101小升初棋盘中的数学问题(一)

2011-2012学暑期五年级讲义(2012年7月)
第四讲棋盘中的数学问题（一）
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
一、知识要点
1．棋盘中的图形与面积；
2．棋盘中的覆盖问题：
（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：
①m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m、n中至少
有一个是偶数．
②2×n的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．
二、典型例题
（一）棋盘中的覆盖问题：
1、能不能覆盖的问题，
例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3
例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：
可以用若干块和拼成的图形是第几号图形？
例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1
的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖？
例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
2、最多能用多少种图形覆盖的问题
例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？
例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
3、有多少种不同的覆盖方法问题。

例9．用七个1×2的小长方形覆盖右下图，共有多少种不同的覆盖方
法？
例10．有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。

用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
（二）、棋盘中面积及其他。

例11这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相
等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方
有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中
的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，
11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子
（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以
这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
例12．如右图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由
黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过
的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格
子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说
明理由．
例13．国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫
“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上
对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋
盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，
都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整
个棋盘？
例14．小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余
的送给别人。

他留下的四张票可以有多少种不同情况？
例15．在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．
三、练习题
1、在4×4的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）
答案与提示：3个。

提示：右图是一种放法。

2、下列各图中哪几个能用若干个或拼成？
答案与提示：图（2）。

图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。

3、能否用9个形如的卡片覆盖6×6的棋盘？
答案与提示：不能。

右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18个黑格。

4.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
答案与提示： 6种。

用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。

5、用6个形如的卡片覆盖右图，共有多少种不同的覆盖方法？
答案与提示：5种。

盖住A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的
3种都无法覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有2种放法，
共有4种覆盖方法；右下图只有1种覆盖方法。

6．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
答案与提示：不妨先考虑棋子A的情况，共有16种不同的放法，不妨设A就放在左上角．然后考虑棋子B的放法，由于A所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B只能有9种不同放法，不妨设棋子B在右图中位置．类似地C只有4种不同放法，D只有一种放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．
7．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B
马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作｜AB｜m．如下图在3
×3的棋盘格中，标出了A、B、C、D、E五个点，则在｜AB｜m，
｜AC｜m，｜AD｜m，｜AE｜m中最大者是多少？最小者是多少？
答案与提示：最大的是｜AE｜m＝4，最小的是｜AC｜m＝2．
8、能否用17个形如的卡片将右图覆盖？
答案与提示：左上图共有34个小方格，17个1×2的
卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。

我们将左上图
黑白相间染色，得到右上图。

细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白
格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个
1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。

9 、由1×1、2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？
答案与提示：用1×1的正方形至少一个．
第一步：中心放一个1×1的正方形，剩下的4个11×12的矩形，是可以用6个2×2正方形和12个3×3正方形拼成的，如右下图所示．
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的。

综上所述，要拼成23×23棋盘，至少要用一个1×1的小正方形．。