复数的概念及几何意义优秀课件
合集下载
复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
复数的几何意义 课件
所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．
北师大版必修第二册5-1-1复数的概念课件(32张)
2x－1＋i＝y－3－yi
①
2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i②
有实数解，则实数 a，b 的值分别为__1_,_2____．
解析：(1)因为 m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相 等的充要条件得2mm2－＋27＝＝4mm2－ ＋83， ， 解得 m＝5.
[正解] 设方程一实根为 a，则有 a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0， 由复数相等的定义可得a22a＋＋kka＝＋02，＝0， 解得 k＝±2 2， 因此当 k＝±2 2时，原方程至少有一个实根. [防范措施] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用 Δ≥0，而应设出 实根代入，然后利用复数相 等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[自主记]
[解析] 因为 a，m∈R，所以由 a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a22a＋＋amm＝＋02，＝0，
解得am＝＝－2，2 2
或am＝＝－2
2， 2，
所以 a＝± 2.
(2)[解] 设方程的实数根为 x＝m，
则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
当 b≠0 时，x0＝－db存在，则 abd＝d2＋b2c. 综上可知，当 b＝d＝0，且 Δ＝a2－4c≥0 或 b≠0，且 abd＝d2＋b2c 时，方程 x2＋(a ＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．
m2－m－6＝0， ③当m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
即mm＝≠－－23或，m＝3， m≠5且m≠－3，
即 m＝－2 或 m＝3 时，z 是纯虚数．
研习 2 复数相等的充要条件 [典例 2] (1)已知 a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数 a＝___±___2__. (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
数学312《复数的几何意义》优质课课件
在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
复数几何意义ppt课件
加强实践应用能力
通过解决实际问题，提高复数 几何意义的应用能力和技巧。
关注前沿研究动态
关注复数在科学研究和技术应 用中的最新进展和趋势。
THANKS
感谢观看
利用欧拉公式求解三角恒等式问题
将三角恒等式转化为复数形式
01
利用欧拉公式，将三角恒等式中的三角函数转化为复数形式，
从而简化问题。
利用复数性质进行化简
02
利用复数的性质，如共轭复数、模长等，对转化后的复数进行
化简。
转化回三角恒等式形式
03
将化简后的复数形式转化回三角恒等式形式，得到问题的答案
。
典型例题分析与解答
例题2
已知点P的坐标和平移向量，求点P平移后的新坐标。
典型例题分析与解答
解答
将点P的坐标表示为复数形式，然后将平移向量的横纵坐标分别加到复数的实部和虚部上 ，得到新的复数坐标，再转换回平面直角坐标系中的坐标形式。
例题3
已知正方形ABCD的四个顶点坐标和缩放因子k，求正方形ABCD缩放后的新坐标。
解答
几何变换类型及特点
平移变换
图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，不改变 图形的形状和大小。
旋转变换
图形绕某一点旋转一定的 角度，不改变图形的形状 和大小，只改变图形的位 置和方向。
缩放变换
图形的大小发生变化，形 状不变，通过改变图形的 比例尺来实现。
利用复数实现平移、旋转和缩放操作
平移操作
通过复数加法实现，将复数的实部和虚部分别加上平移向量的横 纵坐标。
表示方法
复数通常用代数形式$z=a+bi$表 示，其中$a$称为实部，$b$称为 虚部。此外，还有三角形式、指 数形式等表示方法。
人教B版高二数学选修2-2复数的概念及几何意义课件
特别地，a bi 0 a b 0 . 注意：两个实数可以比较大小；但是对于两个复数，如果 不全是实数，它们之间不能比较大小，只能说它们相等或 不相等.
例4 分别求满足下列关系的实数x与y的值.
（1）(x 2 y) i 6x (x y)i； （2）(x y 1) ( y 2)i 0 ； （3）x y 2 (x y)i.
解：（3）根据复数相等的定义，得
x 0
y x
2 y,
0,
解得x 1，y 1.
思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的 几何意义？
思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的 几何意义？ 一方面，复数z a bi（a，b R ）被它的实部a与虚部b 唯一确定，即复数z 被有序实数对 (a,b) 唯一确定；
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（1）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：（1）2 i 的实部是 2 ，虚部是1； （2）3 i 的实部是 3 ，虚部是1；
（3）i 0 1 i ，所以 i 的实部是0，虚部是1；
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：虚数有2 i ，3 i ，i 2；i 其中纯虚数有i ， 2i .
