最新变循环发动机部件法建模及优化研究生数学建模竞赛参赛作品

变循环发动机部件法建模及优化研究生数学建模竞赛参赛作品
参赛密码
（由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞
赛
学校
参赛队号
队员姓名
参赛密码
（由组委会填写）
第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛
题 目 变循环发动机部件法建模及优化
摘 要：
本文利用附录1、2、3、4给出的特性数据以及计算公式得出了风扇特性表中流量随风扇压比函数值的变化图形规律，求出了给定条件下风扇和CDFS 出口的总温、总压和流量，并进一步建立了发动机非线性平衡方程组求解的遗传算法模型，并得到了给定条件下非线性方程组求解结果，进而了解了给定条件下变循环发动机双涵道模式的工作状况；同时还给出了计算发动机性能最优对应的发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积的求法。

针对问题一。

第一小问，借用附录3中的压气机压比函数值定义式，求得附录4中风扇特性数据表中各换算转速下增压比对应的压比函数值（见附表一），然后由所得压比函数值及表中流量数据画出了流量随压比函数值变化的图形(见图5-1、5-2)；第二小问，首先借助题中给定的物理转速及压比函数值利用附录4中风扇和CDFS 特性数据表插值并利用附录一中公式（2.7）进行修正得到二者对应的增压比c pr 、效率c 和换算流量c W ，由于风扇进口总温、总压=进气道出口总温、总压，CDFS 进口总温、总压=风扇出口总温、总压。

借助修正的增压比、效率、换算流量及题中所给初始条件并利用附录中的相关公式可依次得到了风扇和CDFS 的出口总温、总压及流量分别为378.333、1.288、19.048；431.803、1.774、16.940。

针对问题二。

首先利用附录1、2、3、4中的信息得到了题中7个非线性方程的基本参数表达形式。

将题中的初始条件代入得到了仅含H n 、CL Z 、
CDFS Z 、CH Z 、TH Z 、TL Z 、*4T 七个基本参数的具体形式非线性方程组。

本文采
用了遗传算法对所得非线性方程组进行了求解，依次进行随机生成初始化群体（即解的初始值）、选择、交叉、变异计算、停止判断操作。

这些流程通过C 语言编码实现。

通过计算得到所求非线性方程组解为
===H CL CDFS n Z Z 0.87,0.70,0.79,
*4====1419.9CH TH TL Z Z Z T 0.31,0.52,0.22,指明了问题二给定条件下的变循环
发动机双涵道模式运行工作状况。

针对问题三。

根据本问给定初始条件，可调未知参数共有11个，按照飞机发动机常用的调节规律，选择其中的4个参数赋予初值。

实际发动机非线性数学模型中，通常采用数值计算方法，首先给出一组7个独立变量的初值，代入发动机模型，计算各平衡方程的误差，通过一定的非线性方程组迭代解法，不断地修正独立变量的试给值，直至各平衡方程的误差满足设定的迭代精度要求，从而得出各个参数的值，然后由所得参数值，结合附录1中计算发动机性能参数中的推力、单位推力、耗油率公式对变循环发动机的性能进行取优评价，此时对应的发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积即为所求。

关键词：变循环发动机；非线性方程组；遗传算法；单/双涵道模式
一、问题重述
1.1 问题背景
由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。

双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。

变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，因此有必要对变循环发动机部件法建模问题进行深入研究，进而推动航空事业的发展。

1.2 现有信息和数据
变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。

发动机在亚音速巡航的低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。

发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发动机的涡喷模式。

燃气涡轮发动机是由进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件组成的。

如果计算机能够对这些部件的性能进行准确的模拟，那么也就能准确地模拟整个发动机的性能。

这种建立在准确模拟发动机各部件性能基础上的发动机性能计算方法，称为部件法。

该方法是建立在发动机各部件特性已知的基础上的，因此是计算精度较高的一种方法。

发动机各部件匹配工作时，受低压轴功率平衡方程、高压轴功率平衡方程、高压涡轮进口截面流量平衡方程、低压涡轮进口截面流量平衡方程、后混
合器静压平衡方程、尾喷管面积平衡方程和风扇出口流量平衡方程7个平衡方程的制约，同时该问题给出了发动机部件计算公式、工质热物理性质参数、气动函数和压气机及涡轮特性等数据。

