大数定律和中心极限定理基本概念
中心极限定理和大数定律
中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。
它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。
本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。
一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。
2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。
其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。
3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。
例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。
而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。
二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。
也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。
2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。
3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。
例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。
而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。
三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。
2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。
中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计学中的两个重要概念，对于理解概率和统计的基本原理和应用至关重要。
本文将分别介绍大数定律和中心极限定理，并探讨其在实际问题中的应用。
大数定律（Law of Large Numbers）指的是在独立同分布的随机变量序列上，随着样本规模的增大，样本平均值会趋向于总体均值。
大数定律提供了一种关于样本统计量与总体参数之间的收敛性结果，展示了样本规模对统计推断的重要性。
根据大数定律，如果我们重复进行一系列相互独立的随机试验，并计算出每次试验的结果的平均值，那么这些平均值的集合将会收敛于总体平均值。
这意味着，通过增加样本量，我们可以更加准确地估计总体的参数。
除了数学上的重要性，大数定律在实际应用中也具有广泛的意义。
以股票市场为例，当我们关注某只股票的涨跌幅时，每日的涨跌表现可以看作是独立同分布的随机变量序列。
通过大数定律，我们可以借助历史数据来推断出该股票未来的走势，为投资决策提供参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的另一个重要理论结果，它表明在特定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似地服从正态分布。
中心极限定理揭示了许多现实世界中观测到的现象背后的统计规律。
中心极限定理的意义在于，即使总体分布不知道或不符合正态分布，但我们通过取样得到的样本均值的分布会趋于正态分布。
这意味着，我们可以通过对样本均值进行统计推断，来推断关于总体的一些性质，例如均值和方差。
中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
在调查研究和数据分析中，我们通常无法直接获得总体的完整信息，而只能通过从总体中抽取样本来进行推断。
通过中心极限定理，我们可以借助样本均值的分布性质来进行统计推断，如置信区间的构建和假设检验的实施。
综上所述，大数定律和中心极限定理在概率论和统计学中发挥着重要的作用。
它们为我们理解和应用概率统计学提供了基本的理论支持，对于数据分析和决策制定具有重要意义。
大数定律与中心极限定理
的方差存在，且有共同的上界，即
Var( Xi ) c,i 1,2,
则 {Xn} 服从大数定律，即对任意的 0
lim
n
P
1
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
成立.
定理3 （辛软大数定律）设 X1, X 2,X n , 为一列相互独立且相同分布的随机变量，若
Xi (i 1,2,) 的数学期望存在，则 {X n} 服从大数
例5.2.2 某工厂有 200 台同类型的机器，每台
机器工作时需要 50 kW 的电力。由于功率的原 因，每台机器的开工率为 0.75 ，各台机器是否 工作是相互独立的.问
（1）在任一时刻，恰有 144 至 160 台机器正在 工作的概率为多少？
（2）在任一时刻，需要至少供应多少电力才能 保证“因电力不足而使一些机器停工”的概率小于 0.01？
概率论与数理统计
二、中心极限定理
定理5.2.1 (独立同分布的中心极限定理) 设随机
变量序列 X1, X 2,X n , ，相互独立且服从同一 分布，它们具有相同的数学期望和方差
E Xi Var( X i ) 2 0
n
其中 i = 1,2,3,…, 则前 n 个随机变量之和 Xi 的标 i 1
准化变量
lim P Yn np x Φ(x) n np(1 p)
其中 (x) 为标准正态分布的分布函数.
