曲线Fxy0的切线与法线方程

四川大学数学学院 徐小湛
点法式 类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面方程
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
k Fy (x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 )
法线：
y y0
Fy Fx
( (
x0 x0
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
F (x, y) 0 dy Fx
Santa II, p.163
dx Fy
切向量：{1, Fx }
Fy 或 {Fy , Fx}
法向量：{1, Fy }
或
{Fx
,
Fy
}
Fx n
四川大学数学学院 徐小湛
(x0, y0 )
F(x, y) 0
2 April 2012
e
Βιβλιοθήκη Baidu
e
法线方程： y 1 e(x 0)
四川大学数学学院 徐小湛
y ex 1
2 April 2012
ey xy e
四川大学数学学院 徐小湛
Santa II, p.163
y ex 1
y x 1 e
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
, ,
y0 y0
) )
(
x
x0
)
即
x x0 y y0
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
四川大学数学学院 徐小湛
对称式
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
2 April 2012
Santa II, p.163
例 求曲线 ey xy e 0 在点 (0,1)处的 切线方程和法线方程。
Santa II, p.163
隐函数的导数的一个应用就是求曲线 F(x, y)=0 的切线和法线方程。 这里我们给出曲线F(x, y)=0 的切线和 法线方程的一般形式。 它们很类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面 和法线方程。
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.163
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 的切向量与法向量
切向量
s {Fy , Fx}
法向量
n {Fx , Fy} F
(x0, y0 )
F(x, y) 0
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的切线斜率：
y(
x0
)
Fx Fy
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
（由隐函数的导数公式）
切线方程：
y
y0
Fx (x0 , y0 ) (x Fy (x0 , y0 )
x0 )
即
Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
解 令 F (x, y) ey xy e
则 Fx y Fy ey x
得 y(0) Fx (0,1) 1 Fy (0,1) e
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
切线斜率
k切
y(0) 1
e
法线斜率
k法
1 y(0)
e
Santa II, p.163
切线方程： y 1 1 (x 0) y x 1