1.3 需要解决的问题
1.3.1 流量随压比函数值变化图形的求解以及风扇和CDFS 的出口总温、总压和流量的求解。

（1）、请画出附录4中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形。

（2）、设在发动机飞行高度11H km =，飞行马赫数0.8Ma =的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0°，风扇和CDFS 的物理转速都为0.95，风扇和CDFS 的压比函数值都为0.5，求风扇和CDFS 的出口总温、总压和流量。

1.3.2 请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方程组成的非线性方程组。

要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。

设在发动机飞行高度11H km =，飞行马赫数0.8Ma =的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0°，选择活门完全打开，副外涵道面积设为
1.8395e+003，后混合器出口总面积设置为
2.8518e+004，尾喷管喉道面积
89.5544e+003A =，=0.85L n 。

请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方
程组成的非线性方程组。

要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。

1.3.3 发动机性能最优的求解以及尾喷管喉道面积随飞行马赫数变化规律的求解。

（1）、设在发动机飞行高度11H km =，飞行马赫数 1.5Ma =的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0，后混合器面积设置为2.8518e+004。

请问发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优?
（2）、试研究发动机飞行高度11H km =，飞行马赫数从 1.1Ma =变化到
1.6Ma =，发动机特性最优时，CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度，尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。

此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设
置为0，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调（即不受附录1后混合器给定的内、外涵道面积值的约束）。

二、问题分析
2.1 问题一
针对本问题。

第一小问可借用附录3中的压比函数值定义式，求得附录4中风扇特性数据表中增压比对应的压比函数值，然后由所得压比函数值及流量数据画出流量随压比函数值变化的图形。

第二小问采用附录1中发动机进气道、压气机的计算公式，依据假定1按进气道-风扇-CDFS 的顺序求解[1]。

其中风扇和CDFS 均为压气机部件，在计算中特征流量、增压比、效率均为核心转数、压比函数值、导叶角角度的函数，需采用附录4中风扇特性数据表和CDFS 特性数据表插值求解。

最后即可得到总温、总压和流量。

2.2 问题二
针对本问题。

分两步求解，首先依据附录1中的发动机部件计算公式再代入附录2、3中的辅助公式列出题目中给出的7个发动机平衡方程，建立仅含
H n 、CL Z 、CDFS Z 、CH Z 、TH Z 、TL Z 、*4T 七个变量的待求的非线性方程组。

然
后针对得到的非线性方程组的特点，选用标准遗传算法，按照算法的步骤编程求解。

2.3 问题三
当给定发动机部件特性时，同时即描述了发动机的工作过程，但由已建立的方程组唯一确定满足发动机共同工作方程的解，还需给出发动机的调节规律
[7]。

针对本问题。

本文采用2组具有合理初值的参数分别计算得到发动机各参
数的最优解，从而得到优化发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的方法，使发动机性能最优。

在马赫数从 1.1Ma =变化到 1.6Ma =过程中，若算法计算较慢，则采用几个离散的马赫数求得对于的最优发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和
喷管喉道面积，然后寻找各自的变化规律；若能得到快速收敛的算法，则取较小马赫数增量步长连续得到一系列最优发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积，得到随马赫数变化的规律，分别画出三个参数随马赫数变化的图形。

三、基本假设
通过阅读有关参考资料和对数据进行简单的分析，我们对该变循环发动机模型做如下假设：
3.1 高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计。

3.2 如果计算机能够对变循环发动机部件的性能进行准确的模拟，那么也就能够准确地模拟整个发动机的性能。

3.3 在前混合器计算中，假定CDFS 涵出口流量，即为通过CDFS 特性数据线性插值得到的CDFS 计算流量减去高压压气机特性数据线性插值得到的高压压气机计算流量。

3.4 如无特殊要求，发动机中直接相连的下一级主要部件进口总温、总压假定为上一级主要部件出口处的总温、总压（给出总压恢复系数的另外考虑），直接相连的发动机主要部件顺序如下：风扇-CDFS-高压压气机-主燃烧室-高压涡
轮-低压涡轮。