例3 一个加法器可同时收到 20 个噪声电压 Vk
k 1,2,,20，设它们是相互独立的随机变量，
且都在 0,10 上服从均匀分布，记
20
V Vk k 1
求 P{V 105} 的近似值。
练习 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem）是统计学中两个基本的概念和定理，它们在概率论和统计学的研究中起着重要的作用。
本文将介绍大数定律与中心极限定理的概念和原理，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、大数定律大数定律是指随着样本容量的增加，样本平均值的稳定性会逐渐增强，逼近总体均值。
以样本平均值为例，大数定律表明当样本容量无限大时，样本平均值将趋近于总体均值。
这一定律在概率论和统计学中有着广泛的应用。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两类。
弱大数定律指的是当样本容量足够大时，样本平均值以较高的概率接近总体均值；而强大数定律则是指样本平均值几乎总是接近于总体均值，不管样本容量大小。
大数定律在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在投资领域，投资者通过分析历史数据来估计未来的收益率。
大数定律告诉我们，当样本容量足够大时，通过历史数据得出的均值可以较好地代表未来的收益率。
另外，在统计调查中，通过对样本进行抽样调查可以估计总体的参数。
大数定律告诉我们，样本容量越大，样本估计总体参数的准确性就越高。
二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它揭示了总体均值的抽样分布的特性。
中心极限定理有三种常见的形式：李雅普诺夫中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和林德伯格-列维中心极限定理。
这三种形式的中心极限定理分别对应不同的分布情况。
中心极限定理的应用非常广泛。
在现实生活中，我们经常遇到需要对一组随机变量求和的情况。
例如，抽样调查中，我们需要对多个样本进行求和，来估计总体参数。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本求和的分布将逼近于正态分布。
这为我们在实际问题中提供了便利，使得我们能够利用正态分布的性质进行统计推断和分析。
总结：大数定律和中心极限定理是统计学中两个基本的概念和定理。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
第五章大数定律及中心极限定理
k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一
均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量
n
X1,X2,…,Xn之和 X k 的标准化变量，当n充分
大时，有
k 1
n
k 1
Xk
nm
～近似N(0,1)
ns
n
这样可以用(标准)正态分布来对 X k 作
k 1
理论分析或实际计算，不必求分布函数
19/41
§5.2 中心极限定理
将上式改写为
即对任意的正数ε，当n充分
lim P n
1 n
n k 1
Xk
m
1.
大时，不等式 立的概率很大
|
X
m | 成
3/41
证 由随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有
E
1 n
n k 1
Xk
lim
n
P
1 n
(X1
X2
Xn)
p
1,
即
lim
n
P
nA n
p
1.
伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA/n依概率收敛
于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概
率的合理性
近似：当n很大时，事件发生的频率nA/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不
辛钦定 理
X P m
大数定律和中心极限定理课件
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本而又重要的概念。
本文将详细探讨这两个定律，并阐述它们在概率论中的应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最为基本的定律之一。
它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋于稳定，即其概率的长期平均值会趋于事件的真实概率。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律是指在概率分布具有一定条件时，频率收敛到概率的几乎必然成立。
也就是说，如果一个事件发生的概率为p，那么当试验次数增加时，该事件发生的频率会趋于p。
这种定律的典型应用是频率稳定的硬币投掷问题。
当试验次数趋于无穷大时，正面朝上的频率会收敛于0.5，即硬币的正反面概率相等。
强大数定律是指在一般条件下，频率收敛到概率的几乎必然成立。
它比弱大数定律更为强大，可以涵盖更广泛的情况。
例如，当试验次数无限大时，独立同分布随机变量的均值收敛于其数学期望。
这种定律对于实际问题的应用更为广泛，可以用于解释一系列现象，如赌博、股票市场等。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最为重要的定理之一。
它描述了当独立同分布随机变量的和的样本容量足够大时，这个和的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理包括三种形式：李雅普诺夫定理、林德贝格-列维定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。
李雅普诺夫定理是中心极限定理的一种形式，描述了独立随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
它要求随机变量具有有限的方差，并且样本容量足够大。
在实际应用中，李雅普诺夫定理可以用于描述大量相互独立事件的和的分布。
林德贝格-列维定理是中心极限定理的另一种形式，描述了独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
与李雅普诺夫定理相比，林德贝格-列维定理的条件更为宽松，不再要求有限的方差。
这使得林德贝格-列维定理在实际应用中更为通用。
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊情况，适用于二项分布。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们可以帮助我们理解随机事件的规律性。
本文将对这两个定理进行总结，并提供相关参考内容。