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
（5）2i ； （6）4 .
解：（1） | 3 i|= ( 3)2 12 2 ；
（2）| 3 i|= 32 12 10；
例4 分别求满足下列关系的实数x与y的值.
（1）(x 2 y) i 6x (x y)i； （2）(x y 1) ( y 2)i 0 ； （3）x y 2 (x y)i.
解：（3）根据复数相等的定义，得
x 0
y x
2 y,
0,
解得x 1，y 1.
思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的 几何意义？
思考：实数与数轴上的点一一对应.复数有没有类似的 几何意义？ 一方面，复数z a bi（a，b R ）被它的实部a与虚部b 唯一确定，即复数z 被有序实数对 (a,b) 唯一确定；
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（1）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：（1）2 i 的实部是 2 ，虚部是1； （2）3 i 的实部是 3 ，虚部是1；
（3）i 0 1 i ，所以 i 的实部是0，虚部是1；
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：虚数有2 i ，3 i ，i 2；i 其中纯虚数有i ， 2i .
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
（5）2i ； （6）4 .
解：（1） | 3 i|= ( 3)2 12 2 ；
（2）| 3 i|= 32 12 10；
复数的概念及几何意义优秀课件
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0
m＝3或m＝－2 时，即m≠－3 m≠5且m≠－3
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
例2
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的 取值范围。 3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
B
nZ
*
i
i
4n
4n2
i i 4 n 3 i -1 i bqr6401@
1
4 n 1
新授课 例4 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R ， 求 x与 y . 解：由复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y 1 ( 3 y )
(
)
C [ 解析 ] 复数可分为实数和虚数两大部分， 虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数 集没有公共元素，C是假命题．故选C.
bqr6401@
(2) 已知a、b∈R，则a ＝b 是(a －b) ＋(a ＋b)i为纯
虚数的
( A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
（1）它的平方等于－1，即
i
2
1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
即：将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
bqr6401@
一.复数的有关概念
数学课件ppt复数的几何意义
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与坐标系建立
复平面的定义
复平面是一个二维平面，其中横 轴表示实部，纵轴表示虚部。
坐标系的建立
在复平面上，以原点为起点，水平 向右为实轴正方向，垂直向上为虚 轴正方向，建立平面直角坐标系。
坐标表示
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应 的点的坐标为 $(a, b)$。
乘除运算对应几何变换
乘法运算
两复数相乘，其几何意义是对应的两个向量先旋转后伸缩。具体地，设 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$，$z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则 $z_1 times z_2 = r_1r_2(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$，即模长相乘，辐角相加。
常见函数图像绘制技巧分享
坐标轴选择
在绘制复数函数图像时，可以选择实部-虚部坐标系或模辐角坐标系。不同的坐标系选择会对图像呈现产生不同的 影响。
色彩运用
通过合理运用色彩，可以更加清晰地展示函数的特征和性 质。例如，可以使用不同颜色表示函数的实部和虚部，或 者使用渐变色表示函数的模长变化。
关键点标注
在图像上标注关键点，如零点、极值点、对称中心等，有 助于更好地理解函数的性质和行为。
应用举例：电路分析中相位差计算
交流电路中的电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过复数的乘除运算可以方便地计算电 压和电流之间的相位差。
例如，在RLC串联电路中，已知电源电压 $U = 220angle 0^circ V$，电阻 $R = 10Omega$，电感 $L = 0.4H$，电容 $C = 5mu F$。求电流 $I$ 和电阻两端电压 $U_R$ 的相位差。通过复数运算可得 $I = frac{U}{Z}$，其中阻抗 $Z = R + jomega L - jfrac{1}{omega C}$。进一步计算可得相位差 $Delta phi = phi_I - phi_{U_R}$。