例如：风扇计算得到风扇出口的总温1out T *、总压p *
out1，这一总
温、总压即为CDFS 的进口总温、总压，以此类推。

四、符号说明
0102()
(,)
T f H p f H Ma **
==进气道参数：
进气道进口总温 进气道进口总压
i 31
i
()f Ma p p σσ*
*==⋅进气道总压恢复系数 进气道出口总压
1*456(,)
(,,) (,,)
in in cor L in c L CL L c L CL L T T p p n f n T pr f n Z f n Z αηα*
***=====1
风扇参数：
风扇进口总温 风扇进口总压 风扇换算转速 风扇特性
7**1*18*91011(,,)
(()
()()a L CL L out in c
out in c c CL in in
a CL in c CL in c CL
W f n Z p p pr T f T pr W f T p W l f T pr N f T pr W αηηη**
**==⋅====⋅换算空气流量 风扇出口总压 风扇出口总温 ，，）
空气流量 ，，风扇消耗功 ，，风扇消耗功率 ，，
*
121131415(,)
(,,) (,,)(,,)
cor H out c H CDFS CDFS c H CDFS CDFS a H CDFS CDFS CDFS CDFS n f n T CDFS pr f n Z f n Z CDFS W f n Z αηαα====参数：
换算转数 特性 换算空气流量
**21*2161*1711181191(()()
()out out c
out out c c CDFS out out a CDFS out c CDFS out c CDFS
CDFS p p pr CDFS T f T pr CDFS W f T p W CDFS l f T pr CDFS N f T pr W ηηη****=⋅====⋅出口总压 出口总温 ，，）空气流量 ，，消耗功 ，，消耗功率 ，，
*202212223(,)
(,,) (,,)(,,)
cor H out c H CH H c H CH H a H CH H n f n T pr f n Z f n Z W f n Z αηαα====高压压气机参数：
高压压气机换算转数 高压压气机特性 高压压气机换算空气流量
**32*3242*2522262272(()()()out out c
out out c c CH out out a CH out c CH out c CH
p p pr T f T pr W f T p W l f T pr N f T pr W ηηη****=⋅====⋅高压压气机出口总压 高压压气机出口总温 ，，）高压压气机空气流量 ，，高压压气机消耗功 ，，高压压气机消耗功率 ，，
**43*
*283
4
(,)
out out b
b out f CH b
p p f f T
T W W f σ=⋅==⋅燃烧室参数：
燃烧室出口总压 油气比 主供油量
**
29443031**5324**5334(,,)
(,,) (,,)(, ,)(, )
TH out c c H TH H c H TH H out c c out out c W f T p W f n Z pr f n Z T f T pr p f p pr ηααη=====高压涡轮参数：
高压涡轮流量 涡轮特性 高压涡轮出口总温 高压涡轮出口总压
**34553536**6375**6385(,,)
(,,) (,,)(, ,)(, )
TL out out c c L TL CH c L TL CH out out c c out out c W f T p W f n Z pr f n Z T f T pr p f p pr ηααη=====低压涡轮参数：
低压涡轮燃气流量 涡轮特性 低压涡轮出口总温 低压涡轮出口总压
125g CDFS CH CDFS W W W =-前混合器参数：
涵出口流量
6215g W W =后混合器参数：
后混合器外涵出口流量
*6*
6
T p
后混合器出口总温 后混合器出口总压
60.98
g duct W σ=后混合器出口流量 总压恢复系数
加力燃烧室（略）
**
6*
*6
6
in in g g T T p p
W W ===尾喷管参数：
尾喷管进口总温 尾喷管进口总压 尾喷管进口流量
88
g A W 尾喷管喉部面积 尾喷管喉部流量
99
9
A T c 尾喷管尾部面积 尾喷管出口静温 尾喷管出口气流速度
五、模型建立和求解
5.1 求解问题一
5.1.1 风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形
由附录3中的压气机压比函数值的定义可知，压比函数值zz 可以如下算得：
设压气机某换算转速所对应的增压比数据（见附录4）的最大值为max pr ，最小值为min pr ，则定义该换算转速对应的压气机增压比pr 的压比函数值zz 为：
min
max min
zz=
pr pr pr pr -- （5.1.1-1）
由附录4中风扇特性数据，利用公式（5.1.1-1）可分别算出换算转速为0.4、0.5、0.6、0.7、0.81、0.9、0.95、1和1.075对应的压比函数值。

