全等三角形与坐标系.doc

全等三角形与坐标系

1.如图,直角坐标系中，点B(a,O),点C(O,b),点A在第一象限.若a,b满足(a - t)2 4-|b - t| = 0(t >

0).

(1)证明：OB=OC；

(2)如图1,连接AB,过A作AD±AB交y轴于D,在射线AD上截取AE=AB,连接CE, F是CE的中点，连接AF, OA,当点A在第一象限内运动(AD不过点C)时，证明：ZOAF的大小不变；

(3)如图2, B'与B关于y轴对称，M在线段BC ±, N在CB'的延长线上，且BM=NB',连接MN 交x轴于点T,过T作TQ1MN交y轴于点Q,求点Q的坐标

(1)解：(a*t)〔Ib-tlD (t>0).

b-t=O>

b=t, .•a=b>

VB (t, 0),点C(0, t) 「•OB=0C;

(2)证明：延长AF至T,使TF=AF,连接TC,

TO, ..•跳CE中点，

.LCeEF,

在林口AAEF中

'CF = EF

< zCFT=zEFA 5T=AF

.•.ATCF^AAEF (SAS), •••C*AE, ZTCF^ZAEF,

ATC//AD,

.\ZTCD=ZCDA, VAB=AE； .\TC=AB,

VAD1AB,

0B10C, .\ZC0B=ZBAD=90<> , .\ZABO+ZADO=18O0 ,

•.•ZADO+ZADOI8O0 , .\Z ADC=Z ABO,

*/Z TCD=Z CDA,.\Z TCD=Z ABO,在左TCOfOAABO中

TC=AB

< zTCO=zABO

.OC = OB

/.ATCO^AABO (SAS), /.TO=A0, ZTOOZAOB,

^VAOB+ZAOC^gO0, .NT0C+/AOC=9O° , .•.△TAO为

等腰直角三角形，

「•匕0心45° ;

/.ZOAF=45M 5

(3)解：连接叽NQ, BQ, Q,过M作MH〃C岐恭由于

H

•.•B和B'关于，由对称，C在遍上，

AZCBB7 =ZCB Z B,

•「MH 〃顷'

.\Z MHB=Z CB Z B,

.\ZMHB=ZCBB y ,

•「BM* N,

「•MH* N,

•/MH//CN,

/.ZNB Z T^ZMHT,

•「在△im和△MTH中

LNBT=C MHT

< zB z TN=zMTH

BN=MH

/.ANTB y丝△rra (AAS),

/.TN^MT,又B1MN,

/.MQ=NQ,

•「曜直平分职,

/.BQ=B y Q,

•「在△HQB'和△MQB中

"B X N = BM

< B X Q=BQ

•NQ=MQ

.\ANQB Z丝△IQB (SSS),

AZNB Z QNCBQ,

而ZNB7 Q+ZCB7Q=180°

•\ZCBQ+ZCB Z Q=180°

/.ZB y CB+ZB7QB=180° ,

又,.*K>=C0, B z 0=C0,

.•.Z B7 CB=90°,

AZB Z QB=9O0

.•.△BQW是等腰直角三角形，

.\OQ=OB=t,

2,如图1,已知线段AC〃y轴，点B在第一象限，且A0平分ZBAC, AB交y轴与G,连OB、0C.

(1)判断△AOG的形状，并予以证明；

(2)若点B、C关于y轴对称，求证：AO±BO；

(3)在(2)的条件下，如图2,点M为OA上一点，且ZACM=45° , BM交y轴于P,若点B的坐标为(3, 1),求点M的坐标.

解：(1) AAOG^形状是等腰三角形，理由如下：

•.•AC 〃活，

/.ZCAO=ZGOA,

•.•A0 平分ZBAC,

•,/AON GAO,

•••/GOAMGAO,

•••AG=OG，

•••△AO堰等候三角形；

(2)接连BC,过0作OE1AB于E,

•.•B、C关于逸对称,"席，

•.•ACJLBC,

在RtACOD 和Rt2kB0E 中，

DO = OE

CO = BO

.•.△COD丝△BQE (HL)，

/.ZDCO=ZEBO,

AZBAC+ZB0C=180° ,

设匕BAD=匕CAO=x, ZOBC=ZOCB=y,

.•.2x+ZB0C=180°，

又V2y+ZB0C=180° ，

•.•x=y,故匕OAC=匕。BC,

AZA0B=ZACB=90° ,

AA010B；

(3)连BC,作MG±x轴于G, BJLLx轴于H,

则ZACB=90° ，

•.•/ACM二45° ,

•••CM平分ZACB,又AM平分ZBAC,

•.•BM平分匕ABC,设ZABM=ZCBM=z, 由⑵ 可得匕OMB=x+z, ZOBM=jH-z=x+z /.ZOMB=ZOBM,

AOM=OB

•,•AOBM为等腰直角三角形，

ZNG0=ZBH0 = 90°

ZGfflO=ZBOH

OM = OB

•••△OBM为等腰直角三角形，

ZMG0=ZBH0 = 90o

ZGfflO=ZBOH

OM-OB ，

AAOMG^AOBM (AAS),

.•.OG=BH=1> MG=0H=3>

AM (-1, 3) .