2009年高考数学易失分、易误点特别提醒(珍藏版)

4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集 的个数依次为 2 n ， 2 n − 1， 2 n − 1， 2 n − 2.
5. 反演律： CI ( A ∪ B) = CI A ∩ CI B ， C I ( A ∩ B) = C I A ∪ C I B .
6. φ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 7. 基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： y = x
α
（ α ∈ R ) ；⑵指数函数： y = a ( a > 0, a ≠ 1) ；
x
⑶对数函数: y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) ；⑷正弦函数: y = sin x ； ⑸ 余 弦 函 数 ： y = cos x ；（ 6 ） 正 切 函 数 ： y = tan x ； ⑺ 一 元 二 次 函 数 ：
f ( x1 ) − f ( x2 ) > (<)0 ⇔ f ( x) 在 A 上是增（减） x1 − x2
x1 i x2 ) x2
ab ]
x b + a x
(a > 0, b > 0) 的单调区间吗？（该函数在 (−∞ , −
或 [ ab , +∞ ) 上单调递增；在 [ − ab , 0) 或 (0, ab ] 上单调递减，求导易证）这 可是一个应用广泛的函数！请你着重复习它的特例“对号函数” 17 . 切记定义在 R 上的奇函数 y=f(x)必定过原点。 17. . 抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义 18 18. 求解。同时，要领会借助函数单调性利用不等关系证明等式的重要方法：f(a)≥b 且 f(a)≤b⇔f(a)=b。 . 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零， 19 19. 底数大于零且不等于 1）字母底数还需讨论呀.
y2 =1,求 x2+y2 的取值范围。 4 y2 y2 2 =1 得(x+2) =1≤1，∴-3≤x≤-1 从而当 x=-1 时 x2+y2 4 4
28 ] 3
−1
提示： 由于 (x+2)2+
有最小值 1。x2+y2 的取值范围是[1,
. 函数与其反函数之间的一个有用的结论： f 13 13. 函数图象的交点不全在 y=x 上（例如： y =
ax 2 + bx + c = 0 ；
1
⑻其它常用函数：①正比例函数： y = kx ( k ≠ 0) ；②反比例函数： y =
k (k ≠ 0) ；特别的 x
y=
1 a ，函数 y = x + ( a > 0) ； x x
8. 二 次 函 数 ： ⑴ 解 析 式 ： ① 一 般 式 ： f ( x) = ax 2 + bx + c ； ② 顶 点 式 ：
9. 函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换： ① 平移变换：ⅰ y = f ( x ) → y = f ( x ± a) ， ( a > 0) ———左“+”右“-”； ⅱ y = f ( x) → y = f ( x) ± k , ( k > 0) ———上“+”下“-”； ② 伸缩变换： ⅰ y = f ( x) → y = f (ω x) ， （ ω > 0) ———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍； ⅱ y = f ( x ) → y = Af ( x) ， （ A > 0) ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍； ③ 对称变换：ⅰ y = f ( x ) ⎯⎯ ⎯→ y = − f (− x) ；ⅱ y = f ( x) ⎯⎯→ y = − f ( x ) ； ⅲ y = f ( x ) ⎯⎯→ y = f ( − x ) ； ⅳ y = f ( x) ⎯⎯→ ⎯ y= f ④ 翻转变换： ⅰ y = f ( x ) → y = f (| x |) ———右不动，右向左翻（ f ( x) 在 y 左侧图象去掉） ； ⅱ y = f ( x) → y =| f ( x) | ———上不动，下向上翻（| f ( x ) |在 x 下面无图象） ；
95 注意曲线上某点处的导数值就是切线的斜率。 （导数的几何意义）
⑵常见函数的导数公式: ① C = 0 ；② ( x ) = nx
x=0 y= x
来自百度文库−1 ( 0,0)
1 ω
y =0
( x) ；
. 函数的几个重要性质： 10 10. ①如果 函数 y = f ( x ) 对于一切 x ∈ R ，都有 f (a + x ) = f (a − x ) ，那么函数
y = f ( x ) 的图象关于直线 x = a 对称⇔ y = f ( x + a ) 是偶函数；
f ( x) = a( x − h) 2 + k ， (h, k ) 为顶点；③零点式： f ( x) = a( x − x1 )( x − x 2 ) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点； ⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。
3
函数的奇偶性时， 你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件 1 了吗？特例（ : f（x） = ） x . 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？ (取值, 作差, 判正负.)用 15 15. 导数研究函数单调性时，一定要注意“ f ' ( x ) >0(或 f ' ( x ) <0)是该函数在给定区 间上单调递增（减）的必要条件。 变形 ⑴： ∀x1 , x2 ∈ A, x1 ≠ x2 , 函数. 变形⑵： f ( x1 ) = f [( x1 − x2 ) + x2 ] = f ( . 你知道函数 y = 16 16.