然后利用得到的压比函数值数据与流量数据可以得风扇流量随压比函数值变化的图形。

结果如下所示：
图5-1 风扇流量随压比函数值变化图形(一)
图5-2 风扇流量随压比函数值变化图形(二)
5.1.2 给定条件下风扇及CDFS出口的总温、总压和流量
（1）、计算思路
由附录1中公式（2.1）～（2.4）算出进气道的出口总温总压，由“风扇进口总温总压=进气道出口总温总压”结合风扇的特性数据算出风扇出口总温总压，再利用“CDFS进口总温总压=风扇出口总温总压”结合CDFS特性数据及相关公式算出CDFS的出口总温总压；风扇和CDFS出口的流量则可以直接利用附录4中的特性数据进行插值得到。

（2）、给定条件
题中给定的初始条件有：
飞行高度H=11km；
飞行马赫数为Ma=0.8的亚音速巡航点；
各导叶角度均设置为0°；
风扇和CDFS物理转速均为0.95；
风扇和CDFS的压比函数值均为0.5。

（3）、算法流程
①进气道出口总温总压的计算
利用附录1中的公式（2.1）～（2.4）结合上面给定条件算出进气口的总温、总压分别为：244.38、0.345。

②风扇出口总温总压及流量的计算 A 、总温总压计算
首先，计算修正后的增压比c pr 、效率c η和换算流量c W 。

利用给定的物理转速n=0.95及附录1中的公式（2.5）计算出换算转速
=1.032cor n ；利用cor n 及给定的压比函数值zz=0.5从附录4中风扇特性数据表
线性插值得到增压比,=2.146c map pr 、效率,=0.782c map η和换算流量
,=104.157c map W ；再结合附录1公式（2.7）算出修正后的增压比=3.737c pr 、
效率=0.836c η和换算流量=51.558c W 。

之后，计算出口总温*out T 和总压*
out p 。

由假设有：风扇进口总压*in p =进气道出口总压p *1，则有： ***1==out in c c p p pr p pr ⋅⋅
由假设有：风扇进口总温*in T =进气道出口总温T *1，再结合附录1中“2.2.2
计算过程——>3) 计算压气机出口参数”的公式算法步骤算出风扇出口总温
*
out T 。

B 、出口流量2a W 计算
利用附录4中的风扇特性数据线性插值并修正求出来的流量c W 结合附录1中的公式（2.8）求出风扇出口流量2=19.048a W 。

③CDFS 出口总温总压及流量的计算
按与风扇同样的方法步骤算出修正后的增压比=1.377c pr 、效率=0.875c η和换算流量=43.813c W ；
由于CDFS 进口总压*
in p =风扇出口总压，CDFS 进口总温*in T =风扇出口总
温。

再利用与风扇总温总压同样的求解方法可以得出CDFS 的出口总温总压；
同样采用附录4中CDFS 特性数据线性插值并修正获得的流量c W 结合附录1中的公式（2.8）求出CDFS 出口流量24=16.940a W 。

（4）、计算结果
经过计算得到风扇和CDFS 的出口总温、总压及流量结果如下表：
表5-1 风扇和CDFS 的出口总温、总压及流量
5.2 求解问题二
如无特殊要求，发动机中直接相连的下一级主要部件进口总温、总压假定为上一级主要部件出口处的总温、总压（给出总压恢复系数的另外考虑），直接相连的发动机主要部件顺序如下：风扇-CDFS-高压压气机-主燃烧室-高压涡
轮-低压涡轮。