一、大数定律：大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了随着随机事件的重复进行，样本均值逐渐趋近于其期望值的现象。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律：弱大数定律又称为辛钦定律，它是在较宽松的条件下得到的。
根据弱大数定律，当独立同分布的随机变量的期望存在时，它们的算术平均值会以很高的概率接近于它们的期望值。
参考内容：- H.W. Robbins, D. Siegmund. A Weak Law of Large Numbers for Partial Sums of Random Variables with Infinite Variance. The Annals of Probability, 21(1), 197-205.- Erdos, P. (1949). On a Family of Polynomial Identities Involving Sums of Random Variables. Bulletin of the American Mathematical Society, 55(6), 538-543.2. 强大数定律：强大数定律是在严格条件下得到的。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列，样本均值会以概率1收敛到其期望值。
参考内容：- Gromov, M. (2014). Large Scale Geometry. European Mathematical Society, 9.- Petrov, V. V. (2012). Sums of Independent Random Variables. Springer Science & Business Media.二、中心极限定理：中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量之和的分布近似服从正态分布的现象。
中心极限定理证明大数定律
中心极限定理证明大数定律中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它给出了一个数列的平均值符合正态分布的极限分布，也就是中心极限定理。
同时，也是证明大数定律的一个重要定理。
本文将从数学上给出中心极限定理证明大数定律的法则和方法。
一、大数定律和中心极限定理的基础概念1、大数定律大数定律指的是当试验次数足够多时，随机变量的经验平均值趋近于该随机变量的数学期望。
也就是说，大数定律就是在相同的条件下，如果重复进行同样的实验，其结果会趋近于某个确定的值，即为大数定律的实质。
2、中心极限定理中心极限定理指的是随着试验次数的增加，样本均值分布将变得越来越像正态分布。
也就是说，无论原始分布是什么样子，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会趋向于一个正态分布。
二、大数定律证明大数定律的证明，需要从不同的方面进行论证，主要分为点态和渐进的两类。
其中，点态是通过概率不等式或直接取极限的方法得到，而渐进方法则是建立在弱收敛定理的基础上，它提供了更强的证明。
1、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫于1884年提出的一个重要不等式，它在大数定律证明中也有所运用。
切比雪夫不等式表述如下：对于随机变量 X 的任意实数 t>0，有 P[|X -E(X)|>=t] <= Var(X) / t^2 ，其中 Var(X) 表示 X 的方差。
现在设有一个随机变量序列X1,X2,...,Xn，其中E(X)表示期望，则：E[(X1+X2+...+Xn)/n] = (E(X1) + E(X2) + ... +E(Xn)) / n = E(X)又由于Var[(X1+X2+...+Xn)/n] = Var(X) / n，因此P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2)则有P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2) <= ε当ε趋于0时，上式成立。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
大数定律与中心极限定理知识点整理
大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。
下面将对它们的主要知识点进行整理。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。
它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。
具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。
这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。
与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。
二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。
它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。
2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。
3. 样本量越大，越接近正态分布。
总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。
大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。
它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。
§4.4大数定律与中心极限定理
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
第四章结束 !
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解: 任一时刻使用外线的分机数为X, X~B(200,0.2)
由题意, 求最小r, 使得 P(0≤X≤r)≥0.95
令： Xk 10
第k台分机用外线 第k台分机不用外线
200
则：X Xk
由于 n 较大k,1故近似地, X~N(np,npq)=N(40,32) .
P(0≤X≤r)
Φ(r40)Φ(40)
设 X1, X2, …是独立同分布的随机
变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)= 2 ，
i=1, 2, …，则
n
Xi n
x
lim P{i1
x}
n
n
-
1 e-t2 2dt
2
它表明, 当 n充分大时, n 个具有期望和方差 的独立同分布的 r.v 之和近似服从正态分布.
