《线性代数》课后习题答案

第一章 行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有

3

)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)

3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以

)3(33)

(3)3()

3)(3()3)(3(3

32

2

22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=

-+-+=

++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒

∈∃,，从而有

q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2

qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

如果0=b ，则有a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ⊄。 同样可得)()(p Q q Q ⊄。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。

（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。

（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如

)1(2

1

-∉Z 。 3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ⊆⊆,，从而K F Q ⋂⊆。故K F ⋂含

有两个以上的复数。

任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c

a

ab b a ⋂∈±,,。 所以K F ⋂是数域。

（2）K F ⋃一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ⋃∈3,2，但是K F ⋃∉=326。

习题1.2

2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)

312645()234516()1(ττ

习题1.3

1．证明：根据行列式的定义

11

111111

1

=

121212

()

12(1)

n n

n

j j j j j nj j j j a a a τ-∑

1

ij a =

12

12

()

(1)n n

j j j j j j τ-∑

=0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

2．解 (1) 199819992000

2001

20022003

20042005200632

C C -199819991200120021200420051

21

C C -199811200111200411

=0； （2）

1

01

022

0033

04

4--3241C C C C -+1

00

020*********

-下三角形

1268=96⨯⨯⨯；

（3）1110

1101101101112131R R R R --1

1

1

001101010111--24R 1

1

1

011101010011--32R R +11

1

0111

00120011

-

43R R +1110

11100120003

上三角形

1113=3⨯⨯⨯；

（4）

222222a b c

a a

b b

c a b c

c

c a b ------123

R R R ++2222a b c a b c a b c b b c a b c

c

c a b

++++++----

提取公因子

111()2222a b c b b c a

b c

c c a b ++----

2131

(2)(2)R b R R c R --111()000

a b c b c a

c a b

++------=3

()a b c ++。

（5）7222227222

2

27222227222227

5

12

i

i C C =+∑152222157222

1527221522721522271

2,3,4,5

i R R i -=152222

05000

0500000500

0005