例如：风扇计算得到风扇出口的总温1 out T *、总压p *
out1，这一总
温、总压即为CDFS 的进口总温、总压，以此类推。

5.2.1 展开发动机平衡方程组 （1）、展开发动机平衡方程组一
0CL TL mL N N η-= （5.2.1-1）
5.2553
00
1.01325144.308288.15 6.5H p T H ⎧⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⨯⎩进气道计算：
一定高度下大气压力、温度 2020 T T Ma p p Ma γγγγ*-*⎧-⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪
⎨
-⎪⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
10
112进气道进口总温、总压112 i 1.35
i 1 1.0
1 1.00.075(1)H H H M M M σσ≤=⎧⎨>=--⎩： 进气道总压恢复系数： i
T T p p σ****
⎧=⎨=⋅⎩1010 进气道出口总温、总压 1
in in T T p p *
***
⎧=⎨=⎩1
风扇计算：
风扇进口总温、总压 c out in
c a c
l h h N W l =-⎧⎨
=⋅⎩ 风扇消耗功、功率
**,**
1(,,)(1)100()()w in CL w L CL L L in d CL out in CL CL CL k p W C W n Z p l h T h T N W l αα=⋅⋅+=-=⋅ 风扇流量 风扇消耗功
风扇消耗功率
*
*
,*1*,,()()ln ((,,)1)(1)1100()pr out ei
in pr c L CL L L out ei out ei k R T T C pr n Z M T T ψψααψ-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+-++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
= 风扇出口理想熵
风扇出口理想温度
**,*
*1
2
*1*11**1()()()()(,,)(1)
100
()((,,)1)(1)1100out ei in out in
c L CL L L out out pr out in pr c L CL L L h T h T h T h T k C n Z T h T k p p C pr n Z ηηηαααα--=++=⎡⎤=⋅-++⎢⎥⎣⎦ 风扇出口焓
风扇出口总温 风扇出口总压
T in out T g T m
l h h N W l η=-⎧⎪
⎨
=⋅⎪⎩低压涡轮运算：
低压涡轮功、功率 55
in out in out T T p p ****⎧=⎨=⎩低压涡轮进口总温、总压
**,****
66(,,)(1)100(,)(,)(,)(,)w in TL w L TL CH CH in d TL in b out b in b out b k p W C W n Z p l h T f h T f h T f h T f αα=⋅⋅+=-=- 低压涡轮流量 低压涡轮功
TL TL TL m N W l η=⋅ 低压涡轮功率
**
6
((,,)1)(1)1100pr out in
pr c L TL CH CH k p
p C pr n Z αα⎡⎤
=⋅-++⎢⎥⎣⎦
低压涡轮出口总压
*16((,,)1)(1)1100pr out c pr c L TL CH CH k T pr C pr n Z αα-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩
⎭ 低压涡轮出口总温
（2）、展开发动机平衡方程二
0CH CDFS TH mH N N N η+-= （5.2.1-2）
CDFS CDFS c out in
CDFS
a c l h h N W l =-⎧⎨
=⋅⎩计算：
消耗功、功率 11 CDFS in out in
out T T p p ****
⎧=⎨=⎩进口总温、总压
*
*,(,,)(1) CDFS 100w in CDFS
w H CDFS CDFS CDFS in d
k p W C W n Z p αα=⋅⋅+流量 **
2()() CDFS CDFS CDFS out in CDFS CDFS CDFS l h T h T N W l =-=⋅消耗功率
消耗功率
**,()()ln ((,,)1)(1)1 CDFS 100pr out ei in pr c H CDFS CDFS CDFS k R T T C pr n Z M ψψαα⎧⎫⎡⎤⎪⎪
=+-++⎨
⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
出口理想熵
*1*
,,**,*
*
2
2
*1*
2
2**2() CDFS ()()
()() CDFS (,,)(1)
100
() CDFS ((,,)1)(1)1100out ei out ei out ei in out in
c H CDFS CDFS CDFS out out pr out in pr c H CDFS CDFS CDFS T T h T h T h T h T k C n Z T h T k p p C pr n Z ηηψηαααα--=-=+
+=⎡⎤=⋅-++⎢⎣⎦
出口理想总温
出口焓
出口总温
CDFS ⎥出口总压
c out in
c a c
l h h N W l =-⎧⎨
=⋅⎩高压压气机计算：
