第11章梁的弯曲应力

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第11章 梁的弯曲应力
教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面
上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力
弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲
等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计
算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，
掌握提高弯曲强度的若干措施。

在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有
正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横
截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面
弯曲梁的强度进行计算。

11.1梁的弯曲正应力
平面弯曲情况下，一般梁横截面上既
有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、
DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等
于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公
式。应综合考虑变形几何关系、物理关系
和静力学关系等三个方面。

11.1.1 弯曲正应力一般公式
1、变形几何关系
为研究梁弯曲时的变形规律，可通过
试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对
称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，
画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再
在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线
ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图
11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲
状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况：

（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正
交，只是横线间作相对转动。
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（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，
情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，
且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前者称为
弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上
不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，
其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图11.2(c)所示。中性层与横
截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷
载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并
绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx，取梁横截面的对
称轴为y轴，且向下为正，如图11.3 (b)所
示，以中性轴为y轴，但中性轴的确切位置
尚待确定。根据平面假设，变形前相距为dx
的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋
转了一个角度dθ，并仍保持为平面。中性层
的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长
度不变，所以

dxdoo

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又坐标为y的纵向纤维ab变形前的长度
为


ddxab

变形后为

dyab)(

故其纵向线应变为




ydddy)(

（a）
可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y成正
比。
2、物理关系
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单
向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知

E

将(a)式代入上式，得
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

y
E
(b)

这就是横截面上正应力变化规律的表达式。由此可知，横截面上任一点处的
正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y的同一横线上各点处的
正应力均相等，这一变化规律可由图11.4来表示。
3、静力学关系
以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大
小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解
决。
如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA组成一空间平行力系，
而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y平面的弯矩M，因此，

0NAFdA

(c)


AydAzM0


(d)

0dAyM
A
z


(e)
以式(b)代入式(c)，得

0AAydAEdA



(f)
上式中的积分代表截面对z轴的静矩
Sz。静距等于零意味着z轴必须通过截面的
形心。以式(b)代入式(d)，得

0AAyzdAEdA



(g)
式中，积分是横截面对y和z轴的惯性积。由于y轴是截面的对称轴，必然
有Iyz=0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e)，得

dAyEdAyMAA
2



（h）

式中积分
2
Z
A

ydAI

（i）

是横截面对z轴（中性轴）的惯性矩。于是，(h)式可以写成

z
EI
M1
（11.1）
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此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比，
与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，EIZ愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，
故EIz称为梁的抗弯刚度。
再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y处的正应力为

yIMz

（11.2）

此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M 为横截面上的弯矩；Iz 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中
性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应
力；弯矩为负时，则与上相反。在利用（11.2）式计算正应力时，可以不考虑式
中弯矩M和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由
梁的变形来判断。

应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于
具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可
以使用。同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和
弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此，
（11.2）式也适用于非纯弯曲情况。

11.1.2 最大弯曲正应力
由式(11.2)可知，在y=ymax即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力
最大，其值为

max
maxmax
y
I

MyIM

z
z




式中，比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗
弯截面模量。用Wz表示。即为

max
y
I
Wzz
（11.3）

于是，最大弯曲正应力即为

z
W
M

max

（11.4）

可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系
数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
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图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为
6
2
bh

Wz
(11.5)

32
3
d

Wz
(11.6)

而空心圆截面的抗弯截面系数则为

4

3

132DW
z
(11.7)

式中ɑ=d/D，代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。
例11.1 图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，
b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K 点的弯曲正应力。

解 先计算截面上的弯矩
kNmFaMA325.1
截面对中性轴的惯性矩

47
33
10832.51218012012mmbhIZ
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则MPayIMZAk09.36010832.510376
A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
11.2 平面图形的几何性质
构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。
反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇
到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何
性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。现在来讨论截
面的一些主要的几何性质。

11.2.1形心和静矩
若截面形心得坐标为yC和zC（C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行
力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式

AdAyyA
zdA
zACAC,
（a）

静矩又称面积矩。其定义如下，在图11.8中任意截面内取一点M（z,y）,
围绕M点取一微面积dA，微面积对z轴的静矩为ydA，对y轴的静矩为zdA，则
整个截面对z和y轴的静矩分别为：



AyAzzdAS
ydAS

(b)

有形心坐标公式

C
A

C
A

AzzdAAyydA






知：
CAy
CAz
AzzdASAyydAS






(c)

上式中yC和zC是截面形心C的坐标，A是截面面积。当截面形心的位置已知
时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩
的单位是长度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该
轴的静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，应等于各个图形对