定积分练习题+答案

x 0
1 1 t2
dt

1 x 0
1 1 t2
dt
,则
(
).
( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
答案: B .
因为
F ( x)

1 1 x2

1
1 ( 1 )2

1 x2
1
1
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
10.设 F( x)
x1 0 1 t 2 dt
1 x 0
1
1 t
2
dt
,则
(
).
( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
ln
2
因为
k e2xdx 1 e2x k 1 (e2k 1) 3
0
2 02
2
则 k = ln 2
20
12.设
x f (t)dt 2x3 ,则

2 cos xf ( sin x)dx = (
).
0
0
3
(A) 4
(B) 3
4
(C ) 2 (D) 2
答案: C.
0
0
1
2.如果 f ( x) 在[1,1] 上连续,且平均值为 2,则 f ( x)dx =( ). 1
( A )1 ( B )1 (C )4
(D)4
1
3. d x sint 2dt =( ).
dx a ( A ) sin x2 sina2 ( C ) sin x2
( B ) 2x cos x2 ( D ) 2x sin x2
( D ) 极大值 e 2
8.设 f ( x) 是连续函数,a 0 , F ( x) x2
x
f (t)dt ,
xa a
则 lim F(x)
xa
=(
).
( A ) a2 ( B ) a2 f (a) ( C ) 0 ( D ) 不存在
4
sin2 x
ln(1 t)dt
9. lim 0
4. d
b
arcsin xdx =(
).
dx a
(A) 0
1 (B )
1 x2
( C ) arcsin x ( D ) arcsinb arcsina
2
e x
5.设 f ( x) 是连续函数,且 F ( x)
f (t)dt ,则 F( x) =( ).
x
( A ) e x f (e x ) f ( x)
则 f ( x)dx = 4 1
11
3. d x sint 2dt =( ).
dx a ( A ) sin x2 sina2 ( C ) sin x2
答案: C .
根据变上限求导公式有:
d x sint 2dt = sin x2
dx a
( B ) 2x cos x2 ( D ) 2x sin x2
x 0 1 cos x
x 0
sin x
lim 2cos 2x lim ln(1 sin2x) sin2x
x 0
x 0 sin2x
sin x
2 lim sin2x 2sin x cos x 4
x 0 sin2x
sin x
18
10.设 F( x)
a
b
3.
1
(
x10e x
)dx
=
0
7
4. 设 f ( x) 1x2 et2dt ,则 f ( x) = 0
5.设
f
(x)


x 1,
0 x 1, ,则 1 x 2.
2
f ( x)dx =
0
6.
1
(e
x

ex
)dx
=
0
7.
2 0
1
sin x cos2
6
13.
a
x[ f ( x) f ( x)]dx = (
).
a
a
a
( A ) 4 xf ( x)dx ( B ) 2 x[ f ( x) f ( x)]dx
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
).
( A ) 极小值 2 e
( B ) 极小值 e 2
( C ) 极大值 2 e
( D ) 极大值 e 2
答案: A .
解 因为 f ( x) ( x 1)ex 所以,当 x 1时, f ( x) 0
当 x 1 时, f ( x) 0
则 f ( x) 有极小值 f (1)
n 0
n n 1
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
a
b
答案: 0 .
a
b
因为 f ( x)dx f ( x)dx
b
a
23
3.
1
(
x10e
x
)dx
=
0
答案: e .
因为
1
(
x10e x
)dx

x10e x
1
e
0
0
24
4. 设 f ( x) 1x2 et2dt ,则 f ( x) = 0
一、单项选择题
1. 1 exdx 与 1 ex2dx 相比,有关系式( ).
0
0
( A ) 1 exdx < 1 ex2dx
0
0
( B ) 1 exdx > 1 ex2dx
0
0
( C ) 1 exdx = 1 ex2dx
0
0
( D ) [ 1exdx]2 = 1 ex2dx
x
是 t(t)dt 的 ( ). 0
( A ) 低阶无穷小
( B ) 高阶无穷小
( C ) 同阶但非等价无穷小
( D ) 等价无穷小
答案: B .
x
因为
lim
x0
0
f (t)sintdt
x
t (t )dt
lim
x0
f (x)sin x 0
x( x)
0
15
7.设 f ( x) x (t 1)etdt ,则 f ( x) 有 ( 0
f (t)dt ,则 F( x) =( ).
x
( A ) e x f (e x ) f ( x)
( B ) e x f (e x ) f ( x)
( C ) e x f (e x ) f ( x)
( D ) e x f (e x ) f ( x)
答案: A .