定理. (棣莫佛－拉普拉斯定理)
切比雪夫
则对任意的ε>0，
ln im P{n 1|i n1Xin 1i n1E(Xi)|}1
证明: 切比雪夫大数定律主要的数学工具是
切比雪夫不等式.
E(|1 n
ni1
Xi)1 ni n1E(Xi)
D(1 ni n1Xi)n12 i n1D(Xi)K n
二 . 中心极限定理
如果一个量是由大量相互独立的随机因素的 影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起 的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
在概率论中, 把无穷多随机变量和的分布收敛
1.5 大数定律 中心极限定理
Xk n Yn k1 n
x R,有
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P{Yn
x}
lim
n
P
n
X
k 1
k
n
n
x
x
1
e
t2 2
dt
(
x)
2
定理六 （棣莫佛—拉普拉斯定理） (De Moivre Laplace)
n ~ b(n, p), (0 p 1), x R,有
lim
P
n
n np
n np
np(1 p)
x
lim
n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
e
t2 2
dt
( x)
2
若X ~ b(n, p), (n 50) X近似服从N (np,npq),
X np 近似服从N 立的工作,设每台机车开工 的概率为 0.6,开工时耗电1 千瓦.问供电所要供应多少 电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不 足而影响生产.
r
120 48
0.999
r 120 3.1, 48
r 141
供电所至少供应141千瓦电,由于供电不足而影响生 产的概率小于0.001.
大数定律，中心极限定理
一、问题的引入
曾经讲过, 事件A发生的频率 f n(A) ,随着n的 增大,呈现出一种稳定性. 当n趋于无穷时,会趋于事 件A的概率P(A). 但这种趋近,并非高等数学中极限 意义上的趋近,而是概率意义上的趋近.
二、 基本定理（两个大数定律）
定理 （辛钦定理 P19 1.5.1）
中心极限定理的基本概念和应用场景
中心极限定理的基本概念和应用场景中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论和统计学中的重要定理之一，它描述了在某些条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会近似服从正态分布。
该定理的重要性在于它提供了一种解决实际问题时的近似方法，其应用场景涵盖了各个领域。
一、中心极限定理的基本概念中心极限定理基于大数定律及正态分布的性质，其基本概念可归纳为以下几点：1. 大数定律大数定律指出对于独立同分布随机变量而言，随着样本容量的增大，随机变量的平均值收敛于其数学期望。
这意味着当样本量充足时，可以准确估计出总体的特征。
2. 正态分布正态分布是一种对称的连续概率分布，具有均值为μ、标准差为σ的特征。
在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，呈现出钟型曲线的形态。
许多随机现象在一定条件下可以近似地服从正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理描述了当独立同分布随机变量的样本容量足够大时，其和的分布将近似于正态分布。
我们可以通过计算样本的均值与标准差来评估总体参数，并进行各类假设检验和置信区间估计。
二、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际问题中有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 抽样调查在社会科学和市场调研中，抽样调查是获取数据的重要方式。
利用中心极限定理，我们可以通过随机抽样的方式获取样本数据，并利用样本数据的均值和标准差来估计总体参数，如人口普查、选民调查等。
2. 假设检验假设检验是统计学中对某个假设进行科学验证的一种方法。
中心极限定理使得我们可以通过计算样本均值和标准差，进而得到服从正态分布的统计量，进行假设检验。
例如，医学研究中对某种新药疗效的检验、市场营销中对广告效果的评估等。
3. 投资风险评估在金融领域，投资风险评估是一项重要的任务。
中心极限定理可以用于评估一揽子投资组合的风险分布情况，预测其潜在的回报和风险水平，并为投资决策提供科学依据。
4. 信号处理在信号处理领域，中心极限定理被广泛应用于噪声信号的处理和恢复过程中。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它揭示了在一系列独立随机事件中，随着样本量的增大，样本均值将趋于总体均值的规律。
中心极限定理（Central Limit Theorem）则是统计学中的一项基本定理，它说明了在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
两个定理在统计分析和推断中都起到了重要作用。
大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论中的一个基础定理，它描述了独立随机事件的平均值在大样本条件下会无限接近于事件的真实概率。
根据大数定律，当独立随机事件重复进行时，样本均值将逐渐接近总体均值。
大数定律有两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指当随机变量的期望存在时，样本均值以概率1收敛于期望值。
也就是说，无论一个事件发生的可能性有多小，只要重复进行足够多的实验，该事件发生的频率将无限接近于其概率。
