高级不等式及其解题应用

目录Ch1. 伯努利不等式

Ch2. 均值不等式

Ch3. 幂均不等式

Ch4. 柯西不等式

Ch5. 切比雪夫不等式

Ch6. 排序不等式

Ch7. 琴生不等式

Ch8. 波波维奇亚不等式

Ch9. 加权不等式

Ch10. 赫尔德不等式

Ch11. 闵可夫斯基不等式

Ch12. 牛顿不等式

Ch13. 麦克劳林不等式

Ch14. 定义多项式

Ch15. 舒尔不等式

Ch16. 定义序列

Ch17. 缪尔海德不等式

Ch18. 卡拉玛塔不等式

Ch19. 单调函数不等式

Ch20. 3个对称变量pqr法

Ch21. 3个对称变量uvw法

Ch22. ABC法

Ch23. SOS法

Ch24. SMV法

Ch25. 拉格朗日乘数法

Ch26. 三角不等式

Ch27. 习题与习题解析

1.1若实数i x （i 12n ,,...,=）各项符号相同，且i x 1>-，则：

12n 12n 1x 1x 1x 1x x x ()()...()...+++≥++

++ 1()

1()当12n x x x x ...====时，1()式变为：n 1x 1nx ()+≥+ 2() Ch2. 均值不等式

2.1若12n a

a a ,,...,为正实数，记：

⑴ n Q =，为平方平均数，简称平方均值；

⑵ 12n

n a a a A n

...+

++=

，为算术平均数，简称算术均值；

⑶ n G =，为几何平均数，简称几何均值； ⑷ n 12n

n

H 111a a a ...=

+++，为调和平均数，简称调和均值.

则：n n n n Q A G H ≥≥≥ 3()

iff 12n a a a ...===时，等号成立. （注：iff if and only

if =当且仅当.） 3()Ch3.幂均不等式

3.1设12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，实数r 0≠，则记：

1

r r r

r

12n r a a a M a n ...()⎛⎫+++= ⎪⎝⎭

4()

4()式的r M a ()称为幂平均函数.

3.2若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，则：

r s M a M a ()()≤ 5()

当r s ≤时，5()式对任何r 都成立，即r M a

(

)关于r 是单调递增函数.

5()3.3设12n m m m m (,,...,)=为非负实数序列，且12n m m m 1...+++=，若12n a a a a (,,...,)=为

正实数序列，且实数r 0≠，则：

1m r r r

r

r

1122n n M a m a m a m a ()(...)=+++ 6()

6()式称为加权幂平均函数.

3.4若12n a a a a (,,...,)=为正实数序列，且实数r 0≠，对m r M a ()则：m m r s M a M a ()()≤

即：11r

r

r s

s

s s

r

1122n n 1122n n m a m a m a m a m a m a (...)(...)+++≤+++ 7() 当r s ≤时，7()式对任何r 都成立，即m r M a ()关于r 是单调递增函数.

7()

Ch4. 柯西不等式

4.1若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：

222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b (...)(...)(...)++++++≥+++ 8()

iff

n 12

12n

a a a

b b b ...===时，等号成立.（注：iff if and only if =当且仅当.） 8(

)4.2柯西不等式还可以表示为：

222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b n n n

.........()()()+++++++++≥ 9()

简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将

1122n n

a b a b a b n

...+++

简称为积均值，记：n D =

则：224n n n Q a Q b D ab [()][()][()]≥

n D ab () 10() 4.3推论1：若a b c x y z ,,,,,为实数，x y z 0,,>，则：

2222

n 12n 1212n 12n

a a a a a a

b b b b b b (...)......++++++≥

+++ 11() iff

n 1212n

a a a

b b b ...===时，等号成立. 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式4.4推论2：若12n a a a ,,...,和12n b b b ,,...,均为实数，则：

...+≥12()

iff

n 12

12n

a a a

b b b ...===时，等号成立.