有限单元法讲义-大纲-绪论-0

有限单元法讲义

有限单元法讲课提纲（32学时）

Chapter1：有限单元法预备知识

1、绪论—多媒体介绍

有限元法基本概念、CAE简介、工程应用、课程要求

2、平面弹性力学简介

9应力/应变状态

9平面应力/平面应变概念

92D平面弹性力学基本方程（平衡、物理、几何）

9方程基本解法、张量/矩阵表示

3、偏微分方程PDE（Partial Differential Equation）及等效积分方程IE（Integral

Equation）

9偏微分方程3种主要类型、边界条件

9等效积分形式、分部积分、积分弱形式

9弹性力学虚功方程

9Galerkin加权余量法、举例与比较

4、矩阵与线性代数简介

9矩阵代数----矩阵运算（加减乘除、微积分、对角、对称、求逆、、二次型、特征向量）

9代数方程、高斯消元法

Chapter2：有限单元法步骤、方法

1、有限单元法基本步骤

区域离散、单元形函数及特性矩阵分析、整体组装求解

2、2个典型例题

例题1：

2

2

0 01

(0)(1)0

d u

u x x

dx

u u

++=≤≥

==

3、例题2：1D杆拉伸变形有限元求解

4、有限单元法实现几个问题

单元划分、单元形函数、整体矩阵组装、边界条件处理

5、单元形函数

9有限元的2个核心问题：

划区域整体求解为单元分片近似求解；单元上应用多项式逼近函数近似表达未知待求函数。因此，单元尺度上的多项式近似函数直接决定了FEM求解的成败或效果。

9 选择形函数的基本原则（Pascal 三角形）、Lagrangane 单元与高阶单元、局部坐标

（面积坐标）表示形函数的便捷。

9 形函数确定后相关变量表示以及单元矩阵推导。

Chapter3：固体力学有限单元法

1、 虚功方程、矩阵表示复习

2、 杆拉伸、平面杆系、梁变形有限元求解

3、 平面弹性力学问题有限元

三角形单元（重点），四边形单元

Chapter4：有限单元法补充

1、有限单元法总结

基本内容：PDE 转换为积分方程

弹性力学基本方程、概念

有限元基本步骤：单元类型、形函数、有限元公式

其它：编程、算法、工程实践经验

2、单元形函数

（1）广义变量反求

（2）试凑法Lagrangian 插值多项式复习、物理理解

i 1,()

()()()n

j j j i j i j j i f L f f i f ξξξξ=≠=−−∏除点外的其它节点方程；

将i点带入上方程；

（3）局部坐标

（4）实例研究

Case1：1D 线性单元、3节点二次单元、坐标变换

Case2：2D 四边形线性单元

Case3：2D 四边形8节点单元

Case4：2D 三角形线性单元、6节点三角形单元

作业：四边形9节点单元、10节点三角形单元

3、等参元及其数值积分

4、线性方程组解法

5、其它

0 绪论

（第一讲）

1、有限单法的形成

尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。

在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。

1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。

1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。

数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。

在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。

我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。

2、有限元法的进展与应用