2湍流流动的数学模型

目前，对湍流问题的研究仍处于探索其结构，机理和描述 方法阶段，面对解决工程湍流问题有两种选择： 1）等待湍流理论研究的成果 2）探索研究湍流新途径 4、湍流的数值模拟方法 1）直接模拟 是三维非稳态的N-S方程对湍流进行直接数值计算的方法。 其特点是必须采用很小的时间与空间步长，才可能研究清 楚湍流的空间结构及时间特性。因此对计算机的要求比较 高。
f f ; f 0; f f ;f f f
f
f ; f 0; f
f ;f
f
f
（3）
0; 2 0
xi
xi 2
3.2 湍流对流换热的雷诺时均方程
1、连续性方程
u x
v y
w z
0
2、动量方程
u x
v y
w z
0
u u 2 u v u w 1 p [v u (u)2 ]
脉动值时均值的微分方程和三个速度脉动值乘积时均值的近似处理的方程）
3.3.2 湍流粘性系数法
1、湍流粘性系数法：把湍流应力表示成湍流粘性系数的函 数，计算的关键就在于求解湍流粘性系数。
1）湍流粘性系数
• 通过给出雷诺应力与均流速度场之间的关系式，把均流方 程的不封闭性由雷诺应力转移到湍流粘性系数上。
2）湍流扩散 湍流的扩散性是所有湍流运动另一个重要特征。湍流混掺扩 散增加了动量、热量和质量的传递率。 3） 能量耗损 湍流中小涡体的运动,通过粘性运动大量耗损能量,实验表明, 湍流中的能量的损失比同条件下层流大得多。 3、湍流的物理结构： 大尺度涡旋由边界条件决定，是引起低频脉动的原因。小尺 度涡旋主要由粘性力决定，是引起高频脉动的原因。 大涡旋 →小涡旋 →更小的涡旋 →消失
2）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力的封闭模
型才可能解出平均流场。雷诺应力的主要贡献来自大尺度脉 动，而大尺度脉动的性质和流动的边界条件密切相关。因此， 雷诺应力的封闭模式不可能是普遍适应的，就是说不存在对 一切复杂流动都适用的统一封闭模式。
3）大涡模拟 该方法是介于以上两种方法之间的模拟方法。其基本思
§3 湍流流动的数学模型
3.1 湍流的概述
湍流流动是工程技术领域与自然界中最常见的流动现象，流 体作湍流流动时的对流换热是工程传热过程中最常见的一种 换热方式。 1、湍流的概念：湍流是一种高度复杂的三维非稳态带旋转的 不规则运动。 2、湍流的特点: 1） 随机性 湍流流动是由大小不等涡体所组成的无规则的随机运动,它 是最本质的特征是“湍动”,即随机的脉动。
3）三种方法给出的信息量有很大差别 直接数值模拟方法可以计算所有的湍流脉动，可以给出所 有量值（如雷诺应力、标量输运量等）， 雷诺平均数值模拟方法给出平均速度场、平均压强、平均 热流量、平均合力、平均应力等。 大涡模拟介于二者之间，它可以给出大于惯性子区尺度的 脉动信息，特别是大尺度的脉动信息，同时，通过统计计 算也可以给出所有平均量。
u j
t
x j
其中
t 为湍流扩散系数。
T
t
t
注：σ为湍流Prandtl数（一般为常数，贴壁流动中取为0.9自由射流中为0.6）
2、确定湍流粘性系数的思路：
1）既然湍流粘性体现的是湍流涡团对平均流的输运作用， 首先需找哪些表征湍流量对湍流输运过程有重要影响，进 而设法把这些量与湍流粘性系数定量联系起来。
2、湍流模型种类：雷诺应力方程法及湍流粘性系数法。 3、何为模拟？
推导时均方程时，二次项（乘积项）在时均化处理后产 生包含脉动值的附加项，如f f f ，为了使方程组 封闭，必须找出这些附加项的关系式。故人们不得不设法用近 似但可解的方程组去取代严格而不可解的方程组，这一过程称 为模化或模拟。
t x y z
x x x
(v u uv) [v u uw]
y y
z z
3、时均形式的N-S方程
ui
t
ui u j
x j
p xi
x j
(
ui x j
uiuj )(i 1,3)
4、其它变量Ф方程
t
u j
x j
x j
(
x j
uj )
S
3.3 湍流模型
1、湍流模型：就是把湍流的脉动值附加项与时均值联系起 来的一些特定关系式。
3.3.1 雷诺应力方程法
uiu
j
的精确方程为：
Duiu
j
Dt
xl
[ui.
uiu
j
的微分方程中，引入了更高阶的（三阶）脉动值
乘积的时均值，于是还需对更高阶的附加项建立方程，但又
因此引入了更高的附加项，因而最终要用模型才能使方程封
闭。周培源教授提出一个涡量脉动平方平均值的方程而使方程封闭。即17方程模型（包括两个 速度
6、湍流物理量时均值及其性质
按雷诺时均法，任一变量Ф的时间平均值定义为：
1 tt
t t (t)dt
（1）
物理量Ф的瞬时值，时均值 及脉动值
三者间有如下关系：
Ф＝ ＋
（2）
设Ф及 f 是两个瞬时值， 及 f 为相应的脉动值，
则按定义（1）及式（2）有一下基本关系式成立：
0; ;
• 仿照层流时联系流体的应力与应变率的本构方程，则湍流 脉动所造成的湍流应力可表示成：
uiu
j
(i, j )t
ptij
t
(
ui x j
u j xi
)
2 3
t
ij
divV
2）湍流扩散系数 对其它Ф变量的湍流脉动附加项可以引入相应的湍流扩散系
数 t 则湍流脉动传递的能量与时均参数的关系可表示为：
想是：大尺度脉动用数学模拟方法来计算，只将小尺度脉动 对大尺度运动的作用做模型假设（亚格子应力模型假设）。 这样做的理论依据是小尺度脉动有局部平衡的性质，很可能 存在某种局部普适的统计规律。
5、不同湍流数值模拟方法比较 1）对湍流分辨率的要求不同
直接模拟要求模拟所有尺度的湍流脉动。具体计算时最小的 模拟尺度应当小于耗散区尺度，雷诺平均方法将所有尺度脉 动产生的雷诺应力做了模型，网格尺度应大于脉动的积分尺 度，网格的最小尺度由平均应力的性质决定。大涡模拟介于 二者之间。 2）对网格精细程度要求不同 在相同雷诺数条件下，直接模拟的网格尺度最小，要求计算 机内存最大，计算时间最长。雷诺平均数值模拟方法的网格 尺度允许较大，因此要求计算机内存小，时间短。大涡模拟 介于二者之间。