高压压气机消耗功、功率 22
in out in out T T p p ****⎧=⎨=⎩高压压气机进口总温、总压
**,(,,)(1)100w in CH
w H CH H H in d
k p W C W n Z p αα=⋅⋅+ 高压压气机流量 **
3
()CH out in CH CH CH l h T h T N W l =-=⋅（） 高压压气机消耗功 高压压气机消耗功率
**
,()()ln ((,,)1)(1)1100pr out ei in pr c H CH H H k R T T C pr n Z M ψψαα⎧⎫⎡⎤⎪⎪
=+-++⎨
⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
高压压气机理想出口熵 *1*
,,()out ei out ei T T ψ-= 高压压气机出口理想总温
**,*
*3
2
()()()()(,,)(1)
100
out ei in out in
c H CH H H h T h T h T
h T k C n Z ηηηαα-=++ 高压压气机出口焓
*1*33()out out T h T -= 高压压气机出口总温
**
3
((,,)1)(1)1100pr out in
pr c H CH H H k p
p C pr n Z αα⎡⎤
=⋅-++⎢⎥⎣⎦
高压压气机出口总压
33
in out in out T T p p **
**
⎧=⎨=⎩主燃烧室运算：
主燃烧室进口总温、总压 3*
*44
4
1()()()b b
air in f f h H T h Hair T Hst T *
+==+⨯ 主燃烧室进口焓
主燃烧室出口焓
43
3
b b u h h f H h ξ-=
+ 油气比
33f a b out f a W W f W W W =⋅=+ 主燃油流量 主燃烧室总流量
*23*,(,,)(1)100w out a CH
w H CH H H in d
k p W W C W n Z p αα==⋅⋅+ 主燃烧室空气流量
***
443*4
4
out in b out p p p T
T σ*=== 主燃烧室出口总压
主燃烧室出口总温
T in out
T g T m
l h h N W l η=-⎧⎪⎨
=⋅⎪⎩高压涡轮运算：
高压涡轮功、功率 44
in out in out T T p p ****⎧=⎨=⎩高压涡轮进口总温、总压
**,****
55(,,)(1)100(,)(,)(,)(,)w in TH
w H TH H H in d
TH in b out b in b out b TH TH TH m k p W C W n Z p l h T f h T f h T f h T f N W l ααη=⋅⋅+=-=-=⋅ 高压涡轮流量 高压涡轮做功
高压涡轮功率
**5*15/*
*
((,,)1)(1)1100((,,)1)(1)110011/pr out in pr c H TH H H pr out c pr c H TH H H Cp R
out
c in
k p p C pr n Z k T pr C pr n Z T pr T ααααη--⎡⎤=⋅-++⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-++⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦
ｃ 高压涡轮出口总压
高压涡轮出口总压 高压涡轮落压比
（3）、展开发动机平衡方程三
41410g g W W '-= （5.2.1-3）
44
in out in out T T p p **
**⎧=⎨=⎩高压涡轮进口总温、总压
*41
*,(,,)(1)100w in TH w H TH H H in d
k p W W C W n Z p αα'==⋅⋅+ 高压涡轮总流量
413*
23*,(,,)(1)100f a w out a CH
w H CH H H in d
W W W k p W W C W n Z p αα=+==⋅⋅+ 主燃油流量和经主燃烧室空气总流量的和 高压压气机总流量
33*
*44
4
1()()()b b
air out f f h H T h Hair T Hst T *
+==+
⨯ 主燃烧室进口焓
主燃烧室出口焓
43
3
3b b u f a b h h f H h W W f ξ-=
+=⋅ 油气比
主燃油流量
（4）、展开发动机平衡方程四
45450
g g W W '-= （5.2.1-4）
*545*,(,,)(1)100w out TL w L TL CH CH in d
k p W W C W n Z p αα'==⋅⋅+ 低压涡轮总流量
4541W W =
（5）、展开发动机平衡方程五
61620p p -= （5.2.1-5）
125125
125
125()= 608.42520.0404m m q CDFS q
A CDFS k λ=
=前混合器运算：前混合器涵气动函数 前混合器涵面积 空气流量系数
**1252**1252125 out out g CDFS CH p p CDFS T T CDFS W W W CDFS ===- 涵道出口总压 涵道出口总温
总流量与高压压气机总流量的差
*
1*,*2*,(,,)(1)100(,,)(1)100w out CDFS w H CDFS CDFS CDFS in d
w
out
CH
w H CH H H in d
k p W C W n Z CDFS p k p W C W n Z p αααα=⋅⋅+=⋅⋅+ 总流量
高压压气机总流量
[]1
1
1
-1
1
-1