因为 2 cos xf ( sin x)dx 2 f ( sin x)d( sin x)
0
0

2( sin x) 3 2 2 0
21
a
13. x[ f ( x) f ( x)]dx = ( ). a
a
a
( A ) 4 xf ( x)dx ( B ) 2 x[ f ( x) f ( x)]dx
lim
f (x)
f (a)
xa x a
xa 1
所以 limF ( x) ＝a2 f (a) . xa
17
sin2 x
ln(1 t)dt
9. lim 0
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
答案: C.
sin2 x
因为 lim 0 ln(1 t)dt lim ln(1 sin2x) 2cos 2x
定积分练习题
一、单项选择题
1. 1 exdx 与 1 ex2dx 相比,有关系式( ).
0
0
( A ) 1 exdx < 1 ex2dx
0
0
( B ) 1 exdx > 1 ex2dx
0
0
( C ) 1 exdx = 1 ex2dx
0
0
( D ) [ 1exdx]2 = 1 ex2dx
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
答案: C.
因为 x[ f ( x) f ( x) ] 是奇函数.
a
所以 x[ f ( x) f ( x)]dx 0 a
22
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
答案: 0 .
因为 lim 1 xndx lim 1 0
0
0
答案 B
由于在区间 (0,1), ex ex2
10
1
2.如果 f ( x) 在[1,1] 上连续,且平均值为 2,则 f ( x)dx =( ). 1
( A )1 ( B )1 (C )4
(D)4
答案: C .
因为平均值 2 1
1
f ( x)dx
1 (1) 1
1
答案: 2 xe(1 x2 ) 2 .
因为, 根据变上限求导公式:(
(x)
f (t)dt) f (( x))( x)
a
f ( x) e(1 x2 ) 2 (1 x2 ) 2 xe(1 x2 ) 2 .
25
5.设
f
(x)


x 1,
0 x 1, ,则 1 x 2.
2
f ( x)dx =
0
答案: 3
2
分段函数的定积分, 一般采用分段积分
பைடு நூலகம்
2
1
2
则 0 f ( x)dx 0 xdx 1 1dx
1 x2 1 1 1 1 3
20
2
2
26
6.
1
(e
x

ex
)dx
=
0
答案: e e1 .

1
x2
1
x2
0
x
F(x) C
则
F( x) F(1)
11
11

0 1 t 2 dt 0 1 t 2 dt 2
19
11.若 k e2xdx 3 ,则 k = (
0
2
).
( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) ln 2
答案: C .
(D)
1 2
( B ) e x f (e x ) f ( x)
( C ) e x f (e x ) f ( x)
( D ) e x f (e x ) f ( x)
6.设 f ( x) ,( x) 在点 x 0 的某邻域内连续,且当 x 0 时,
x
f ( x) 是( x) 的高阶无穷小,则当 x 0 时, f (t)sintdt 0
因为.
1
(e
x
ex )dx
ex
1
ex
1
e e1 .
0
0
0
7.
2 0
1
sin x cos2
x
dx
=
答案: .
4
因为.

2 0
sin x 1 cos2
x
dx



2 0
1
1 cos 2
x
d
cos
x
12
4. d
b
arcsin xdx =(
).
dx a
(A) 0
1 (B )
1 x2
( C ) arcsin x ( D ) arcsinb arcsina
答案: A .
由于定积分是一个常数, 而常数的导数等于零
所以
d
b
arcsin xdx = 0
dx a
13
e x
5.设 f ( x) 是连续函数,且 F ( x)
5
11.若 k e2xdx 3 ,则 k = (
0
2
).
( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) ln 2
(D)
1 2
ln
2
12.设
x f (t)dt 2x3 ,则

2 cos xf ( sin x)dx = (
).
0
0
(A) 3
4
(B) 3
4
(C ) 2 (D) 2
1
(t

1)et
dt
=
2

e
0
16
8.设 f ( x) 是连续函数,a 0 , F ( x) x2
x
f (t)dt ,
xa a
则 lim F(x)
xa
=(
).
( A ) a2 ( B ) a2 f (a) ( C ) 0 ( D ) 不存在
答案: B.
x
因为
lim
a
f (t)dt
因为 F( x) = f (ex )(ex ) f ( x)
= e x f (e x ) f ( x)
14
6.设 f ( x) ,( x) 在点 x 0 的某邻域内连续,且当 x 0 时,
x
f ( x) 是( x) 的高阶无穷小,则当 x 0 时, f (t)sintdt 0
x
dx
=
8.
1 x5e x2 dx =
1
1
0
9.设 f ( x) 是连续奇函数,且 f ( x)dx 1,则 f ( x)dx =
0
1
8
10.
4
e
x dx =
0
三、 计算
11 0 1 ex dx .
四、计算
1 x2 0 x2 x 2 dx .
9
定积分练习题答案
x
是 t(t)dt 的 ( ). 0
( A ) 低阶无穷小
( B ) 高阶无穷小
( C ) 同阶但非等价无穷小
( D ) 等价无穷小
3
7.设 f ( x) x (t 1)etdt ,则 f ( x) 有 ( 0
).
( A ) 极小值 2 e
( B ) 极小值 e 2
( C ) 极大值 2 e