复数概念及其几何意义PPT课件
向量表示法在复平面中应用
向量加法
在复平面上，两个复数的 加法可以通过向量加法来 实现，即分别将两个复数 对应的向量进行合成。
向量乘法
复数的乘法也可以通过向 量来表示，乘法的结果可 以通过向量的模长和辐角 来计算。
向量与复数转换
向量和复数之间可以相互 转换，通过向量的坐标可 以得到对应的复数，反之 亦然。
工程学中的应用
在信号处理、控制系统等领域，复数可以表示信号的频率、振幅 和相位等信息，有助于信号的分析和处理。
数学中的应用
在代数、几何、三角等领域，复数可以作为一种工具来解决一些 复杂的问题，如方程的求解、图形的变换等。
思考题与课堂互动环节
思考题
提出一些与复数相关的思考题， 让学生自主思考和解答，加深对 复数概念的理解和应用。
阐述利用复数性质证明三角不等式的方法 ，如柯西-施瓦茨不等式等。
应用举例
举例说明三角函数求解问题在实际问题中 的应用，如物理学中的振动分析、信号处 理中的频谱分析等。
05
微分方程中复数解法探讨
一阶线性微分方程求解
一阶线性微分方程标准形式
$y' + p(x)y = q(x)$
复数在求解中的应用
通过引入复数，将实数域上的一阶线 性微分方程扩展到复数域上，从而简 化求解过程。
a示d}{例c^2+d^2}i$。
计算$(2+3i)(4-5i)$，结果为$23-2i$；计算 $frac{2+3i}{4-5i}$，结果为$frac{7}{41}+frac{22}{41}i$。
幂运算和根式运算拓展
幂运算规则
根据复数模与辐角的定义，有$(r(costheta+isintheta))^n=r^n(cos ntheta+isin ntheta)$，其中$r$为复数模，$theta$为辐角。
7.1.2复数的几何意义课件(人教版)
)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
人教A版高中数学选修2-2：3.1.2复数的几何意义课件
B.两条直线 D.其它
O
x
2.复数 z 满足 | z 3 3i | 3 ,则 | z | 的最大值是3___3_;
最小值是___3___. Z看作圆心为(-3, 3 )半径为 3
的圆的轨迹
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.
1．下列命题中的假命题是（ D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
复平面的理解—— 实轴上的点都表示实数；而除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 原点依然还是
公共点。
2、在复平面内,描出以下各复数z所对 应的点，并说明为第几象限？
z=3+4i; z=1-4i; z=-5i ;z=7
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各式所 表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离 (3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习1：已知复数z 满足 | z 2 3i | 1 试求出复数 z 对应点的 轨迹. 解：设复数z=x+yi 则 z-2-3i=x+yi-2-3i y =x-2+(y-3)i
复数的几何意义课件
量子力学的波函数
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常采用复数形式表示。通过复数波函数，可以描述微观粒子的状态和行为。
薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本方程，其解即为波函数。复数形式下的薛定谔方程可以更方便地求解， 得到微观粒子的运动状态。
05
复数在实际问题中的 应用
信号处理中的频谱分析
总结词
06
复数与实数的关系
实数在复平面上的表示
01
02
03
实数轴
在复平面中，实数轴对应 于复数中的实部，表示为 水平的直线。
虚数轴
虚数轴对应于复数中的虚 部，表示为垂直的直线。
单位圆
以原点为中心，半径为1 的圆，表示单位复数。
复数与实数的相互转化
实数可以视为复数的特殊情况，即虚 部为0的复数。
任意复数可以转化为实数形式，即实 部和虚部的和。
控制系统中的稳定性分析
总结词
稳定性分析是控制系统设计中的关键环节，它决定了系统的性能和稳定性。复数在稳定 性分析中发挥着重要作用，因为它们能够描述系统的极点和零点，从而分析系统的动态
行为。
详细描述
在控制系统中，系统的动态行为通常由微分方程或差分方程描述。通过将这些方程转化 为复数形式，可以方便地计算系统的极点和零点。极点和零点的位置和数量决定了系统
的稳定性和动态响应特性。因此，在控制系统设计中，复数是非常重要的数学工具。
金融领域中的复利计算
总结词
复利计算是金融领域中评估投资回报的重要 方法。通过复利计算，可以计算出投资在未 来某个时间点的预期价值。复数在这个计算 过程中扮演着关键角色。
详细描述
在复利计算中，本金和利息都按照一定的利 率进行复利增长。复数的指数幂可以方便地 计算出未来价值的预期值。通过使用复数， 可以简化计算过程并得到精确的结果。在金 融领域中，复利计算广泛应用于评估投资回 报、贷款还款和养老金规划等方面。
复数的几何意义人教版高一年级数学课堂PPT学习
复数的另一种几何意义
y
设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，
连接OZ，显然向量 OZ 由点Z唯一
b
Z：a+bi
确定；反过来，点Z也可由向量 OZ 唯一确定.