2125125125
2
1
1
125125()()1-()q q
q
q γγγγγλλλλλ-++-==（） 气动函数 速度系数
*
125125125*225125225
225()p p CDFS p p p πλπλ=⋅==⋅ 涵出口静压
（）副外涵出口静压
[]-1
-1
2
22522511
2252251-()γ
γγγπλλπ
λπ
πλ+-==（）（） 气动函数 速度系数
*225225225()g m
W k A q λ= 前混合器副外涵出口流量
****
,,
out in out in duct a out a in T T p p W
W σ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 涵道进出口总温、总压、总流量关系
225=1.8395e+0030.0404m A k = 副外涵出口面积 空气流量系数
**2251**225
1
out duct out p p T
T
σ=⋅= 副外涵出口总压
副外涵出口总温
22512515225225
1251251515***225
225225125125125151522512515
()()()()
g g g g g g g W W W W h W h W h p f A P f A p f A A W λλλ+=+=+=
+*1515()
m k A q λ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩
前混合器总方程组，通过此方程组可求得前混合器混合后出口的总温、总压、总流量
()
1
1
1
1
1
-1
21
1
-12
2
1
()/()()1
()()(
)1-f q Z Z q γγγγγγγλλλλλλ
λλλ--+++==+
= 气动函数
气动函数
（） 气动函数
**
**
,,
out in out in duct a out a in T T p p W
W σ⎧=⎪=⎨⎪=⎩后混合器运算：
涵道进口出口总温、总压、总流量关系
616161
61()= 5.3061e+0030.0397m m q A k λ=
=气动函数
内涵出口面积 燃气流量系数
**
616**616
out duct out p p T T
σ=⋅= 内涵出口总压
内涵出口总温
1
1
1
-1
*561,*,1
-1
2616161
2
1
(,,)(1)100()(
)1-w out g a in TL w L TL CH CH in d
k p W W W C W n Z p q γγγγγααλλλ-++===⋅⋅+= 内涵出口总流量
（） 气动函数
[]16161*6161
61()()q q p p λλπλ-==⋅ 速度系数
内涵出口静压
****
,,
out in out in duct a out a in T T p p W
W σ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 涵道进口出口总温、总压、总流量关系
6262
62
()m q λ=
气动函数
62= 2.3212e+0040.0404m A k = 外涵出口面积 空气流量系数
**6215**62156215225125duct g g g p p T T W W W W σ=⋅===+ 外涵出口总压 外涵出口总温
外涵出口总流量
[]1
1
1
-1
1
-1
2626262
21
1
6262()(
)1-()q q
q γγγγγλλλλλ-++-===（） 气动函数
速度系数
*
6262626261
()p p p p πλ=⋅= 外涵出口静压
616266161
626266***61
6161626262666162*666
()()()()
() g g g g g g g m W W W W h W h W h p f A P f A p f A A W k A q λλλλ+=+=+=+=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
据此方程组求得后混合器出口总温、总压、流量
（6）、展开发动机平衡方程六
88
0A A '-= （5.2.1-6）
**666**
6666 out in out in g out g in
P P T T W
W σ⎧=⋅⎪=⎨⎪=⎩加力燃烧室（进口总温、总压、流量采用后混合器出口总温、总压、流量）：
888
89.5544e+003 m A A ==
尾喷管运算：
尾喷管面积
由尾喷管流量公式计算得尾喷管面积
2
282
12
1
12
Ma Ma
γλγ+=
-+速度系数 **86**
868
6 out out g g out P P T T W W
⎧=⎪=⎨⎪=⎩尾喷管进口总温、总压、流量 1.33,287.31 0.0397 m R k γ===燃气气体绝热指数、气体常数
燃气流量系数
（7）、展开发动机平衡方程七
221130a a a W W W --= （5.2.1-7）
*
121*,(,,)(1) 100w out a CDFS
w H CDFS CDFS CDFS in d
k p W W C W n Z CDFS p αα==⋅⋅+流量
*
132********() a g m
W W k A q λ==前混合器副外涵出口流量
详见前混合器运算
*12*,(,,)(1) 100w a CL
w L CL L L in d
k p W W C W n Z p αα==⋅⋅+风扇流量
对于第二问所给条件，本方程组7个一共有7个待定变量，他们分别是
CL Z 、CDFS Z 、CH Z 、*
4T 、TL Z 、TH Z 、H n 。