2
③如果函 数 y = f ( x ) 对于一切 x ∈ R ，都有 f (x + a ) = f (x − a ) ，那么函数
y = f ( x ) 是周期函数，T=2a；
④ 如果函数 y = f ( x ) 对于一切 x ∈ R ，都有 f（a + x） + f （ a − x） = 2b ，那么 函数 y = f ( x ) 的图象关于点（ a，b ）对称. ⑤函数 y = f ( x ) 与函数 y = f (− x ) 的图象关于直线 x = 0 对称；函数 y = f ( x ) 与 函 数 y = − f (x ) 的 图 象 关 于 直 线 y = 0 对 称 ； 函 数 y = f (x ) 与 函 数
x ∈ R ，有 ax 2 + bx + c > 0 ”的充分不必要条件。
（2）求函数 y=
x 2 + 4x + 3 的值域 x2 + x − 6
解得 y
解：y=
( x + 1)( x + 3) x + 1 2y +1 = (y-1)x=2y+1 ∴y≠1 且 x= ≠-3 ( x − 2)( x + 3) x − 2 y −1
(a ) = b ⇔ f (b ) = a. 原函数与反
1 ） ； y = f −1 ( x + a ) 只能理解为 x
y = f −1 (x ) 在 x+a 处的函数值。
. 原函数 y = f ( x ) 在区间 [− a, a ] 上单调递增，则一定存在反函数，且反函数 14 14.
y = f −1 (x ) 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．判断一个
y = − f (− x ) 的图象关于坐标原点对称；
⑥若奇函数 y = f ( x ) 在区间 (0,+∞ ) 上是增函数，则 y = f (x ) 在区间 (− ∞,0 ) 上 也是增函数；若偶函数 y = f (x ) 在区间 (0,+∞ ) 上是增函数，则 y = f ( x ) 在区 间 (− ∞,0) 上是减函数； . 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你注明了该函数的定义域了 11 11. 吗？ . 求二次函数的最值问题时你注意到 x 的取值范围了吗？ 12 12. 例：已知(x+2)2+
2009 年新课标高考数学易失分、易误点特别提醒
在高考备考的过程中，熟知这些解题的小结论，防止解题易误点的产生， 对提升数学成绩将会起到很大的作用。请同学们每次考试前不妨一试，成绩可 20 分哦！ 以提高 5—— ——20 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系中自变 量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2. 数形结合是解集合问题的常用方法： 解题时要尽可能地借助数轴、直角坐 标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利 用数形结合的思想方法解决； 3. 已知集合 A 、 B ，当 A ∩ B = ∅ 时，你是否注意到“极端”情况： A = ∅ 或 B = ∅ ；求集合的子集时是否忘记 ∅ ？ 例如： （ 1） (a − 2)x 2 + 2(a − 2 )x − 1 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立，求 a 的取值范围. 你讨论了 a＝2 的情况了吗？ （2）已知集合 A = {x − 2 < x < 5}, B = {x p + 1 < x < 2 p − 1}, 若 A ∪ B = A ， 则实数 p 的取值范围是 。 （ p ≤ 3）
. 函数零点的求法：⑴直接法（求 f ( x ) = 0 的 根 ） 25 25. ； ⑵图象法；⑶二分法. . 导数 26 26.
⑴导数定义：f(x)在点 x0 处的导数记作 y ′
x = x0
= f ′( x 0 ) = lim
∆x → 0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ； ∆x
②若都有 f (a − x ) = f (b + x ) ， 那么 函 数 y = f (x ) 的图象关于直线 x = 函数 y = f (a − x ) 与函数 y = f (b + x ) 的图象关于直线 x =
a+b 对称； 2
a−b 对称；特例 :函 2
数 y = f (a + x ) 与函数 y = f (a − x ) 的图象关于直线 x = 0 对称.
（ log a b =
. 你还记得对数恒等式吗？（ a log a b = b ） 21 21. 22 . “实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有实数解”转 化 为 22. “ ∆ = b 2 − 4 ac ≥ 0 ”， 你 是 否 注 意 到 必 须 a ≠ 0 ； 当 a=0 时 ， “ 方程 有解 ”不能 转化为
2 2 2 ∴原函数值域为：y∈(-∞, )∪( ,1)∪(1,+∞) 5 5 5 2 （3）关于 x 的方程 2kx +(8k+1)x+8k=0 有两个不相等的实根，则 k 的取值 范围是 ： k>-1/16 且 k≠ 0 . 函数 y=f(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有 23 23. 交点. ≠1 且 y≠ 24 . 如果函数 y=f(x) 在区 间 [a,b] 上的图象是 连续不断的一 条曲线 ，并且有 24. f(a)·f(b)<0，那么， 函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点， 即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0， 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 思考： f (a ) ⋅ f (b) < 0 是函数在区间上有零点的 条件.
2 例：函 数 y = log 0。 （ 的值域是 R ，则 a 的取值范围 是 5 x − ax + 4）
。
（ （ − ∞， − 4] ∪ [4， + ∞） ） . 20 20. 对 数 的 换 底 公 式 及 它 的 变 形 ， 你 掌 握 了 吗 ？ log c b , log a n b n = log a b ） log c a
∆ = b 2 − 4 ac ≥ 0 ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是
4
否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如： (a − 2)x 2 + 2(a − 2)x < 0 对一切
x ∈ R 恒成立，求 a 的取值范围，你讨论了 a＝2 的情况了吗？
例： （ 1 ）若 实数 a，b，c 为常数，则 “ a > 0 且 b 2 − 4ac < 0 ”是“对任意