第11章梁的弯曲应力

第11章梁的弯曲应力

教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。

教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。

在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。

11.1梁的弯曲正应力

平面弯曲情况下，一般梁横截面上既

有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、

DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等

于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。

下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公

式。应综合考虑变形几何关系、物理关系

和静力学关系等三个方面。

11.1.1 弯曲正应力一般公式

1、变形几何关系

为研究梁弯曲时的变形规律，可通过

试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对

称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，

画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再

在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线

ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图

11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲

状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况：

（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正

交，只是横线间作相对转动。

（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。 （3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。

根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。

根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。

根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图11.2(c)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。

综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。

从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置尚待确定。根据平面假设，变形前相距为dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d θ，并仍保持为平面。中性层的曲率半径为ρ，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以

dx d o o ==ϕρ21

又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度为

ϕρd dx ab ==

变形后为

ϕρd y ab )(+=

故其纵向线应变为

ρ

ϕρϕρϕρεy

d d d y =

-+=

)(

（a ）

可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y 成正比。

2、物理关系

因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知

εσE =

将(a)式代入上式，得

ρ

σy

E

= (b)

这就是横截面上正应力变化规律的表达式。由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图11.4来表示。

3、静力学关系

以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解决。

如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y 平面的弯矩M ，因此，

0N A

F dA σ==⎰ (c)

⎰==A

y dA z M 0σ (d)

==⎰dA y M A

z σ

(e)

以式(b)代入式(c)，得

0==

⎰

⎰

A

A

ydA E

dA ρσ

(f)

上式中的积分代表截面对z 轴的静矩S z 。静距等于零意味着z 轴必须通过截面的形心。以式(b)代入式(d)，得

0==

⎰

⎰

A

A

yzdA E

dA ρσ

(g)

式中，积分是横截面对y 和z 轴的惯性积。由于y 轴是截面的对称轴，必然有I yz =0,所示上式是自然满足的。

以式(b)代入式(e)，得

dA y E

dA y M A

A

⎰⎰=

=2ρσ （h ）

式中积分

2Z A

y dA I =⎰ （i ） 是横截面对z 轴（中性轴）的惯性矩。于是，(h)式可以写成

z

EI M

=

ρ

1

（11.1）