伯努利大数定律是针对二项分布的情况，它说明了在一系列独立重复的二项试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率将逐渐接近于事件的概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的作用。
例如，投资者根据历史数据计算股票收益率的期望，大数定律告诉我们当样本容量足够大时，计算得到的样本均值将逼近真实的期望收益率，从而提供了对未来股票表现的一定参考。
中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中的一项基本定理，它指出在大样本条件下，一组独立随机变量的和具有近似正态分布的特性。
中心极限定理是统计学中推断的基础，它的重要性在于它使得我们可以利用正态分布的性质进行概率和置信区间的计算。
中心极限定理的表述可以分为两种形式：李雅普诺夫型和林德伯格-李维定理。
李雅普诺夫型定理给出了随机变量和的分布函数收敛到正态分布的条件，其中随机变量可以不是独立同分布的。
林德伯格-李维定理则是对独立同分布随机变量和的和近似服从正态分布的定理。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
概率论-第5章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差？
Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 们发现，正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计中的两个重要概念，它们描述了随机现象的统计规律。
本文将介绍大数定律和中心极限定理的定义、作用和应用，并分析它们在实际问题中的重要性。
一、大数定律大数定律是指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋向于其数学期望。
大数定律分为两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，其算术平均值会以概率1收敛于其数学期望。
也就是说，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望，而且以极高的概率收敛。
伯努利大数定律是指对于一系列相互独立的伯努利试验，当试验次数趋向于无穷大时，随机变量的频率会趋向于其概率。
也就是说，当我们对一个随机事件进行大量重复试验时，事件发生的频率将逐渐接近事件发生的概率。
大数定律的作用在于揭示了随机现象的规律性。
通过大数定律，我们可以准确估计随机变量的期望值或概率，并且通过增加样本量可以提高估计的准确性。
在实际应用中，大数定律常被用于统计推断、抽样调查、质量控制等领域。
二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布。
中心极限定理包括李雅普诺夫中心极限定理、林德伯格-列维中心极限定理和伯努利-拉普拉斯中心极限定理。
李雅普诺夫中心极限定理适用于具有有限方差的独立同分布随机变量序列。
当样本量足够大时，这些随机变量的和的分布将接近于正态分布。
林德伯格-列维中心极限定理适用于具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列。
同样地，随着样本量的增加，这些随机变量的和的分布将趋于正态分布。
伯努利-拉普拉斯中心极限定理适用于大量相互独立的伯努利试验。
当重复伯努利试验的次数很大时，事件发生的次数将近似于正态分布。
中心极限定理的作用在于在不知道总体分布的情况下，通过大样本推断总体的统计规律。
它对于统计推断、假设检验、置信区间估计等方面具有重要意义。
总结起来，大数定律和中心极限定理是数理统计中两个基本的定理，它们揭示了随机现象的统计规律，为我们处理随机数据提供了重要依据。
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大数定律和中心极限定理基本概念
1、概念网络图
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⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→辛钦大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律大数定律
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⎩⎨⎧→棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理中心极限定理
二项定理 泊松定理
2、重要公式和结论
例5．1：设总体X 服从参数为2的指数分布，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，
则当∑==∞→n i i n X n Y n 1
2
1,时依概率收敛于。
例5．2：设{X k }为相互独立且同分布的随机变量序列，并且X k 的概率分布为
).,2,1(2)2(ln 2Λ===--i X P i i i k
试证{X i }服从大数定律。
例5．3：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。
若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。
例5．4：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。
今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的
(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍。