大学物理 连续体力学

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（4）
泊松比(Poisson ratio)
横向应变与纵向应变之比的 绝对值称泊松比，用µ 表示。
l0
b
l
意义：反映材料纵向与横向应变的差异
b0
当应变较小时，应力与应变成正比：
＝Y
或
（5）
（6）
Fn l Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
冰和水的结构特征
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体 在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称 为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某 些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物
l l0
当
（2）
0 时，为拉伸形变； 0 时，为压缩形变，因而，它很好地
b b0 b b0 b0
反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或 形变)为：
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（3）
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b0，横向形变后为 b 。 横向形变和纵向形变之比为泊松系数：
体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除
去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-
应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大
基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三 大基本规律推导出来。
二、 应变与应力
连续体力学
（Mechanics of continuous medium)
引 言 引 言
连续体力学包括固体的弹性力学和流体力学。 连续体的共同特点是其内部质点之间可以有相对运 动。从宏观上看，连续体可以有形变或非均匀流动。 处理连续体的办法是不再把它看成一个个离散的质 点，而是取“质元”，即有质量的体积元。在连续 体力学中，力不再看成是作用在一个个离散的质点 上，而看成是作用在质量元的表面上。接下来几章 我们要研究固体的弹性性质、液体的表面性质、液 体的流动性质和黏滞性质，这些性质无疑对农业和 生物学中是非常重要的。
四、生物材料的应变－应力关系
生物材料是由非均匀材料组成的聚合物，这些 聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之 间相互作用较弱，当受到外力拉伸时，不仅分 子本身可以伸长，而且分子之间也易发生滑动。 由于不同生物材料的组成与结构各异，因此， 也就没有固定的应变－应力关系。
动物股骨的应力－应变曲线 特点是拉应力和压应力的斜率不同，原因在于固 体的不同成分具有不同的力学性质，骨骼的抗拉 强度来自于胶原，而抗压强度来自于羟磷灰石。
发射火箭留下的烟痕在落 日的余辉中留下的影象
2.非晶体(amorphous)
无规则对称的外形，加热熔化时也没 有确定的熔点，在微观上分子排列无序 （或近程有序），这类固体称非晶体。
非晶体有许多类型， 玻璃体、弹性体和塑 性体是其中最主要的 类型。生物材料大多 属于非晶体。
晶体、玻璃体和气体的微观结构
表现为平行截面间的相对滑移。如图示：
tg
l
l
（10）
l 若 很小，则tg t l
b ψ
Ft
b’
c
c’
Ft
切应角 shearing angular
a
d
若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
t G G t
（11）
其中，G 为剪切模量shearing modulus，反映 材料抵抗剪切应变的能力。
几种动物股骨的力学性质 种类 人（20～ 29岁） 马 拉伸弹性 模量/GPa 压缩弹性 拉伸强度 压缩强度 模量/GPa 极限/MPa 极限/MPa
17.6
25.5
----9.4±0.4 8.7 4.9
124±1.1
121±1.8
170±4.3
145±1.6
牛
猪
25.0
14.9
113±2.1
88±1.5
147±1.1
100±0.7
1. 应变（strain)
在外力作用下，固体要产生形变。固体的 形变包括拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲四种。 在四种形变中，拉伸压缩和剪切为基本形变， 扭转和弯曲可视为前两种形变的组合。
应变是描述固体形变程度的 物理量，它是指物体在外力 作用下发生的相对形变。
l0
l
拉伸应变
l l0
x
d
剪切应变
通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体有：
Y G 2(1 )
上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其 中：Y 是杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力； G 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力； 是 泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个 不同特性的量是有联系的。
一些固体的弹性模量 材 料 铝 黄铜 铜 金 电解铁 铅 镁 铂 银 不绣钢 聚苯乙烯 E/1010Pa 7.8 13.9 16.1 16.9 16.7 3.6 3.6 14.2 10.4 16.4 0.41 G/1010Pa 2.5 3.8 4.6 2.85 8.2 0.54 1.62 6.4 2.7 7.57 0.133 Y/1010Pa 6.8 10.5 12.6 8.1 21 1.51 4.23 16.8 7.5 19.7 0.36
金刚石
日本泉水的结晶
布宜诺斯艾利斯的水结晶
大自然的神来之笔：传说中的凤凰归来
落日为火箭的烟痕染上 红/橘色的色泽，更把烟痕 的顶部渲染成亮白色，而刚 从东方上升的满月，为落日 线下的烟痕底部上了一层淡 白的色彩。 烟痕顶部的弥 漫状云气是因为火箭推进器 分离而产生的，这部份烟尘 里的水气在寒冷的高空中瞬 即形成冰晶，因为它还沐浴 在白日阳光中，所以就产生 了许多细小的彩虹。
拉伸应变 体应变 剪切应变
(R. Hooke)
拉
＝Y
l
l0
V 体＝K V0
x 剪＝G d
Y 、K和G 称弹性模量
弹性体的拉伸和压缩形变 正压力（拉伸压缩应力）
Fn ＝ S
（1）
其中， 沿作用力截面的法线方向。 F
例：如图示， 0
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：
固体的弹性
(Elasticity of solid)
一、固体的结构
1. 晶体(crystal)
宏观上具有规则对称的外形，微观上分 子呈有序排列（远程有序），物理性质上 呈现各向异性是固体的主要特征。此外， 熔化时具有熔点也是晶体的显著标志。
在晶体中，原子或离子周期性重复排 列，形成晶格，或称为空间点阵。
三、固体的拉伸与压缩
固体拉伸与压缩时的应变－应力关系
a 称正比极限
b 称弹性极限
d 称强度极限
常见固体材料的力学性质
名称
铝 铜 铁 钢 石英
弹性极限 /107Pa 18 20 17 30 －
抗拉强度 /107Pa 20 40 33 50 －
泊松比 0.35 0.37 0.29 0.30 0.17
胡克是法拉第以前最伟大的实验物理学家，他研 究了弹性而发现了有名的胡克定律，这是物理学 最短的定律：伸长和力成正比…… ——J.D.贝尔纳
弹性体的剪切形变
1、剪切形变shearing stain 当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间
发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。例如：
用剪刀剪断物体前即发生这类形变。 2、剪应力 shearing stress Ft t S 其中：S为假想截面ABCD的面积，力F t在该 面上均匀分布。
x d

2.应力（stress）
作用在物体内部单位 面积上的作用力称应 力，应力是内力。 应力的数学表达：
f n
S
f
f t
f S
f d f lim S 0 S dS
3.应力与应变的关系
应力伴随应变的增大而增大，它反映了发生形变的物 体内部的紧张程度。对于一般的固体材料，若形变不超过 一定的限度，应力与相关的应变成正比，此称胡克定律。