 们根据已经修改过的战舰k的a,b值对战舰a1的a, b值进行修改,即:
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
然而,老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了 主动.在交战中,他可以通过庞大的情报网络随时监 听杨威利的舰队调动指令. 在杨威利发布指令调动舰队的同时,莱因哈特为 了及时了解当前杨威利的战舰分布情况,也会发出一 些询问指令:C i j.该指令意思是,询问电脑,杨威 利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中,如果 在同一列中,那么它们之间布置有多少战舰. 作为一个资深的高级程序设计员,你被要求编写 程序分析杨威利的指令,以及回答莱因哈特的询问.
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
观察这个题目,开始时每条战舰作为独立的队 列.随着M命令的发布,分离的队列不断合并. 而且途中我们需要知道一些元素(战舰)的信 息 这些性质启发我们应用并查集的数据结构解决
银河英雄传说(NOI2002) 例一 银河英雄传说
由于我们要得到的信息除了某条战舰在哪个队 列,还要知道它在该队列中的位置.因此需要 对并查集进行扩充. 定义:
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并查集经典例题
选择题
并查集数据结构主要用于处理什么问题？
A. 图的最短路径问题
B. 树的遍历问题
C. 不相交集合的合并及查询问题（正确答案）
D. 排序问题
在并查集中，查找操作的主要目的是什么？
A. 确定某个元素是否属于某个集合
B. 确定某个集合的大小
C. 查找某个元素所在集合的代表元素（正确答案）
D. 合并两个集合
并查集的初始化过程中，每个元素所在集合的代表元素通常设置为什么？
A. 0
B. -1 （正确答案）
C. 1
D. 该元素自身
在并查集中，合并两个集合的操作通常涉及哪两个步骤？
A. 查找和删除
B. 查找和更新（正确答案）
C. 插入和删除
D. 插入和更新
使用并查集解决“朋友圈”问题时，每个朋友可以被视为一个什么？
A. 节点
B. 边
C. 集合中的元素（正确答案）
D. 图
在并查集中，路径压缩的主要目的是什么？
A. 减少集合的数量
B. 加快查找速度（正确答案）
C. 加快合并速度
D. 减少内存使用
并查集在处理动态连通性问题时，主要关注的是什么？
A. 边的数量
B. 节点的数量
C. 连通分量的数量（正确答案）
D. 图的遍历顺序
在并查集中，如果两个元素通过一系列操作最终指向同一个代表元素，那么这两个元素之间的关系是什么？
A. 无关
B. 属于同一个集合（正确答案）
C. 属于不同集合
D. 无法确定
使用并查集可以解决哪类典型问题？
A. 最小生成树问题
B. 拓扑排序问题
C. 网络流问题
D. 动态连通性问题（正确答案）。
可撤销并查集例题
可撤销并查集例题以下是可撤销并查集的一个简单例子：假设有一个班级有10个学生，每个学生属于一个不同的班级。
由于某种原因，一些学生离开了班级，我们想知道现在每个班级有多少学生。
数据结构定义：1.并查集是一个能够快速完成"查找"和"合并"操作的线性数据结构。
2.并查集的元素可以对应班级，或者对应其他任何可以进行合并与查找的实体。
3.并查集支持以下操作：⏹Find(x)：查找元素x所在的集合（或者说是班级）的代表元素（通常是最小的元素）⏹Union(x, y)：将元素x和y所在的集合合并为一个集合⏹是一种可以撤销的操作，撤销后可以使已经合并的集合再度分离。
算法实现：1.初始化每个班级为一个独立的集合，每个班级的代表元素为其最小值。
2.假设有学生离开，我们需要进行合并操作。
比如有学生1、2、3离开了第1班，我们需要将第1班和第2班合并，具体步骤为：Union(1, 2) -> Union(2, 3) -> Union(3, 4) -> ... -> Union(9, 10)。
这样第1班就变成了第2班。
3.现在我们可以进行撤销操作。
假设我们希望将第2班撤销为第1班，我们需要进行一系列的撤销操作：Undo(9, 10) -> Undo(8, 9) -> ... -> Undo(2, 3) -> Undo(1, 2)。
这样第2班就变回了第1班。
4.最后，我们可以统计每个班级的学生数量。
这个例子演示了如何使用并查集处理学生的班级管理问题，特别是当有学生离开和返回时的情况。
并查集压缩技巧概述
并查集压缩技巧概述并查集是一种用于处理元素分组和查询两个元素是否属于同一组的数据结构。
在并查集的实现中，压缩技巧是一种重要的优化方法，可以提高查询操作的效率。
本文将对并查集的概念进行简要介绍，并详细阐述并查集压缩技巧的原理和实现方式。
一、并查集的概念并查集是一种常见且实用的数据结构，在解决一些分组及连通性问题时有着广泛的应用。
它由一组集合组成，每个集合通过一棵树表示，其中每个节点都包含一个指向父节点的引用。
通过这种方式，可以轻松实现集合的合并和查询操作。
二、并查集的操作并查集的主要操作包括合并操作和查询操作。
合并操作用于将两个不同的集合合并在一起，而查询操作则用于判断两个元素是否属于同一个集合。
合并操作的实现方式通常有两种：按秩合并和按大小合并。
按秩合并指在合并两个集合时，将秩较小的树作为秩较大的树的子树，避免树的深度过大；按大小合并则是根据两个集合的大小来决定合并操作的方向，将大小较小的集合合并到大小较大的集合中。
查询操作的实现方式也有两种：直接查询和路径压缩。
直接查询是通过递归查询每个节点的父节点，并比较根节点是否相同来判断两个元素是否属于同一个集合；而路径压缩则是在查询的过程中，将路径上的所有节点都直接连接到根节点，从而缩短树的深度，提高查询效率。
三、并查集压缩技巧的原理路径压缩是一种优化技巧，用于减少树的深度，进而提高查询操作的效率。
该方法基于以下观察：在查询节点的同时，将沿途经过的所有节点直接连接到根节点，可以降低以后的查询操作的复杂度。
通过路径压缩，可以使得树的深度几乎为常数级别，极大地提高了查询操作的效率。
四、并查集压缩技巧的实现在实现并查集时，可以结合路径压缩技巧。
在查询操作中，除了找到某个节点的根节点外，还将路径上的所有节点都直接连接到根节点，以减少以后的查询操作的复杂度。
具体来说，可以使用递归或迭代的方式，在找到根节点的同时，将沿途经过的所有节点都直接连接到根节点。
五、总结并查集是一种常见且实用的数据结构，它可以用于解决分组及连通性问题。
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6 7 8 9 /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */ int Find_Set(int x) { if (x != father[x]) { father[x] = Find_Set(father[x]); } return father[x]; } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 4 23 45 48 58 00 Sample Output Case 1: 1 Case 2: 7 题目大意：已知有n个大学生，其中有m对宗教信仰相同的学生，请你 估算这n个学生中最多有多少种宗教信仰。 这是简单的并查集应用。宗教信仰的最大值为学生数n，因此一开始把 n个学生作为n个集合，对给出的每对大学生 a 和 b ，如果他们在不同 的集合，就合并他们，然后宗教数减一。
并查集的优化 1、Find_Set(x)时 路径压缩 寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为 一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这 个复杂度呢？ 答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点 后，"回归"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次 Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。
#include<iostream> using namespace std; father[50001],num[50001]; //father[]存储节点的父节点；num[]存储节点 所在集合元素的个数 void Make_set(int x) //初始化集合 { father[x]=x; num[x]=1; } int Find_set(int x) //查找x元素所在的集合，并压缩路径 { if(x!=father[x]) { father[x]=Find_set(father[x]); } return father[x]; }
