复变函数练习题习题(4)

习题4.1

6．判断下列复数列的收敛性，且当收敛时求出其极限，其中n →∞.

（2）cos sin (1)

n n n i n z i +=+ 解：因为当n →∞时，

cos sin cos sin 10,(1)1n n n n i n n i n z i i

++===→++ 所以由4.1节定理1知，复数列{}n z 收敛，

且

lim 0.n n z →∞

=

注：数列没有绝对收敛！级数才有绝对收敛！

（3）cos()n ni z n =

解：因为当n →∞时，

()

()

cos()2,2i ni i ni n

n

n e

e ni e

e

z n

n

n

--++==

=

→∞

所以复数列{}n z 发散.

7.判别下列级数的绝对收敛和收敛性.

（1）10

1n i n n ∞

=+⎛⎫ ⎪⎝

⎭∑ 解：因为当n →∞时，此级数通项的模

10

10

10

1i n n n ⎛⎫⎛+⎛⎫==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎝⎭

不趋向于零，所以由4.1节定理4的推论知此级数

发散.

（2）0

(1)2n

n n i

∞=-+∑ 解：因为通项取模后的级数

0(1)22

n n

n n n i ∞

∞

==-+==∑

∑ 所以该级数绝对收敛，从而也收敛.

注：①通项的模趋向于零不能得到绝对收敛！

②该级数的虚部级数为0

1

2n n ∞

=∑，而不是02

n n i

∞

=∑，虚部级数不包括虚数单位i .

（3）011

n i

n ∞

=++∑ 解：因为

000111

,111

n n n i i n n n ∞∞∞

===+=++++∑∑∑ 其实部级数和虚部级数均为发散调和级数

01

1

n n ∞

=+∑，所以该级数发散，当然也不绝对收敛.

注：①通项趋向于零不能得到级数收敛！例

如：1

0()1n n →→∞+但调和级数011

n n ∞

=+∑发散.

8.求下列幂级数的收敛圆的中心和收敛半径.

（2）1()2n

n n n z i ∞

=-∑

解：显然该幂级数的收敛圆的中心z 0=i .

令2

n n n c =，则由求幂级数收敛半径的检比法（4.1节定理7）知

1

1(1)/211

(),

/2

22

n n n n

n c n n n c n n λλ++++===→=→∞ 所以该幂级数的收敛半径1/ 2.R λ==

（3）212()(1)n n

n z i n n ∞

=++∑

解：显然该幂级数的收敛圆的中心z 0=-i . 令2

()z i ζ=+得

211

22()(1)(1)n n

n n n n z i n n n n ζ∞∞==+=++∑∑ 由求幂级数收敛半径的检比法（4.1节定理7）

可求出上式右端幂级数的收敛半径1/2,R '=因为

1

2

/[(1)(2)]22().2/[(1)]2

n n

n n n

n n n n +++=→→∞++ 于是幂级数1

2(1)n

n

n n n ζ

∞

=+∑的收敛域为2

()1/2,z i ζ=+<

即圆域/2,z i +<所以原幂

级数的收敛半径/2.R =

注：此题2(1)n n c n n ≠+，而是22

(1)n

n c n n =

+，

所以不能直接用求幂级数收敛半径的检比法和检根法，否则会得出收敛半径1/2R =的错误结论!

（5）

1

(2)

n

n

n n z i ∞

-=-∑

解：显然该幂级数的收敛圆的中心z 0=2i . 令n

n c n -=，则由求幂级数收敛半径的检根

法（4.1节定理8）知

1

0(),

n

n

n

λλ

===→=→∞

所以该幂级数的收敛半径.

R=∞

10.证明幂级数

n

n

n

c z

∞

=

∑与

(Re)n

n

n

c z

∞

=

∑的收敛半径相等或后者更大.

证明：当幂级数

n

n

n

c z

∞

=

∑在点

z绝对收敛时，级数

n

n

n

c z

∞

=

∑收敛，即0

n

n

n

c z

∞

=

∑收敛.由于

00

Re(),

n n

n n

c z c z

≥

则由级数的比较判别法知0

Re()n

n

n

c z

∞

=

∑收敛，即

(Re)n

n

n

c z

∞

=

∑绝对收敛，从而幂级数

(Re)n

n

n

c z

∞

=

∑在

点0z也绝对收敛.这表明幂级数

(Re)n

n

n

c z

∞

=

∑的绝对