OZ
复数集C中的数与复平面内以原点为
O
ax
起点的向量建立了如下一一对应.
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
知识一：复数的几何意义
在本书的第六章，我们提到过复数的这种几何表 示是由韦塞尔在1797年提出的.后来，阿尔冈出书对 此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示 也称为阿尔冈图.正是这种直观的几何表示，揭开了 复数的神秘的、不可思议的“面纱”，确立了复数在 数学中的地位.
复数z1，z2对应的点Z1，Z2关于x轴对称， O 复数z1，z2对应的点Z1，Z2的横坐标相等，
纵坐标互为相反数.
-3
Z1(4,3)
4x Z2(4,-3)
知识三：共轭复数
通过思考五将例题中的几何直观一般化.
一般地，当两个复数的实部相等，
虚部互为相反数时，这两个复数
叫做互为共轭复数.
O
复数z的共轭复数用 z 表示， 即如果z=a+bi，那么 z = a-bi.
纵坐标是b,复数z=a+bi 可用Z(a,b)表示.
这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴
说明： （1）复数z=a+bi用复平面内的点Z（a，b）表示，
复平面内的点Z的坐标是（a，b)，而不是（a，bi）, 复平面内的纵坐标轴的单位长度是1，而不是 i .
（2）实轴上的点都表示实数，原点表示实数0.
y
新教材北师大版第5章1.1复数的概念课件(35张)
[解] (1)当mm＋ 2－32≠m0－，15≠0， 即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当m2m－＋m3－6＝0， m2－2m－15≠0，
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
1．例3的条件不变，当m为何值时，z为实数？ [解] 当mm＋ 2－32≠m0－，15＝0， 即m＝5时，z是实数．
2．例3的条件不变，当m为何值时，z>0.
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与 虚部相等列方程组求解. 2根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用 方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 3如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大 小的.
2．复数的分类
根据复数中 a，b 的取值不同，复数可有以下的分类：实数 b＝0
复数 a＋bi(a，b∈R)虚数 b≠0
纯虚数 a＝0 ， 非纯虚数 a≠0 .
3．复数集 全体复数 构成的集合称为复数集，记作 C．显然 R C． 4．复数相等 两个复数 a＋bi 与 c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实 部相等且虚部相等，即 a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c且b＝d 时成 立．
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1
的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是________．
(1)B (2)± 2 5 [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不 成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1 ＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实 部是0，③为真命题．故选B．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即：将实数a和数i相加记为: a+i；
把实数b与数i相乘记作: bi；
将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
3
一.复数的有关概念
1.复数： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit)
复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示
C { z|z a b,其 i a ,b 中 R )
22
变式练习：
(1)下列命题中假命题是
()
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集交集为实数集
C．实数集与虚数集交集是{0}
D．纯虚数集与实数集交集为空集
[答案] C
[解析] 复数可分为实数和虚数两大部分 ，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚
数集没有公共元素，C是假命题．故选C.
23
7
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 O Z
以(a,b)为坐标的向量叫做表示复数 z=a+bi的向量
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
o
x
8
4.复数的分类：
b=0 a=b=0
b≠0 a=0且b≠0
实数 实数0 虚数 纯虚数
实数集R是复数 集C的真子集，
RC
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
21
小
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在
复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实 数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
16
例 1 (补) m 取何实数时，复数 z＝m2m －＋ m3－6＋(m2－2m－15)i
(1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
17
[分析] 在本题是复数的标准形式下，即z ＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要 对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
m2－2m－15＝0
m＝5或m＝－3
(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯 虚数的 ( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A
i2
i 1 (2 3i)i
12
2.有下列命题：
（1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数
（2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为（ B ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
13
3．下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
等或不相等两关系，而不能比较大小
6
4.复数的几何意义：
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
点Z(a,b)叫做表示复数z=a+bi的点
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
o
x
x轴------实轴
y轴------虚轴
纯虚数(a=0)
虚数(b≠0)
非纯虚数(a≠0)
9
思考 1.数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？
NZ Q R C
RQZ N
C
10
2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
11
练习:
1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部 与虚部
1 3
1 3i
1i
7
2i (1)i 0
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
14
4．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”
的（C）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
[解析] (1)当
时，
m＋3≠0
m≠－3
∴当 m＝5 时，z 是实数．
m2－2m－15≠0
m≠5且m≠－3
(2)当
时，即
m＋3≠0
m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
18
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0
m2－2m－15≠0
时，即 mm＝ ≠3－或3m＝－2 m≠5且m≠－3
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
19
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的
取值范围。
解：由 m m22 m m2600
得m32或 mm21
m (3,2) (1,2)
