电气工程的基本数学物理基础教学讲义

的方向总是与磁通变化率的方向相反 ★在选择回路感生电势的正方向与回路磁通的正方向符 合右螺旋定则时，当回路中的磁通增加，即 φ ＞ 时感生 电势（感生电流）的实际方向与所选正方向相反 e＜0（图 a、c）；当回路中的磁通减少，即 φ ＜ 时感生电势（感 生电流）的实际方向与所选正方向相同，e＞0（图 b、d）。 这样：感生电势 e 和磁通变化率 φ 就总是异号的。 ★互感电势方向： ♣同名端： ♣方向约定： d.楞次定律是能量转换和守恒定律在电磁感应现象中的具体反映。进一 步上图不难用重力势能做功转换为电磁能的过程中服从能量守恒定 律。
作用下移动，磁场就要做功。
（3）磁感应强度的大小为磁场中单位电流元在与磁场方向垂直时
所受电磁力大小。1 特斯拉 T=104 高斯 Gs
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Δ
Δι
量纲为： 牛
牛米
安 米 安 米。米
焦耳 安 米米
伏 安
安 米
秒米=伏米
秒 米
（4）磁通量为单位面积上磁感应强度的大小φ =B.S (韦伯)
量纲为:伏米 秒米×米.米=伏 秒 韦伯 3. 电压、电流、电势：它们都不是向量但是有方向的规定，有正负之
电场：电荷周围空间存在的特殊物质。这个特殊物质具有两个基本特性 （1）电场对处于其中的电荷具有力的作用；这个力叫电场力。 （2）电场中有能量分布着，电荷之间的相互作用就是通过电场发 生的。同一试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小和方
向都是不同的。衡量电场强弱的量就叫做电场强度矢量
（3）电场中任意一点电场强度ε 的大小（用ε 表示）等于单位点
由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。方向服从 左手定则。（运动方向指正电荷的运动方向） ★磁场的变化或运动使回路中的磁通产生变化时回路中 就有感应电势产生。感生电动势是因为穿过闭合线圈的 磁场强度发生变化产生涡旋电场导致电流定向运动。其 方向符合楞次定律。右手拇指指向磁场变化的反方向， 四指握拳，四指方向即为感应电动势方向 ★而所谓的“变化”是指：磁场随产生磁场的电流的变化 而变化；所谓“运动”是指：磁场与回路间产生相对运 动。 b.感应电势：由电磁感应产生的电势叫感应电势；由感应电势引起的与 其方向一致的电流叫感应电流。我们知道，要使闭合电路 中有电流，这个电路中必须有电源，因为电流是由电源的 电动势引起的。在电磁感应现象里，既然闭合电路里有感 应电流，那么这个电路中也必定有电动势，在电磁感应现 象中产生的电动势叫做感应电动势。如果没有闭合的回路 就不会产生感生电流，即便此时没有感生电流，感生电势 依然存在。 c.方向约定：在选择回路感生电势的正方向与回路磁通的正方向符合右 螺旋定则时，感生电势和磁通变化率总是异号的。
素：大小、角频率、初相位。
所以：平面上的一个旋转向量可以完整地表示一个正弦交流量。
用旋转向量表示正弦交流电的方法称为：正弦交流电的向量表示法。
●把一些表示同频率的正弦量的向量画在同一坐标系中，这样的图形叫
做向量图，因为同频，所以这些旋转向量以同一角频率旋转，他们之
间的相对位置不变，所以可以画在一起，进而也就可以不考虑这些向
（2）复数法：
因为正弦量可以用向量表示，而一个向量又和复平面内的一个复数相对
应，复数又可以表示复平面内从原点到这个复数的一个向量；所以一个
正弦量又可以用复数来表示。设通过电阻元件的复数电流为瞬时值的表
达式为：
i=Im ω θ
ωθ
θ
θ
θ
●用复数表示正弦量时，因为有效值应用最多，一般都以复数的模表示
正弦量的有效值。复数的辐角等于它所表示的正弦量的初相。（同时要
6. 法拉第电磁感应定律 回路中感应电势的大小与通过回路的磁通随时间的变化率成正比。 ︳ φ ︳ 选择国际单位制时 K=1 e= ﹣ ψ ﹣ φ ﹣ ＝U 公式的几种表示形式 即：回路中的感应电势决定于磁通的变化率的大小而不是磁通的大小。 假如通过回路的是一个恒定磁通，无论其量值多大，都不会产生感应 电势。因为其变化率为 0。式中的负号是因为根据上面楞次定律确定 的方向：在选择回路感生电势的正方向与回路磁通的正方向符合右螺
5.复数的数学运算 (1) 代数形式的数学运算 加减法：实部加减实部；虚部加减虚部。 乘 法：按多项式乘法张开，再加以整理即可 除 法：将分子分母 (2) 三角形式的数学运算
(3) 指数形式的数学运算
(4)
二：电工理论中的基本概念和正方向的规定 1. 电场强度ε (矢量)的正方向：试验电荷在电场中所受电场力的方向
量的旋转问题，从而当做不旋转的向量来处理。向量图中，两个向量
之间的夹角就是它们所表示的两个正弦量的相位差。
●不是按正弦规律变化的交流量不能用旋转矢量表示；表示不同频率的
正弦量的向量不能画在同一向量图中。应为它们之间的相对位置不是
固定不变的。旋转向量表示正弦交流电如图二所示
图二：旋转向量表示正正弦交流电
E± =
量纲为： 焦耳/库仑=伏特=J/C
规定：从电源负极到电源正极，电位升高的方向为电动势的正
方向。
电源：具有电源力的元件称为有源元件。所谓电源就是能够把其他形式
的能转换为电动势能，能维持电流存在的有源元件。
所以：统一的讲，所谓电压、电流、电势的正方向都是正电荷移动的方
向；在电源内部正电荷从低电位移向高电位，电源力做正功，在
时为电压的负方向，取负值。
电流：规定正电荷移动的方向为电流的正方向。因此电压和电流的方向
规定是一致的，都是基于电场力做功的状况。
电流强度的单位为：安培=库仑/秒=C/S
电势：把正电荷从低电位移到高电位的非电场力称为电源力。电源力把
单位正电荷从电源负极移动到电源正极所做的功称为电动势。即
电势。是衡量电源做功能力大小的物理量。
aK
φ
aK
φ
1
1
x
Ax
2
φ
A
e
e
X
φ
2
X
图C
图d
★图 c 所示，在开关合上时线圈 1 中的电流 i1 从无到有， 线圈 2 中的每匝都因磁通的增加而产生感生电势。整个线 圈是由每匝线圈串联而成，各匝线圈感应电势之和就是整 个线圈的感应电势。根据楞次定律，线圈 2 的感应电流的 方向必定使其产生的磁场的方向相反，以此来阻碍磁通量 的增加。根据右手螺旋定则不难判断线圈 2 中感应电势（感 应电流的方向如图所示。此时由于线圈是开路的，尽管没 有感生电流，但是感生电势依然存在。 ★图 d 所示，如果线圈原来是合上的，同理也不难判断线 圈 2 中的感生电势的方向。 ★认为感生电流产生的磁场的方向总是与原来磁场的方 向相反，是错误的。实际上就是楞次定律表述的：感生电 流的磁场总是阻碍原来磁通量的变化的。如果原来的磁通 减少，感生电流产生的磁场就与原来的磁场方向一致以阻 止磁通的减少；如果原来的磁通增加，感生电流的磁场就 与原来磁场的方向相反以阻止磁通的增加。就是感生电流
电源外部，正电荷从高电位移向低电位；电场力做正功。电场力
或电源力做负功时电压或电势的方向就和正电荷移动的方向相
反。这是标为负值。它们的方向只代表两种力（电场力和电源力）
做功的正负，并不具有空间意义上的方向性，所以它们是标量而
不是矢量。但有正负之分。这是因为：
由电流、电压、电势所反应的电路的基本规律都包括他们的大小
如上图所示：当磁铁插入或拔出时检流计的偏转方向不同，说明感应电 势的方向不同。 ★图 a 所示，在磁铁插入回路时回路的磁通增加，要阻碍 磁通的增加，由感生电势产生的与之方向一致的感生电流 的产生的感应磁场要与原来产生这个感生电流的磁场的 方向相反，以阻碍原来磁通增加的变化；根据右手螺旋定 则感生电势、感生电流的方向如图红线所示。 ★图 b 所示，在磁铁拔出回路时回路的磁通减少，感应电 流的磁场要与原来的磁场方向一致以阻碍原来磁通减少 的变化。
分，这是基于其物理概念的本质决定的。
电压：电场力把单位正电荷 q 从 a 点移动到 b 点所做的功。是衡量电场
力做功能力大小的物理量。
U ab=
量纲为： 焦耳/库仑=J/C=伏特
规定：从 a 点到 b 点电场力做正功时规定从 a 点到 b 点的方向为
电压的真实正方向或实际正方向，取正值。反之，电场力做负功
就有动生电动势产生；其本质原因是：导体在磁场中做 切割磁力线运动时，导体内的正负电荷受到相反方向的 电磁力（洛伦兹力）的作用而分离到导体两端，使两端 形成电位差，这就是动生电动势。洛伦兹力（Lorentz force） 是运动于电磁场的带电粒子所受的力。洛伦兹力定律是 一个基本公理，不是从别的理论推导出来的定律，而是
电气工程的基本数学物理基础复习
一：复数
1. 复数的三种表现形式：
A；代数形式：A=a+j b B: 三角形式：A=r(cosφ +j sinφ ) C: 指数形式：A=r ejφ 简记为: A=r∠θ
2.指数形式数学理论基础是：尤拉公式：
A:
B:
C:
D: j
）
E:
F:
图一复数 j 的指数周期
3.复数的几何意义:一个复数对应于复平面的一个点；
ωθ
●在平面直角坐标系中做一向量 ，其大小正比于交流电的最大值；
● 的初始位置与 X 轴的夹角等于正弦交流电的初相位θ ； ●矢量 以等于正弦交流电 i 的角频率ω 的角速度逆时针方向旋转（注：
这个旋转方向很重要）， 各个瞬间在总坐标上的的投影就对应于正
弦交流电的瞬时值。这个旋转向量可以完整的表示正弦交流电的三要
旋定则时：感生电势 e 和磁通变化率 φ 就总是异号的。 四：正弦交流量的表示方法：向量法 和 复数法
按正弦函数规律变化的周期交流量叫做正弦交流量。正弦交流量虽然并
不具有空间方向上的（向量）矢量特征；但是它可以用向量（相量）表
示；准确地说用平面上一个旋转的向量（相量）可以完整地表示一个正
弦量。i=Im ω θ （1）向量法：
电荷在电场这点所受里的大小。
量纲为：牛顿/库仑=N/C=焦耳/米/库仑=伏特/米
2. 磁场强度 B（矢量）的正方向：小磁针在磁场中 N 极的指向
磁场：是由电流长生的在一定空间存在的特殊物质。磁场也具有两个基
本特性
（1）磁场对处于其中的磁针、载流体、以及运动的电荷都具有电
磁力的作用。
（2）磁场中有能量分布着，如果磁针、载流体、电荷在电磁力的
(3)积化和差 sinxsi ny= -1/2[cos (x+y) -cos(x-y)] cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] sinxcos y=1/2[si n(x+y)+si n(x-y)] cosxsiny=1/2[si n(x+y)-si n(x-y)]
(4)半角公式
特别注意正弦量用复数的的指数形式表示时，是不能反映这个正弦量的
角频率的。要表示正弦量的瞬时值用三角形式，什么时候用什么表示形
式要看具体运算和分析的方便与否）
●因为正弦量并不是复数，只是能用复数表示，所以用大写字母上面加
(2)和差化积 sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] cosx-cos y=-2sin[(x+y)/2]si n[(x-y)/2]
和方向两个基本方面，在电路分析时就需要建立同时包括大小和
方向规律的表达式。而电流、电压、电势只可能有两个方向，所 以：可以用正负数来解决这个问题。先对某一量（电流、电压、 电势）选择一个决定其数值为正的标准，如果电压（电流、电势） 的实际真实方向与所选方向一致，就在其大小前面加正号；反之， 就在其前面加负号。这样这些物理量的大小和方向就能被一个正 负数表示出来了。 方向是客观存在的（由其物理本质决定）。正方向是人为选择的。 三： 电工理论中的六大基本定律 1. 欧姆定律 2. 克希荷夫第一定律 3. 克希荷夫第二定律 4. 叠加原理 5. 楞次定律 回路中感应电势的方向总是趋向于是与之方向相同的电流产生的磁场， 来阻碍原来磁通的变化。 a.电磁感应： ★直导体与磁力线之间有相对切割运动时，这个导体两端
对应于复平面内从原点到这个点的一个向量。
4.复数的运算的三角函数基础：
(1)两角和与差的三角函数 sin(x+y)= sinxcosy+ cosxsiny sin (x-y)= sinxcosy- cosxsiny cos(x+y)= sinxsiny+ cosxcosy cos(x-y)= cosxcosy- sinxsiny