并查集
等价关系与等价类 从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对 象应满足等价关系。若用符号"≡"表示集合上的等价关系，那么对于该 集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立： 1、自反性：x ≡ x 2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x 3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z 因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。
断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即 可。 3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合 合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示 x的"父亲"的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中 一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。
18 19 /* 按秩合并x,y所在的集合 */ void Union(int x, int y) { x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (rank[x] > rank[y]) { father[y] = x; } else { if (rank[x] == rank[y]) { rank[y]++; } father[x] = y; } }
void Union_set(int a,int b) //合并a、b所在的集合 { if(a==b) return; if(num[a]<=num[b]) //将小集合合并到大集合中，更 新集合个数 { father[a]=b; num[b]+=num[a]; } else { father[b]=a; num[a]+=num[b]; } } int main() { int n,m,a,b,ra,rb,i; int cases=0; while(cin>>n&&cin>>m&&n!=0&&m!=0) { for(i=1;i<=n;i++) //将每个节点作为一个集合 Make_set(i); for(i=0;i<m;i++) { cin>>a>>b; ra=Find_set(a); rb=Find_set(b); if(ra!=rb) //不在同一集合则合并，n减1 { Union_set(ra,rb);
2、Union(x,y)时 按秩合并 即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树
的高度会相对较小。 主要代码实现 1 2 3 4 /* father[x]表示x的父节点 */ int father[MAX]; /* rank[x]表示x的秩 */ int rank[MAX]; 1 2 3 4 5 6 /* 初始化集合 */ void Make_Set(int x) { father[x] = x; rank[x] = 0; }
religious beliefs. Furthermore, many students are not comfortable expressing their beliefs. One way to avoid these problems is to ask m (0 <= m <= n(n-1)/2) pairs of students and ask them whether they believe in the same religion (e.g. they may know if they both attend the same church). From this data, you may not know what each person believes in, but you can get an idea of the upper bound of how many different religions can be possibly represented on campus. You may assume that each student subscribes to at most one religion. Input The input consists of a number of cases. Each case starts with a line specifying the integers n and m. The next m lines each consists of two integers i and j, specifying that students i and j believe in the same religion. The students are numbered 1 to n. The end of input is specified by a line in which n = m = 0. Output For each test case, print on a single line the case number (starting with 1) followed by the maximum number of different religions that the students in the university believe in. Sample Input 10 9 12 13 14 15 16 17 18 19 1 10
POJ 2524 Ubiquitous Religions
Description There are so many different religions in the world today that it is difficult to keep track of them all. You are interested in finding out how many different religions students in your university believe in. You know that there are n students in your university (0 < n <= 50000). It is infeasible for you to ask every student their
通过金属线连接起来的电器的连通性，就是一种等价关系。这种关系显 然具有自反性，因为任何一个器件都是与自身连通的；如果a 电连通 b，那么b一定也电连通a，因此这种关系具有对称性； 若a连通到b， 并且b连通到c，那么a连通到c 。 并查集 并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系 的等价类。并查集一般以树形结构存储，多棵树构成一个森林，每棵树 构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作 为该树(集合)的祖先。 并查集支持以下三种操作： 1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合 初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是 它本身。 2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合 查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判
n--; } } cout<<"Case "<<++cases<<": "<<n<<endl; } return 0; } PS： 5 2
1 ra=Find_set(1) father(1)=Find_set(2) father（2）=Find_set(5)=5
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