总结：
数形结合思想
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
大家好
1x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
2
虚数单位
为了解决负数开方问题，
引入一个新数 i，i叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于－1，即 i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
(代数问题)
20
例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能
位于第四象限。
证明：若复数所对点应位的于第四象限，
则mm22
m6 m2
0 0
即m
3或m 2 m
1
2
不等式解集为空集，
结论：实轴上的点都表示实数；虚轴
上点除原点外都表示纯虚数。
15
新授课 例1：实数m取什么值时，复数z m 1 (m 1 )i是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10 ，即 m 1时，复数z是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z是虚数．
（3）当 m 10，且m 10，即m 1 时， 复数z 是纯虚数．
4
2.复数的代数形式：
用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式
实部
虚部
规定: 0i=0,0+bi=bi
5
3.两个复数相等 有两个复数Z1=a+bi (a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)
a+bi =c+di
a=c且b=d
注 1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系 意 2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相
把实数b与数i相乘记作: bi；
将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
3
一.复数的有关概念
1.复数： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit)
复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示
C { z|z a b,其 i a ,b 中 R )
22
变式练习：
(1)下列命题中假命题是
()
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集交集为实数集
C．实数集与虚数集交集是{0}
D．纯虚数集与实数集交集为空集
[答案] C
[解析] 复数可分为实数和虚数两大部分 ，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚
数集没有公共元素，C是假命题．故选C.
23
7
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 O Z
以(a,b)为坐标的向量叫做表示复数 z=a+bi的向量
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
o
x
8
4.复数的分类：
b=0 a=b=0
b≠0 a=0且b≠0
实数 实数0 虚数 纯虚数
实数集R是复数 集C的真子集，
RC
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
21
小
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在
复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实 数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
16
例 1 (补) m 取何实数时，复数 z＝m2m －＋ m3－6＋(m2－2m－15)i
(1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
17
[分析] 在本题是复数的标准形式下，即z ＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要 对实部和虚部分别计算，总体整合即可．
m2－2m－15＝0
m＝5或m＝－3
(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯 虚数的 ( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A
i2
i 1 (2 3i)i
12
2.有下列命题：
（1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数
（2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为（ B ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
13
3．下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
等或不相等两关系，而不能比较大小
6
4.复数的几何意义：
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
点Z(a,b)叫做表示复数z=a+bi的点
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
o
x
x轴------实轴
y轴------虚轴
纯虚数(a=0)
虚数(b≠0)
非纯虚数(a≠0)
9
思考 1.数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？
NZ Q R C
RQZ N
C
10
2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
11
练习:
1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部 与虚部
1 3
1 3i
1i
7
2i (1)i 0
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
14
4．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”
的（C）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
[解析] (1)当
时，
m＋3≠0
m≠－3
∴当 m＝5 时，z 是实数．
m2－2m－15≠0
m≠5且m≠－3
(2)当
时，即
m＋3≠0
m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
18
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0
m2－2m－15≠0
时，即 mm＝ ≠3－或3m＝－2 m≠5且m≠－3
∴当 m＝3 或 m＝－2 时，z 是纯虚数．
19
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的
取值范围。
解：由 m m22 m m2600
得m32或 mm21
m (3,2) (1,2)
总结：
数形结合思想
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
大家好
1x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
2
虚数单位
为了解决负数开方问题，
引入一个新数 i，i叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于－1，即 i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
(代数问题)
20
例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能
位于第四象限。
证明：若复数所对点应位的于第四象限，
则mm22
m6 m2
0 0
即m
3或m 2 m
1
2
不等式解集为空集，
结论：实轴上的点都表示实数；虚轴
上点除原点外都表示纯虚数。
15
新授课 例1：实数m取什么值时，复数z m 1 (m 1 )i是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 10 ，即 m 1时，复数z是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z是虚数．
（3）当 m 10，且m 10，即m 1 时， 复数z 是纯虚数．
4
2.复数的代数形式：
用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式
实部
虚部
规定: 0i=0,0+bi=bi
5
3.两个复数相等 有两个复数Z1=a+bi (a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)
a+bi =c+di
a=c且b=d
注 1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系 意 2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相