5.2.2 遗传算法模型的建立与求解
由于发动机的7个平衡方程组成的非线性方程组，利用传统的非线性方程组求解，无论是从算法的选择还是算法本身的构造都与索要解决的问题的特性有很大的关系，很多情况下算法中算子的构造及有效性会成为我们解决问题的巨大障碍。

而遗传算法作为一种灵活的自适应算法无需过多的考虑问题的具体形式，具备全局收敛性，突破了传统算法的诸多限制与不足，因而本文采用遗传算法进行发动机非线性方程组的求解。

（1）、非线性方程组求解转化成遗传算法的优化问题
设有限空间内的非线性方程组：
11221212(,,......,)0(,,......,)0........(,,......,)0
n n
n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨
⎪
⎪=⎩ 其中： , i=0,1...,n ; i i i a x b ≤≤常量i a 、i b 为相应自变量i x 的上下限。

记[]12,,......,n X x x x =，上述方程组可表示为：
12
()0
()0........()0
n f X f X f X =⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩ 构造非线性函数
12()()()()n F X f X f X f X =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1122, (,)(,)(,)n n X D D a b a b a b ∈=⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯为n 维欧式空间的一个有界区
域。

在整个自变量的有界区域，当上述非线性方程组有解****
111,,......,X x x x ⎡⎤=⎣⎦
时，函数满足()0F X ≥；即，函数的极小值为0
*min ()()0F X F X ==
很显然上述非线性方程组的求解问题就等价成了函数()F X 的极小值问题，从而，通过构造的函数()F X ，将非线性方程组的求解问题转换成了遗传算法优化问题[6]函数()F X 取极小值时的X 即为所求方程组的解。

（2）、遗传算法基本步骤
第一步：采用二进制编码，由变量i x ，要求的精度i δ，计算变量的编码长度
i l ，并确定遗传算法个体编码长度1n
i i L l ==∑。

第二步：初始化
①确定群体规模N 、杂交概率c p 、变异概率m p 及终止进化准则; ②随机生成初始群体{}12(0)(0),(0),,(0),N Y Y Y Y =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二进制字符串群); ③计算(0)i Y 的适应度[](0), (i=1,2,,)i f Y N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅;
④置进化代数0k =; 第三步：遗传操作
①对个体()i Y k ，依据其适应度[]()i f Y k ，计算复制概率
[][]1()()/()N
i i i i p k f Y k f Y k ==∑
②以概率()i p k 从()Y k 中选择个体，并保留最佳个体，形成新群体
(1)Y k '+：
{}12(1)(1),(1),,(1)N
Y k Y k Y k Y k ''''+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ③在新群体(1)Y k '+中，依次选取个体(1)i Y k '+，1(1)i Y k +'+以概率c p 对
(1)i Y k '+，1(1)i Y k +'+进行一点交叉，产生两个新个体 (1)i Y k ''+，1(1)i Y k +''+。

循
环执行本过程/2N 次，形成新群体(1)Y k ''+：
{}12(1) (1),(1),,(1)N
Y k Y k Y k Y k ''''''''+=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ④在新群体(1)Y k ''+中，依次选取个体 (1)i Y k ''
+，以概率m p 对 (1)i Y k ''+ 进行简单变异，产生新个体 (1)i Y k +。

循环执行本过程N 次，形成新一 代群体(1)Y k +：
{}12(1)(1),(1),,(1)N Y k Y k Y k Y k +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
第四步：如果(1)Y k +满足进化停止准则，解码计算输出最优解X(t+1)，否则 k=k+1转第三步。

遗传算法的流程图如下：
图5-3 遗传算法的流程图
（3）、遗传算法关键步骤的解释
①对参数进行二进制编码
遗传算法求解问题时，不是直接在问题的解空间上操作，而是利用解的某种编码讲解空间的数据表示成遗传空间的基因型串结构数据，并进行运算。

最常用的编码方式是二进制0/1字符编码。

二进制编码将解空间映射到0/1空间上，然后在位串空间上进行遗传操作操作结果再通过解码还原成变量原型，以进行适应性评估。

②初始群体是遗传算法搜索的出发点
对于群体规模N ，编码长度L 的问题，随机产生N*L 位编码字符，组成N 个初始个体，构成初始群体。

③适应函数设计 本文采用的适应函数为：
max max min ()()()U X F F X k F F =-+-。