线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：

如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.

分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD

与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.

如图⑷ 如图⑸ 如图⑹

E B A D C G

F F y C B E D A S

z

_ M _ D

_ A B _ O E P E D C B O A B C

D E F N M

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.

(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；

(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .

方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，

侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；

分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．

设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，

00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向

量为n =（0，1，0）

则：02b EF n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，（0，1，0）=0

因此 EF n ⊥

所以EF ∥平面SAD ．